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mercredi 3 avril 2024

Continuité d'une fonction réelle sur un intervalle

Continuité d'une fonction réelle sur un intervalle

Cet article fait suite à Continuité d'une fonction réelle en un point.

Continuité sur I


On dit qu'une fonction est continue sur un intervalle I si elle est continue en tout point x\in I.

La continuité est une propriété locale. Autrement dit, montrer un résultat de continuité revient à le montrer en chaque point.


Exemple 1.

Par exemple les fonctions affines x\mapsto ax+b définies sur I=\mathbb R, sont continues sur \mathbb R.

Représentation d'une fonction affine


Démonstration. 

Soit t un nombre réel. On va montrer que f définie par f(x)=ax+b est continue en t.

On note pour tout réel x, d(x)=|f(x)-f(t)|=|a(x-t)|.

  • Si a=0, d(x)=0.
  • Si a\neq 0, alors d(x)\leq \varepsilon \Longleftrightarrow |x-t|\leq \frac{\varepsilon}{|a|} .

Soit \varepsilon>0. D'après ce qui précède, prendre x tel que \delta=\frac{\varepsilon}{|a|} implique dans tous les cas que |f(x)-f(t)|\varepsilon.

On en déduit que pour tout t, f est continue en t. f est donc une fonction continue sur \mathbb R.


Exemple 2. 

La fonction valeur absolue \left| \cdot \right| est continue sur \mathbb R.

Représentation de la fonction valeur absolue


Preuve. 

La fonction est définie comme suit :

|x|=\left\{\begin{array}{rcl} -x &\textrm{si} & x<0 \\ 0 &\textrm{si} & x=0 \\ x &\textrm{si} & x>0 \\ \end{array}\right.

 

Cette fonction est polynomiale pour x<0 et pour x>0. Elle est donc continue en tout t\neq 0. Elle est aussi continue en 0 comme nous l'avions vu au-dessus donc elle est continue sur \mathbb R



Propriété 2.

Si f et g sont continues sur un intervalle I, alors leur somme f+g et leur produit fg sont continues sur I.

Démonstration. 

D'après la propriété 1 de [Continuité d'une fonction réelle en un point], pour tout point de I, f+g et fg sont continues en I.  

Propriété 3. 

Les fonctions polynômes sont continues sur \mathbb R.

Représentation d'une fonction polynomiale


Preuve.

Tout d'abord d'après l'exemple 3, la fonction x\longmapsto x est continue.

Ainsi un raisonnement par récurrence, montre à l'aide de la propriété 2 (produit) , que pour tout entier naturel i, x\longmapsto x^i est continue. 

D'après l'exemple 3, pour tout réel c_i, x\longmapsto c_i est continue sur \mathbb R, donc d'après la propriété 2, pour tout réel c_i, et pour tout entier naturel i, x\longmapsto c_i x^i est continue sur \mathbb R

Ainsi par récurrence, on en déduit, en utilisant la propriété 2 (somme de deux fonctions) que toute fonction polynomiale x\longmapsto \sum_{i=0}^n c_i x^i est continue sur \mathbb R.


Composée de fonctions continues


Si f:E \longrightarrow E', on note f(E)=\left\{f(x), x\in E \right\}.
f(E) est appelée l'image directe de f


Si g:F\longrightarrow F' avec f(E)\subset F, alors, on peut définir la fonction composée g\circ f:E\longrightarrow F' par g\circ f : x \longmapsto g(f(x)) .


Propriété 4. 

Soient I\subset \mathbb R, et J\subset \mathbb R deux intervalles. 

Soient f:I\longrightarrow \mathbb R et g:J\longrightarrow \mathbb R

deux fonctions continues, avec f(I)\subset I.

Alors g\circ f est continue.


Preuve. 

Soit t\in \mathbb R, il suffit de montrer que g\circ f est continue en t.


Quelque soient \varepsilon_1,\varepsilon_2>0, comme f et g sont continues respectivement en t et en f(t), il existe \alpha>0 et \beta>0 tels que 

|x-t|\leq \alpha implique |f(x)-f(t)|<\varepsilon_1$ et 

|y-f(t)|\leq \beta implique |g(y)-g(f(t))|< \varepsilon_2 .


Soit \varepsilon>0. On prend \varepsilon_2=\varepsilon, puis \varepsilon_1=\beta.


Ainsi, on a pour tout x tel que |x-t|\leq \alpha

|f(x)-f(t)|<\beta

d'où

|g(f(x))-g(f(t))|< \varepsilon

La continuité de g\circ f est donc prouvée.


Exemple 3.

La fonction x\longmapsto | x^2-1| définie sur \mathbb R est continue. En effet, c'est la composée de la fonction polynomiale x\longmapsto x^-1 et de la fonction valeur absolue | \cdot| (voir article prec_1). 

Fonction valeur absolue de x^2-1



Cas de la fonction inverse et inverse d'une fonction


Propriété 5.

La fonction x\longmapsto \frac{1}{x} est continue sur ]-\infty;0[ et sur ]0;+\infty[.


Démonstration. 

(1) On commence par montrer la continuité de x\longmapsto \frac{1}{x} sur ]0;+infty[.


Soit t>0. Nous allons montrer que la fonction x\longmapsto \frac{1}{x} est continue en t


Pour x>0, on note

d(x,t)=\left|\frac{1}{x}-\frac{1}{t}\right| = \left| \frac{t-x}{tx}\right|=\frac{\left|t-x \right|}{tx}


Si \left|t-x \right|\leq \frac{t}{2}, on a -\frac t 2\leq x-t\leq \frac t 2 d'où en particulier 0<\frac t 2\leq x . Comme la fonction inverse est strictement décroissante sur ]0;+\infty[, on en déduit que \frac 1 x\leq \frac 2 t. Dans ce cas, on obtient 


d(x,t)=\frac{\left|t-x \right|}{tx}\leq |t-x|\cdot \frac{2}{t^2}


Soit \varepsilon>0


Soit \delta=\min\left(\frac t 2,\frac{\varepsilon t^2}{2} \right) et  

soit x tel que |t-x|\leq \delta.


On a alors d(x,t)\leq |t-x|\cdot \frac{2}{t^2}\leq \frac{\varepsilon t^2}{2}\cdot \frac{2}{t^2}=\varepsilon.


La fonction x\longmapsto \frac{1}{x} est donc continue sur ]0;+\infty[.


(2) Notons f la fonction x\longmapsto \frac{1}{x} sur ]0;+infty[.


Soit h la fonction définie sur ]-\infty;0[ par h(x)=f(-x)=\frac{1}{-x}.


h est donc la composée de la fonction continue x\longmapsto -x définie sur ]-\infty;0[ par f (continue d'après (1)). C'est donc une fonction continue. 


Notons u la fonction définie sur ]-\infty;0[ par u(x)=-h(x)=-f(-x)=-\frac{1}{-x}=\frac 1 x


u est la composée de la fonction h par la fonction x\longmapsto -x définie sur ]0;+\infty[. Elle est donc continue. 


La fonction x\longmapsto \frac{1}{x} est bien continue sur ]-\infty;0[.


Puisque la définition de continuité est de nature locale, on peut dire que f est continue sur un ensemble E (pas nécessairement un intervalle) lorsque f est continue en tout point t de E



Propriété 6.

Soit f:I\longrightarrow \mathbb R, où I est un intervalle. 

On suppose que f ne s'annule pas et que f est continue sur I

Alors la fonction \frac 1 f définie sur I par x\longmapsto \frac 1 {f(x)} est continue.


Démonstration. 

Soit t un nombre de I. Puisque f(t)\neq 0, il existe un réel \alpha>0, tel que x\in I et |x-t|\leq \alpha impliquent |f(t)-f(x)|\leq \frac{|f(t)|}{2}. On a donc 

-\frac{|f(t)|}{2}+ f(t) \leq f(x) \leq \frac{|f(t)|}{2}+ f(t).

On a alors deux possibilités : 

  • si f(t)< 0, la deuxième inégalité donne f(x) \leq \frac{-f(t)}{2}+ f(t)=\frac{f(t)}{2}<0
  • si f(t)> 0, la première inégalité donne f(x) \geq -\frac{f(t)}{2}+ f(t)=\frac{f(t)}{2}>0.

Sur l'intervalle I_t=]t-\alpha;t+\alpha[\cap I,

\frac 1 f est la composée de f sur I_t par x\longmapsto \frac 1 x sur ]0;+\infty[ ou sur ]-\infty;0[ (selon le signe de f(t)).

\frac 1 f est donc continue sur I_t, et en particulier en t

Ceci étant vrai pour tout t, \frac 1 f est continue sur I.


Remarque. 

A travers cette démonstration, on voit qu'une fonction est continue sur un intervalle I si et seulement si pour tout point t de I, il existe un intervalle I_t\subset I sur lequel la fonction est continue.


Propriété 7. 

Soient f et g deux fonctions définies et continues sur un intervalle I. On suppose que g ne s'annule pas sur I.

Alors la fonction \frac f g définie sur I par x\longmapsto \frac{f(x)}{g(x)} est continue sur I 


Preuve. 

\frac f g est le produit de fonctions continue f\times \frac 1 g .


Et après

J'aimerai dans d'autres articles m'intéresser à d'autres sujets liés à la continuité, en particulier voir comment sont reliées les notions de limites et de continuité.

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