Cet article fait suite à \mathbb N [1].
Tout nombre entier n non nul est le successeur d'un unique entier. En effet, notons E' l'ensemble des entiers naturels successeurs d'un autre entiers naturels. L'ensemble E=\left\{0 \right\}\cup E' est l'ensemble \mathbb N lui-même car d'après l'axiome de Peano (5), il contient 0 et s'il contient un entier k, il contient aussi k+1 car celui-ci est son successeur.
Nous y aborderons l'associativité et a commutativité de + dans \mathbb N.
Prédécesseur d'un entier naturel non-nul
L'unique nombre entier dont un nombre entier n non-nul est le successeur est appelé son prédécesseur, et on le note n-1.
Par l'axiome de Peano (4), il ne peut y avoir qu'un seul prédécesseur.
Propriété 1.
(1) Le successeur du prédécesseur d'un entier naturel n non-nul est n lui-même. Autrement dit, (n-1)+1=n
(2) Le prédécesseur du successeur d'un entier naturel n
est n. Autrement dit, (n+1)-1=n
Preuve.
(1) Par définition n-1 a pour successeur n donc (n-1)+1=n.
(2) Comme n+1 est le successeur de n, n est le prédécesseur de n+1. Donc (n+1)-1=n.
L'addition de définit comme suit. Soit n un élément de \mathbb N et m un autre élément de \mathbb N, alors :
- Si m=0, n+m est défini par n
- Si m=1, n+m est défini par le successeur de n, c'est-à-dire n+1
- Sinon n+m est défini comme le successeur de n+(m-1), c'est-à-dire : n+m=(n+(m-1))+1.
L'addition est bien définie pour tous entiers naturels n,m dans \mathbb N. En effet, choisissons un entier naturle n et notons \mathcal P_m la propriété
\mathcal P_m\ \ :\ \ "n+m" \textrm{ est bien défini}
Démontrons pour tout m\in\mathbb N, \mathbb P_m, en utilisant le théorème de récurrence A.
(I) \mathcal P_0 car n+0 est défini par n
(H) Supposons pour un certain entier naturel k, \mathcal P_k. Alors n+k est défini. n+(k+1) est défini comme le successeur de n+((k+1)-1)=n+k d'après la propriété 1. Donc \mathcal P_{k+1}.
Conclusion. Par initialisation et hérédité, pour tout m\in\mathbb N, "n+m" est bien défini.
Remarque. Dans l'étape d'hérédité, l'hypothèse \mathcal P_k supposée pour un certain k est appelée hypothèse de récurrence.
Propriété 2. Soit n,m deux entiers naturels, alors (n+m)+1=n+(m+1).
Autrement dit, le successeur de n+m est l'addition de n est du successeur de m.
Preuve. Par définition de l'addition, et d'après la propriété 1, n+(m+1)=(n+((m+1)-1))+1=(n+m)+1.
Associativité et commutativité
Propriété 3 (Associativité). Pour tous entiers naturels, n,p,q, on a
(n+p)+q=n+(p+q)
Preuve. Par récurrence sur q.
On pose pour tout q\in\mathbb N,
\mathcal P_q\ \ : \forall n,p\in\mathbb N \ \ (n+p)+q=n+(p+q)
(I) Soient n,p\in\mathbb N. Si q=0, (n+p)+q=(n+p)+0=n+p. Par ailleurs, p+q=p+0=p donc n+(p+0)=n+p. On a donc \mathcal P_0.
(H) Soient n,p\in\mathbb N. Supposons que pour une certain k,
(n+p)+k=n+(p+k)
Alors d'après la propriété 2, puis d'après \mathcal P_k, puis encore la propriété 2 deux fois,
(n+p)+(k+1)=(n+p+1)+k=n+((p+1)+k)=n+(p+(k+1))
On obtient donc \mathcal P_{k+1}.
Conclusion. Par initialisation et hérédité, la propriété 3 est démontrée.
Propriété 4.
a) Soit n un entier naturel. Alors 0+n=n.
b) Soit n un entier naturel. Alors 1+n=n+1.
Preuve.
a) Par récurrence sur n.
On pose pour tout entier naturel n,
\mathcal P_n \ \ : 0+n=n
(I) Si n=0, par définition de l'addition, on a 0+n=0+0=0=n. Donc \mathcal P_0.
(H) Supposons que pour un certain entier naturel k, on a \mathcal P_k. Ainsi 0+k=k. On a d'après la pripriété 3, 0+(k+1)=(0+k)+1=k+1. Donc \mathcal P_{k+1}.
Conclusion. Par initialisation et par hérédité, la propriété 4 est démontrée.
b) Par récurrence sur n.
On pose pour tout entier naturel n,
\mathcal P_n \ \ : 1+n=n+1
(I) Si n=0, par définition de l'addition, on a 1+0=1=0+1. Donc \mathcal P_0.
(H) Supposons pour un certain k\in\mathbb N, \mathcal P_k, c'est-à-dire k+1=1+k.
Alors d'après la propriété 3 et l'hypothèse de récurrence \mathcal P_k , (k+1)+1=(1+k)+1=1+(k+1).
Conclusion. Pour tout n, on a n+1=1+n.
Propriété 5 (Commutativité). Soient n,q deux entiers naturels. Alors n+q=q+n.
Démonstration. Par récurrence sur q.
On pose pour tout entier naturel q,
\mathcal P_q \ \ : \forall n\in \mathbb N, n+q=q+n
(I) Pour tout entier naturel n, n+0=0+n d'après la propriété 4.a
Donc \mathcal P_0.
(H) Supposons que pour tout n, n+q=q+n.
Alors n+(q+1)=(n+q)+1 d'après la propriété 2. Or par l'hypothèse de récurrence \mathcal P_q, n+q=q+n. On en déduit que n+(q+1)=(q+n)+1=q+(n+1) d'après la propriété 2 (ou 3). D'après la propriété 4.b, et encore la propriété 2, on a donc n+(q+1)=q+(1+n)=(q+1)+n
Conclusion. Ainsi par initialisation et hérédité, on a pour tout q\in\mathbb N, pour tout n\in \mathbb N, n+q=q+n.
Remarque. Supposons que n est un entier différent de 0 (un entier non-nul). Le prédécesseur de n+p est (n+p)-1.
D'autre part (n-1)+p, a pour successeur ((n-1)+p)+1=(n-1)+(p+1)=(n-1)+(1+p)=((n-1)+1)+p=n+p donc (n-1)+p est aussi le prédécesseur de (n+p)-1. Par l'axiome (4), on en déduit que (n-1)+p=n+(p-1).
Propriété 6.
Si n,q,p sont trois entiers naturels tels que n+q=n+p, alors q=p.
Démonstration.
a) Par récurrence sur n.
On pose pour tout entier naturel n,
\mathcal R_n\ \ :\ \ n+q=n+p\Longrightarrow q=p
(I) q=0+q=0+p=p donc \mathcal R_0 .
(H) Supposons pour un certain k\in\mathbb N , k\neq 0 , on a \mathcal R_k.
Supposons que pour un entier naturel p, on a (k+1)+q=(k+1)+p. D'après les propriétés d'associativité et de commutativité, on en déduit que k+(q+1)=k+(p+1) d'où (k+p)+1=(k+q)+1. Par unicité du précédesseur, k+p=k+q et l'on déduit par \mathcal R_k que p=q.
Conclusion. La propriété 6 est démontrée.
Ensuite
Dans un article à suivre, nous verrons d'autre propriétés de \mathbb N. Avant d'y construire la multiplication, nous nous intéresserons à la relation d'ordre \leq.
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