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jeudi 21 septembre 2023

Suites arithmético-géométriques (A) : Unicité de a et b tels que u_{n+1}=au_n+b

 A ne lire que si vous aimez les détails... 

Dans cet article, je montre que si (u_n) est une suite arithmético-géométrique :
  • si (u_n) est constante, alors, il existe une infinité de couple (a,b) tels que  u_{n+1}=au_n+b
  • sinon a et b sont uniquement déterminés par u_0, u_1 et u_2 ; et donc (u_n) ne dépend que de u_0 , u_1 et u_2.

Cas où (u_n) est constante

Dans cette partie (u_n) est constante.

Notons f la fonction telle que f(x)=ax+b. Si a\neq 1, on note s le point fixe de f, c'est-à-dire le point s=\frac{b}{1-a} .

Supposons dans un premier temps que a\neq 1

Si u_0=s, alors u_1=f(s)=s et de même u_2=f(u_1)=f(s)=s, etc. (faire une récurrence pour la rigueur). Donc la suite est constante : pour tout entier naturel n, u_n=s

Remarquons au passage que u_0=0 si et seulement si s=\frac{b}{1-a}=0\Leftrightarrow b=0 .

Réciproquement, si la suite est constante, u_0=f(u_0) donc u_0=s car c'est l'unique point fixe de f quand a\neq 1.

En général, comme la suite est constante, on peut écrire la relation de récurrene de la suite de plusieurs façons : 

  •   u_{n+1}=au_n+b  
  •  u_{n+1}=u_n

Peut-on écrire cette suite constante avec une autre relation u_{n+1}=a'u_n+b' ? Comme u_1=u_0=s, s est la seule solution de l'équation a'x+b'=x , donc s=\frac{b'}{1-a'}

Donc \frac{b}{1-a}=\frac{b'}{1-a'}

Soit b' un réel non-nul, alors 1-a'=\frac b {b'(1-a)} , donc a'=\frac b {b'(a-1)}+1

Si b'=0, alors d'après la remarque précédente, on peut écrire pour tout réel a', u_{n+1}=a'u_n .

En résumé, si la suite est constante avec u_n=s, on peut définir la suite de plusieurs manières différentes u_{n+1}=au_n+b pourvu que s=\frac{b}{1-a} . Dans le cas pariculier où s=0 ,tout a peut convenir tant que b=0.

Réciproquement si on peut écrire la suite de différentes manières, cela implique-t-il que la suite est constante ?

Nous aurons la réponse plus tard.

Maintenant si la suite est constante avec a=1, c'est-à-dire si pour tout n, u_{n+1}=u_n , alors on a aussi u_{n+1}= a'u_n+b' dès que u_0 est un point fixe de gg(x)=a'x+b'. Or si b'>0, g n'a aucun point fixe et si b'=0, g n'a que des points fixe, et on retombe sur la relation u_{n+1}=u_n . Donc ce n'est possible que lorsque a'\neq 1 et u_0=\frac{b'}{1-a'} .

Cas d'une suite non-constante

Dans le cas d'une suite non-constante et telle que a\neq 0, tous les termes de la suite sont distincts deux à deux. 

De plus, si a=1, alors b\neq 0 et si a\neq 1, alors u_0\neq s

Est-ce que a et b sont uniquement déterminés par les termes de la suite (u_n) ?

On a u_1=au_0+b et u_2=au_1+b .

On en déduit que 

En termes matriciels,

 



 Le déterminant de la matrice

 

est u_0-u_1 . Comme la suite (u_n) n'est pas constante, il est donc non-nul et la matrice possède une inverse : 

On en déduit que a et b sont uniquement déterminés par u_0, u_1 et u_2

Donc 

On retrouve que si u_1=u_2, a=0 et b=\frac{u_1(-u_1+u_0)}{u_0-u_1}=u_1 et la suite est constrante à partir du rang 1.

Donc si la suite n'est pas constante, a et b sont uniquement déterminés par ses éléments (u_0, u_1, et u_2 suffisent). 

En particulier puisque u_0, a et b définissent entièrement (u_n), une suite arithmético-géométrique ne dépend que de u_0, u_1 et u_2.

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