Prolongement d'une fonction par continuité (approfondissement spécialité terminale)

 Voici un approfondissement du programme de spécialité maths.

Thème. Fonctions, limites, continuité.

Niveau. Terminale spécialité maths. Approfondissement.

Dans cet article, on définit le prolongement par continuité d'une fonction en point en lequel elle n'est pas définie. Il s'agit surtout de fournir des exemples.

Certaines fonctions continues ne sont pas définies en un ou plusieurs points. 

Exemple 1. 

La fonction $f:x\mapsto \frac x x$ n'est pas définie en zéro et vaut 1 partout ailleurs. On peut la prolonger en $0$, en choisissant pour $f(0)$ n'importe quelle valeur réelle.

Pour prolonger une fonction en un point de façon satisfaisante, on essaie souvent de la prolonger par continuité.

Ainsi si une fonction est continue sur une partie de $\mathbb R$, elle restera continue là où elle aura été prolongée par continuité. 

Pour cela, il faut que la limite en le point de prolongement existe et il suffit de prolonger de décider que l'image de $f$ en ce point soit égale à cette limite.

Exemple 1 (suite).

Ainsi dans notre exemple, puisque $f(x)=\frac x x= 1$ pour tout $x$ non nul, on a $\lim_{x\rightarrow 0} f(x)=1$.

En prolongeant $f$ en $0$ par $f(0)=1$, on obtient une fonction continue sur $\mathbb R$.

Notre exemple est trivial, et une telle fonction n'a pas vraiment d'intérêt car on pouvait tout simplement définir $f$ sur $\mathbb R$ par $f(x)=1$. Cependant, il n'est pas toujours possible de définir une fonction continue par une seule expression algébrique de $x$ valable sur tout son intervalle de définition.

Considérons l'exemple suivant.

Exemple 2.

On pose pour tout $x$ non nul $g(x)=\frac{x^2}{1+\mathrm{e}^{-\frac 1 x}}$.

Peut-on prolonger $g$ par continuité ?

Si oui, que vaut $g(0)$ ?

Solution.

Lorsque $x$ tend vers $0$, avec $x>0$, la quantité $\mathrm{e}^{-\frac 1 x}$ tend vers $0$ car $-\frac 1 x$ tend vers $-\infty$. On en déduit que

$$ \lim_{x\longrightarrow 0^+}g(x)=\frac{0^2}{1+0}=0$$

Lorsque $x$ tend vers $0$, avec $x<0$, la quantité $\mathrm{e}^{-\frac 1 x}$ tend vers $+\infty$ car $-\frac 1 x$ tend vers $+\infty$. On en déduit que

$$ \lim_{x\longrightarrow 0^-}g(x)=0$$

car $ \lim_{x\longrightarrow 0^-}1+\mathrm{e}^{-\frac 1 x}=+\infty$ et 

$ \lim_{x\longrightarrow 0^-}x^2=0$.

Ainsi $\lim_{x\longrightarrow 0} g(x)=0 $.

Exemple 3.

Peut-on prolonger la fonction $h(x)=\frac{\sin x}{x}$ en zéro ?

Solution.

On a $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x-\sin 0}{x-0}$. 

Cette limite est donc égale au nombre dérivé de la fonction $\sin$ en $0$, c'est $\sin'(0)=\cos(0)=1$.

Ainsi en posant 

$$\left\{\begin{array}{rclr} h(x) & = & \frac{\sin x}{x}  &\textrm{si }  x\neq 0 \\    h(0) & = & 1 \\ \end{array} \right. $$

on obtient donc une fonction continue.