Fonction puissance et fonction exposant (Approfondissement spécialité maths)

Voici un approfondissement du programme de spécialité maths.

Thème. Fonction exponentielle, étude de fonctions.

Niveau. Terminale spécialité maths. Approfondissement.

Cet article s'intéresse tout d'abord aux fonctions de la forme $x\longmapsto x^a $ (fonctions puissances) puis aux fonctions du type $x\longmapsto \alpha^x $ (fonction exposant).

Fonctions puissance

Pour un nombre entier naturel $a$, ${\mathrm e}^ {a\ln x}={\mathrm e}^{\ln(x^a)}=x^a$. 

Pour un nombre entier négatif $b=-a$, avec $a$ positif, on a donc $x^b=\frac{1}{x^a}=\frac{1}{ {\mathrm e}^ {a\ln x}}={\mathrm e}^{-a\ln x}={\mathrm e}^{b\ln x}$.

Cela nous donne envie pour un nombre réel quelconque $\alpha$ de définir

$$(\star)\ \ \ \ \ x^\alpha= {\mathrm e}^ {\alpha\ln x}$$

Tant que $x>0$, cette définition a du sens.

Ainsi on définit pour tout $x>0$, et pour tout réel $\alpha$,

$$x^\alpha= {\mathrm e}^ {\alpha\ln x}$$

La fonction $p_\alpha:x\longmapsto x^\alpha$ est appelée fonction puissance $\alpha$-ième.

Propriété 0.

Pour tout $\alpha$ réel, pour tout réel $x>0$,

$$\ln\left(x^\alpha\right)=\alpha \ln x$$

Preuve. 

$$\ln\left(x^\alpha\right)=\ln \left({\mathrm e}^{\alpha \ln x}\right)=\alpha \ln x$$

Propriété 1.

On a pour $\alpha$ et $\beta$ réels, pour tout $x$ strictement positif,

$$x^\alpha x^\beta=x^{\alpha+\beta}$$

Démonstration.

$x^\alpha x^\beta={\mathrm e}^ {\alpha\ln x}{\mathrm e}^ {\beta\ln x} ={\mathrm e}^ {(\alpha+\beta)\ln x} = x^{\alpha+\beta}$.

Propriété 2.

Pour tout $\alpha$ et $\beta$ réels, pour tout réel $x>0$,

$$\left(x^\alpha\right)^\beta=x^{\alpha \beta } $$

Preuve.

On a d'après la définition $(\star)$ puis la propriété 1, puis à nouveau $(\star)$,

$$\left(x^\alpha\right)^\beta={\mathrm e}^{\beta\ln\left(x^\alpha\right)}={\mathrm e}^{\beta\alpha\ln\left(x\right)} =x^{\alpha \beta}$$

Propriété 3.

Pour tout réel $\alpha$, la fonction $p_\alpha:x\longmapsto x^\alpha$ est continue et dérivable sur $]0;+\infty[$.

De plus si $\alpha\neq 0$, $p_{\alpha}'(x)=\alpha x^{\alpha-1}$.

Preuve. 

$p_\alpha$ est dérivable car c'est une composée de fonctions dérivables. Elle est en particulier continue.

On a en effet $p_\alpha={\mathrm e}^p \circ u$

où $u$ est définie sur $]0;+\infty[$ par $u(x)=\alpha \ln x$. 

Ainsi $$p_{\alpha}'=u'\cdot {\exp}'\circ u=u'\cdot\exp \circ u=u'\cdot p_{\alpha}$$ 

Comme $u'(x)=\frac{\alpha}{x}=\alpha x^{-1}$, on a $$p_\alpha'(x)=\alpha x^{-1}x^\alpha=\alpha x^{\alpha-1}$$

Ci-dessous quelques fonctions puissances

 

Limite

Soit $\alpha$ un nombre réel, est-ce que $\lim_{x\rightarrow 0} x^\alpha$ existe ?

On a $x^\alpha=\mathrm e^{\alpha \ln x}$. Lorsque $x$ tend vers zéro, $\ln x$ tend vers $-\infty$. Il y trois cas possibles :

(1) $\alpha<0$. Comme $\alpha \ln x$ tend vers $+\infty$, $x^\alpha=\mathrm e^{\alpha \ln x}$ tend vers $+\infty$.

(2) $\alpha=0$. Comme pour tout $x>0$ $\mathrm e^{0 \ln x}=1$, on a $\lim_{x\rightarrow 0} x^\alpha=1$.

(3) $\alpha>0$. Comme $\alpha \ln x$ tend vers $+\infty$, $x^\alpha=\mathrm e^{\alpha \ln x}$ tend vers $0$.

Ainsi on peut prolonger la fonction $x\longmapsto x^\alpha$ en zéro par continuité en posant : 

$0^\alpha=1$, si $\alpha=0$, autrement dit $0^0=1$

$0^\alpha=0$, si $\alpha>0$.

Fonctions exposant 

 

Pour tout réel strictement positif $a$, on considère la fonction $e_a:x\longmapsto a^x$.

C'est une  fonction exposant.

Propriété 4. 

Pour tout réel strictement positif $a$, la fonction $e_a:x\longmapsto a^x$ est dérivable (et donc continue).

De plus $e_a'=\ln(a)\cdot e_a$

Preuve.

$e_a(x)={\mathrm e}^{x\ln a}$ donc $e_a$ est dérivable de dérivée $e_a'(x)=(\ln a){\mathrm e}^{x\ln a}$.

En fonction de $a$, on en déduit l'allure de la fonction $e_a$. Plus précisément : $e_a$ est strictement croissante si et seulement si $a>1$

• $e_a$ est strictement décroissante si et seulement si $a<1$
• $e_a$ est strictement décroissante si et seulement si $a=1$

En effet par propriété de la fonction $\ln$ (voir graphe ci-dessous)

• $\ln(a)<0 $ si $0<a<1$
• $\ln(a)=0 $ si $a=1$
• $\ln(a)>0 $ si $a>1$