Voici un approfondissement du programme de spécialité maths.
Thème. Fonction exponentielle, étude de fonctions.
Niveau. Terminale spécialité maths. Approfondissement.
Cet article s'intéresse tout d'abord aux fonctions de la forme x\longmapsto x^a (fonctions puissances) puis aux fonctions du type x\longmapsto \alpha^x (fonction exposant).
Fonctions puissance
Pour un nombre entier naturel a, {\mathrm e}^ {a\ln x}={\mathrm e}^{\ln(x^a)}=x^a.
Pour un nombre entier négatif b=-a, avec a positif, on a donc x^b=\frac{1}{x^a}=\frac{1}{ {\mathrm e}^ {a\ln x}}={\mathrm e}^{-a\ln x}={\mathrm e}^{b\ln x}.
Cela nous donne envie pour un nombre réel quelconque \alpha de définir
(\star)\ \ \ \ \ x^\alpha= {\mathrm e}^ {\alpha\ln x}
Tant que x>0, cette définition a du sens.
Ainsi on définit pour tout x>0, et pour tout réel \alpha,
x^\alpha= {\mathrm e}^ {\alpha\ln x}
La fonction p_\alpha:x\longmapsto x^\alpha est appelée fonction puissance \alpha-ième.
Propriété 0.
Pour tout \alpha réel, pour tout réel x>0,
\ln\left(x^\alpha\right)=\alpha \ln x
Preuve.
\ln\left(x^\alpha\right)=\ln \left({\mathrm e}^{\alpha \ln x}\right)=\alpha \ln x
Propriété 1.
On a pour \alpha et \beta réels, pour tout x strictement positif,
x^\alpha x^\beta=x^{\alpha+\beta}
Démonstration.
x^\alpha x^\beta={\mathrm e}^ {\alpha\ln x}{\mathrm e}^ {\beta\ln x} ={\mathrm e}^ {(\alpha+\beta)\ln x} = x^{\alpha+\beta}.
Propriété 2.
Pour tout \alpha et \beta réels, pour tout réel x>0,
\left(x^\alpha\right)^\beta=x^{\alpha \beta }
Preuve.
On a d'après la définition (\star) puis la propriété 1, puis à nouveau (\star),
\left(x^\alpha\right)^\beta={\mathrm e}^{\beta\ln\left(x^\alpha\right)}={\mathrm e}^{\beta\alpha\ln\left(x\right)} =x^{\alpha \beta}
Propriété 3.
Pour tout réel \alpha, la fonction p_\alpha:x\longmapsto x^\alpha est continue et dérivable sur ]0;+\infty[.
De plus si \alpha\neq 0, p_{\alpha}'(x)=\alpha x^{\alpha-1}.
Preuve.
p_\alpha est dérivable car c'est une composée de fonctions dérivables. Elle est en particulier continue.
On a en effet p_\alpha={\mathrm e}^p \circ u
où u est définie sur ]0;+\infty[ par u(x)=\alpha \ln x.
Ainsi p_{\alpha}'=u'\cdot {\exp}'\circ u=u'\cdot\exp \circ u=u'\cdot p_{\alpha}
Comme u'(x)=\frac{\alpha}{x}=\alpha x^{-1}, on a p_\alpha'(x)=\alpha x^{-1}x^\alpha=\alpha x^{\alpha-1}
Ci-dessous quelques fonctions puissances
Limite
Soit \alpha un nombre réel, est-ce que \lim_{x\rightarrow 0} x^\alpha existe ?
On a x^\alpha=\mathrm e^{\alpha \ln x}. Lorsque x tend vers zéro, \ln x tend vers -\infty. Il y trois cas possibles :
(1) \alpha<0. Comme \alpha \ln x tend vers +\infty, x^\alpha=\mathrm e^{\alpha \ln x} tend vers +\infty.
(2) \alpha=0. Comme pour tout x>0 \mathrm e^{0 \ln x}=1, on a \lim_{x\rightarrow 0} x^\alpha=1.
(3) \alpha>0. Comme \alpha \ln x tend vers +\infty, x^\alpha=\mathrm e^{\alpha \ln x} tend vers 0.
Ainsi on peut prolonger la fonction x\longmapsto x^\alpha en zéro par continuité en posant :
0^\alpha=1, si \alpha=0, autrement dit 0^0=1
0^\alpha=0, si \alpha>0.
Fonctions exposant
Pour tout réel strictement positif a, on considère la fonction e_a:x\longmapsto a^x.
C'est une fonction exposant.
Propriété 4.
Pour tout réel strictement positif a, la fonction e_a:x\longmapsto a^x est dérivable (et donc continue).
De plus e_a'=\ln(a)\cdot e_a
Preuve.
e_a(x)={\mathrm e}^{x\ln a} donc e_a est dérivable de dérivée e_a'(x)=(\ln a){\mathrm e}^{x\ln a}.
En fonction de a, on en déduit l'allure de la fonction e_a. Plus précisément : e_a est strictement croissante si et seulement si a>1
- e_a est strictement décroissante si et seulement si a<1
- e_a est strictement décroissante si et seulement si a=1
En effet par propriété de la fonction \ln (voir graphe ci-dessous)
- \ln(a)<0 si 0<a<1
- \ln(a)=0 si a=1
- \ln(a)>0 si a>1
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