Suites arithmético-géométriques (A) : Unicité de $a$ et $b$ tels que $u_{n+1}=au_n+b$

 A ne lire que si vous aimez les détails... 

Dans cet article, je montre que si $(u_n)$ est une suite arithmético-géométrique :

• si $(u_n)$ est constante, alors, il existe une infinité de couple $(a,b)$ tels que  $u_{n+1}=au_n+b$
• sinon $a$ et $b$ sont uniquement déterminés par $u_0$, $u_1$ et $u_2$ ; et donc $(u_n)$ ne dépend que de $u_0$, $u_1$ et $u_2$.

Cas où $(u_n)$ est constante

Dans cette partie $(u_n)$ est constante.

Notons $f$ la fonction telle que $f(x)=ax+b$. Si $a\neq 1$, on note $s$ le point fixe de $f$, c'est-à-dire le point $s=\frac{b}{1-a}$.

Supposons dans un premier temps que $a\neq 1$. 

Si $u_0=s$, alors $u_1=f(s)=s$ et de même $u_2=f(u_1)=f(s)=s$, etc. (faire une récurrence pour la rigueur). Donc la suite est constante : pour tout entier naturel $n$, $u_n=s$. 

Remarquons au passage que $u_0=0$ si et seulement si $s=\frac{b}{1-a}=0\Leftrightarrow b=0$.

Réciproquement, si la suite est constante, $u_0=f(u_0)$ donc $u_0=s$ car c'est l'unique point fixe de $f$ quand $a\neq 1$.

En général, comme la suite est constante, on peut écrire la relation de récurrene de la suite de plusieurs façons : 

•   $u_{n+1}=au_n+b$ 
•  $u_{n+1}=u_n$

Peut-on écrire cette suite constante avec une autre relation $u_{n+1}=a'u_n+b'$ ? Comme $u_1=u_0=s$, $s$ est la seule solution de l'équation $a'x+b'=x$, donc $s=\frac{b'}{1-a'}$. 

Donc $\frac{b}{1-a}=\frac{b'}{1-a'}$. 

Soit $b'$ un réel non-nul, alors $1-a'=\frac b {b'(1-a)}$, donc $a'=\frac b {b'(a-1)}+1$. 

Si $b'=0$, alors d'après la remarque précédente, on peut écrire pour tout réel $a'$, $u_{n+1}=a'u_n$.

En résumé, si la suite est constante avec $u_n=s$, on peut définir la suite de plusieurs manières différentes $u_{n+1}=au_n+b$ pourvu que $s=\frac{b}{1-a}$. Dans le cas pariculier où $s=0$,tout $a$ peut convenir tant que $b=0$.

Réciproquement si on peut écrire la suite de différentes manières, cela implique-t-il que la suite est constante ?

Nous aurons la réponse plus tard.

Maintenant si la suite est constante avec $a=1$, c'est-à-dire si pour tout $n$, $u_{n+1}=u_n$, alors on a aussi $u_{n+1}= a'u_n+b'$ dès que $u_0$ est un point fixe de $g$ où $g(x)=a'x+b'$. Or si $b'>0$, $g$ n'a aucun point fixe et si $b'=0$, $g$ n'a que des points fixe, et on retombe sur la relation $u_{n+1}=u_n$. Donc ce n'est possible que lorsque $a'\neq 1$ et $u_0=\frac{b'}{1-a'}$.

Cas d'une suite non-constante

Dans le cas d'une suite non-constante et telle que $a\neq 0$, tous les termes de la suite sont distincts deux à deux. 

De plus, si $a=1$, alors $b\neq 0$ et si $a\neq 1$, alors $u_0\neq s$. 

Est-ce que $a$ et $b$ sont uniquement déterminés par les termes de la suite $(u_n)$ ?

On a $u_1=au_0+b$ et $u_2=au_1+b$.

On en déduit que 

En termes matriciels,

 

 Le déterminant de la matrice

 

est $u_0-u_1$. Comme la suite $(u_n)$ n'est pas constante, il est donc non-nul et la matrice possède une inverse : 

On en déduit que $a$ et $b$ sont uniquement déterminés par $u_0$, $u_1$ et $u_2$ : 

Donc 

On retrouve que si $u_1=u_2$, $a=0$ et $b=\frac{u_1(-u_1+u_0)}{u_0-u_1}=u_1$ et la suite est constrante à partir du rang 1.

Donc si la suite n'est pas constante, $a$ et $b$ sont uniquement déterminés par ses éléments ($u_0$, $u_1$, et $u_2$ suffisent). 

En particulier puisque $u_0$, $a$ et $b$ définissent entièrement $(u_n)$, une suite arithmético-géométrique ne dépend que de $u_0$, $u_1$ et $u_2$.