$\mathbb N $ (1). Définition de l'ensemble des entiers naturels. Axiomes de Peano. Récurrence.

Dans cet article, nous construisons l'ensemble des entiers naturels $\mathbb N$ en suivant les axiomes de Peano. Ensuite, nous abordons la notion de récurrence.

Entiers naturels

Lorsque enfant, on apprend la comptine numérique : 

$$0,1,2,3,4,5,\ldots,10,11,\ldots,20,\ldots\ldots,100,\ldots,200,\ldots,\ldots$$

On apprend une succession de mots, appelés nombres dans un ordre bien précis. Le premier de ces nombres est zéro "0". Pour chacun de ses nombres, il existe un successeur. "1" succède à "0", "2" succède à "1", "3" succède à 2, etc. De plus, chacun de ces nombres, exceptés "0", est le successeur d'un unique nombre. C'est l'ensemble des nombres entiers naturels.

En reformulant ces éléments de manière formelle, on obtient les 5 axiomes de Peano, que l'on peut considérer comme une définition rigoureuse de l'ensemble des nombres entiers naturels. 

Axiomes de Peano.

(1) "0" (zéro) appartient à l'ensemble des entiers naturels 

(2) Pour tout entier naturel $n$, il existe un unique nombre noté $s_n$ ou $n+1$ appelé son successeur

(3) "0" n'est le successeur d'aucun entier naturel

(4) Deux nombres entiers ayant le même successeur sont égaux. Autrement dit, si $n+1=m+1$, alors $n=m$

(5) Si un ensemble $E$ contient "0" et le successeur de chacun de ses membres, alors cet ensemble est l'ensmble des entiers naturels.

On note $\mathbb N$ l'ensemble des entiers naturels. 

Giuseppe Peano avait énoncé ses axoimes à la fin du XIXè siècle.

Récurrence

Bien souvent, nous appelons "Principe de récurrence" la propriété ci-dessous. Il ne s'agit pas d'un principe à proprement parler car il n'est pas admis. C'est en fait une propriété qui découle de la construction des nombres entiers naturels décrites précédemment.

Appelons propriété, quelque chose ne pouvant prendre de 2 valeurs que nous nomerons "Vrai" et "Faux". 

Théorème A. Considérons pour tout entier naturel $n$ une propriété $\mathcal P_n$. 

Pour que $\mathcal P_n$ soit vraie pour tout $n\in\mathbb N$, il suffit que : 

(I) Initialisation. $\mathcal P_0$ soit vraie

(H) Hérédité. Pour tout $k\in\mathbb N$, si $\mathcal P_k$ est vraie, alors $\mathbb P_{k+1}$ est vraie. 

Remarque. Au lieu de noter $\mathcal P$ est vraie, on peut se contenter de noter $\mathcal P_k$.

Démonstration. Notons $E$ l'ensemble des $n$ tels que $\mathcal P_n$ est vrai. 

Alors d'après (I), $0\in E$. 

Si $k\in E$, alors $\mathcal P_k$. D'après (H), on a $\mathcal P_{k+1}$, donc $k+1\in E$. 

$E$ vérifie donc l'axiome de Peano (5). $E$ est donc l'ensemble des entiers naturels. Autrement dit $\forall n \in \mathbb N, \mathcal P_n$.

Remarque. Soit $n_0\in\mathbb N$. En posant pour tout $n\geq n_0$, $\mathcal {P'}_{n-n_0}$ la propriété $\mathcal P_{n}$, on obtient une généralisation du théorème précédent.

Théorème B. Considérons pour tout entier naturel $n$ une propriété $\mathcal P_n$. 

Pour que $\mathcal P_n$ soit vraie pour tout $n\in\mathbb N$, $n\geq n_0 $, il suffit que : 

(I) Initialisation. $\mathcal P_{n_0}$ soit vraie

(H) Hérédité. Pour tout $k\in\mathbb N$, $k\geq n_0 $, si $\mathbb P_k$ est vraie, alors $\mathbb P_{k+1}$ est vraie. 

Exemple d'application. Le théorème de récurrence nous garantie par exemple que si l'on aligne de dominos de façon à ce que chaque dominos fasse tomber le domino suivant, on fera tomber tous les dominos. 

Plus généralement, si l'on crée une chaine ordonnée d'événements, la réalisation de chaque événement entrainant celle de l'événement suivant, on aura la garantie que tous les événements se réalisent pourvu que l'événement initial soit réalisé. La vidéo suivante illustre ce type d'enchaînement.

Ensuite

Dans un article ultérieur, nous nous intéresserons à la définition de l'addition des nombres entiers naturels.