$\mathbb N$ (2) Addition des nombres entiers naturels

Cet article fait suite à $\mathbb N$ [1]. 

Tout nombre entier $n$ non nul est le successeur d'un unique entier. En effet, notons $E'$ l'ensemble des entiers naturels successeurs d'un autre entiers naturels. L'ensemble $E=\left\{0 \right\}\cup E'$ est l'ensemble $\mathbb N$ lui-même car d'après l'axiome de Peano (5), il contient $0$ et s'il contient un entier $k$, il contient aussi $k+1$ car celui-ci est son successeur. 

Nous y aborderons l'associativité et a commutativité de $+$ dans $\mathbb N$.

Prédécesseur d'un entier naturel non-nul

L'unique nombre entier dont un nombre entier $n$ non-nul est le successeur est appelé son prédécesseur, et on le note $n-1$. 

Par l'axiome de Peano (4), il ne peut y avoir qu'un seul prédécesseur. 

Propriété 1. 

(1) Le successeur du prédécesseur d'un entier naturel $n$ non-nul est $n$ lui-même. Autrement dit, $(n-1)+1=n$

(2) Le prédécesseur du successeur d'un entier naturel $n$

est $n$. Autrement dit, $(n+1)-1=n$

Preuve. 

(1) Par définition $n-1$ a pour successeur $n$ donc $(n-1)+1=n$.

(2) Comme $n+1$ est le successeur de $n$, $n$ est le prédécesseur de $n+1$. Donc $(n+1)-1=n$.

L'addition de définit comme suit. Soit $n$ un élément de $\mathbb N$ et $m$ un autre élément de $\mathbb N$, alors :

• Si $m=0$, $n+m$ est défini par $n$
• Si $m=1$, $n+m$ est défini par le successeur de $n$, c'est-à-dire $n+1$
• Sinon $n+m$ est défini comme le successeur de $n+(m-1)$, c'est-à-dire : $n+m=(n+(m-1))+1$.

L'addition est bien définie pour tous entiers naturels $n,m$ dans $\mathbb N$. En effet, choisissons un entier naturle $n$ et notons $\mathcal P_m$ la propriété 

$${\mathcal{P}}_m:"n+m"\text{ est bien défini}$$

Démontrons pour tout $m\in\mathbb N$, $\mathbb P_m$, en utilisant le théorème de récurrence A. 

(I) $\mathcal P_0$ car $n+0$ est défini par $n$

(H) Supposons pour un certain entier naturel $k$, $\mathcal P_k$. Alors $n+k$ est défini. $n+(k+1)$ est défini comme le successeur de $n+((k+1)-1)=n+k$ d'après la propriété 1. Donc $\mathcal P_{k+1}$.

Conclusion. Par initialisation et hérédité, pour tout $m\in\mathbb N$, $"n+m"$ est bien défini.

Remarque. Dans l'étape d'hérédité, l'hypothèse $\mathcal P_k$ supposée pour un certain $k$ est appelée hypothèse de récurrence. 

Propriété 2. Soit $n,m$ deux entiers naturels, alors $(n+m)+1=n+(m+1)$.

Autrement dit, le successeur de $n+m$ est l'addition de $n$ est du successeur de $m$. 

Preuve. Par définition de l'addition, et d'après la propriété 1, $n+(m+1)=(n+((m+1)-1))+1=(n+m)+1$.

Associativité et commutativité

Propriété 3 (Associativité). Pour tous entiers naturels, n,p,q, on a 

$$(n+p)+q=n+(p+q)$$

Preuve. Par récurrence sur $q$. 

On pose pour tout $q\in\mathbb N$, 

$${\mathcal{P}}_q:\mathrm{\forall }n,p\in \mathbb{N}(n+p)+q=n+(p+q)$$

(I) Soient $n,p\in\mathbb N$.  Si $q=0$, $(n+p)+q=(n+p)+0=n+p$. Par ailleurs, $p+q=p+0=p$ donc $n+(p+0)=n+p$. On a donc $\mathcal P_0$.

(H) Soient $n,p\in\mathbb N$. Supposons que pour une certain $k$, 

$$(n+p)+k=n+(p+k)$$

Alors d'après la propriété 2, puis d'après $\mathcal P_k$, puis encore la propriété 2 deux fois,  

$$(n+p)+(k+1)=(n+p+1)+k=n+((p+1)+k)=n+(p+(k+1))$$ 

On obtient donc $\mathcal P_{k+1}$.

Conclusion. Par initialisation et hérédité, la propriété 3 est démontrée.

    

Propriété 4. 

a) Soit $n$ un entier naturel. Alors $0+n=n$.

b) Soit $n$ un entier naturel. Alors $1+n=n+1$.

Preuve.

a) Par récurrence sur $n$. 

On pose pour tout entier naturel $n$,

$${\mathcal{P}}_n:0+n=n$$

(I) Si $n=0$, par définition de l'addition, on a $0+n=0+0=0=n$. Donc $\mathcal P_0$.

(H) Supposons que pour un certain entier naturel $k$, on a $\mathcal P_k$. Ainsi $0+k=k$. On a d'après la pripriété 3, $0+(k+1)=(0+k)+1=k+1$. Donc $\mathcal P_{k+1}$.

Conclusion. Par initialisation et par hérédité, la propriété 4 est démontrée.

b) Par récurrence sur $n$. 

On pose pour tout entier naturel $n$,

$${\mathcal{P}}_n:1+n=n+1$$

(I) Si $n=0$, par définition de l'addition, on a $1+0=1=0+1$. Donc $\mathcal P_0$.

(H) Supposons pour un certain $k\in\mathbb N$, $\mathcal P_k$, c'est-à-dire $k+1=1+k$. 

Alors d'après la propriété 3 et l'hypothèse de récurrence $\mathcal P_k$, $(k+1)+1=(1+k)+1=1+(k+1)$.

Conclusion. Pour tout $n$, on a $n+1=1+n$.

Propriété 5 (Commutativité). Soient $n,q$ deux entiers naturels. Alors $n+q=q+n$. 

Démonstration. Par récurrence sur $q$. 

On pose pour tout entier naturel $q$,

$${\mathcal{P}}_q:\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},n+q=q+n$$

(I) Pour tout entier naturel $n$, $n+0=0+n$ d'après la propriété 4.a 

Donc $\mathcal P_0$.

(H) Supposons que pour tout $n$, $n+q=q+n$. 

Alors $n+(q+1)=(n+q)+1$ d'après la propriété 2. Or par l'hypothèse de récurrence $\mathcal P_q$, $n+q=q+n$. On en déduit que $n+(q+1)=(q+n)+1=q+(n+1)$ d'après la propriété 2 (ou 3). D'après la propriété 4.b, et encore la propriété 2, on a donc $n+(q+1)=q+(1+n)=(q+1)+n$

Conclusion. Ainsi par initialisation et hérédité, on a pour tout $q\in\mathbb N$, pour tout $n\in \mathbb N$, $n+q=q+n$. 

Remarque. Supposons que $n$ est un entier différent de 0 (un entier non-nul). Le prédécesseur de $n+p$ est $(n+p)-1$.  

D'autre part $(n-1)+p$, a pour successeur $((n-1)+p)+1=(n-1)+(p+1)=(n-1)+(1+p)=((n-1)+1)+p=n+p$ donc $(n-1)+p$ est aussi le prédécesseur de $(n+p)-1$. Par l'axiome (4), on en déduit que $(n-1)+p=n+(p-1)$. 

Propriété 6. 

Si $n,q,p$ sont trois entiers naturels tels que $n+q=n+p$, alors $q=p$. 

Démonstration. 

a) Par récurrence sur $n$. 

On pose pour tout entier naturel $n$, 

$${\mathcal{R}}_n:n+q=n+p⟹q=p$$

(I) $q=0+q=0+p=p$ donc $\mathcal R_0$.

(H) Supposons pour un certain $k\in\mathbb N$, $k\neq 0$, on a $\mathcal R_k$. 

Supposons que pour un entier naturel $p$, on a  $(k+1)+q=(k+1)+p$. D'après les propriétés d'associativité et de commutativité, on en déduit que $k+(q+1)=k+(p+1)$ d'où $(k+p)+1=(k+q)+1$. Par unicité du précédesseur, $k+p=k+q$ et l'on déduit par $\mathcal R_k$ que $p=q$. 

Conclusion. La propriété 6 est démontrée.

Ensuite

Dans un article à suivre, nous verrons d'autre propriétés de $\mathbb N$. Avant d'y construire la multiplication, nous nous intéresserons à la relation d'ordre $\leq$.