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Mathjax

jeudi 18 avril 2024

Fonction puissance et fonction exposant (Approfondissement spécialité maths)

Voici un approfondissement du programme de spécialité maths.

Thème. Fonction exponentielle, étude de fonctions.

Niveau. Terminale spécialité maths. Approfondissement.

Cet article s'intéresse tout d'abord aux fonctions de la forme x\longmapsto x^a (fonctions puissances) puis aux fonctions du type x\longmapsto \alpha^x (fonction exposant).

Fonctions puissance

Pour un nombre entier naturel a, {\mathrm e}^ {a\ln x}={\mathrm e}^{\ln(x^a)}=x^a

Pour un nombre entier négatif b=-a, avec a positif, on a donc x^b=\frac{1}{x^a}=\frac{1}{ {\mathrm e}^ {a\ln x}}={\mathrm e}^{-a\ln x}={\mathrm e}^{b\ln x}.

Cela nous donne envie pour un nombre réel quelconque \alpha de définir
(\star)\ \ \ \ \ x^\alpha= {\mathrm e}^ {\alpha\ln x}

Tant que x>0, cette définition a du sens.

Ainsi on définit pour tout x>0, et pour tout réel \alpha,
x^\alpha= {\mathrm e}^ {\alpha\ln x}

La fonction p_\alpha:x\longmapsto x^\alpha est appelée fonction puissance \alpha-ième.

Propriété 0.
Pour tout \alpha réel, pour tout réel x>0,

\ln\left(x^\alpha\right)=\alpha \ln x

Preuve. 
\ln\left(x^\alpha\right)=\ln \left({\mathrm e}^{\alpha \ln x}\right)=\alpha \ln x

Propriété 1.

On a pour \alpha et \beta réels, pour tout x strictement positif,
x^\alpha x^\beta=x^{\alpha+\beta}

Démonstration.
x^\alpha x^\beta={\mathrm e}^ {\alpha\ln x}{\mathrm e}^ {\beta\ln x} ={\mathrm e}^ {(\alpha+\beta)\ln x} = x^{\alpha+\beta}.


Propriété 2.

Pour tout \alpha et \beta réels, pour tout réel x>0,
\left(x^\alpha\right)^\beta=x^{\alpha \beta }

Preuve.
On a d'après la définition (\star) puis la propriété 1, puis à nouveau (\star),
\left(x^\alpha\right)^\beta={\mathrm e}^{\beta\ln\left(x^\alpha\right)}={\mathrm e}^{\beta\alpha\ln\left(x\right)} =x^{\alpha \beta}

Propriété 3.

Pour tout réel \alpha, la fonction p_\alpha:x\longmapsto x^\alpha est continue et dérivable sur ]0;+\infty[.

De plus si \alpha\neq 0, p_{\alpha}'(x)=\alpha x^{\alpha-1}.

Preuve. 
p_\alpha est dérivable car c'est une composée de fonctions dérivables. Elle est en particulier continue.

On a en effet p_\alpha={\mathrm e}^p \circ u
u est définie sur ]0;+\infty[ par u(x)=\alpha \ln x

Ainsi p_{\alpha}'=u'\cdot {\exp}'\circ u=u'\cdot\exp \circ u=u'\cdot p_{\alpha} 

Comme u'(x)=\frac{\alpha}{x}=\alpha x^{-1}, on a p_\alpha'(x)=\alpha x^{-1}x^\alpha=\alpha x^{\alpha-1}

Ci-dessous quelques fonctions puissances

 

Limite


Soit \alpha un nombre réel, est-ce que \lim_{x\rightarrow 0} x^\alpha existe ?

On a x^\alpha=\mathrm e^{\alpha \ln x}. Lorsque x tend vers zéro, \ln x tend vers -\infty. Il y trois cas possibles :
(1) \alpha<0. Comme \alpha \ln x tend vers +\infty, x^\alpha=\mathrm e^{\alpha \ln x} tend vers +\infty.
(2) \alpha=0. Comme pour tout x>0 \mathrm e^{0 \ln x}=1, on a \lim_{x\rightarrow 0} x^\alpha=1.
(3) \alpha>0. Comme \alpha \ln x tend vers +\infty, x^\alpha=\mathrm e^{\alpha \ln x} tend vers 0.

Ainsi on peut prolonger la fonction x\longmapsto x^\alpha en zéro par continuité en posant : 
0^\alpha=1, si \alpha=0, autrement dit 0^0=1
0^\alpha=0, si \alpha>0.

Fonctions exposant 

 
Pour tout réel strictement positif a, on considère la fonction e_a:x\longmapsto a^x.

C'est une  fonction exposant.

Propriété 4. 

Pour tout réel strictement positif a, la fonction e_a:x\longmapsto a^x est dérivable (et donc continue).

De plus e_a'=\ln(a)\cdot e_a

Preuve.

e_a(x)={\mathrm e}^{x\ln a} donc e_a est dérivable de dérivée e_a'(x)=(\ln a){\mathrm e}^{x\ln a}.

En fonction de a, on en déduit l'allure de la fonction e_a. Plus précisément : e_a est strictement croissante si et seulement si a>1
  • e_a est strictement décroissante si et seulement si a<1
  • e_a est strictement décroissante si et seulement si a=1

En effet par propriété de la fonction \ln (voir graphe ci-dessous)



  • \ln(a)<0 si 0<a<1
  • \ln(a)=0 si a=1
  • \ln(a)>0 si a>1




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