Suites arithmético-géométriques ($\alpha$) : Quelques exercices

Dans cet article, je vais présenter des exemples d'exercices de niveau spécialité terminale sur les suites arithmético-géométriques en les classant par types, par compétences, et par difficulté. 

On pourra consulter au préalable les articles suivants : 

• (1) Définitions et exemple
• (2) Etude complète d'un exemple
• (3) Créer des exercices sur les suites arithmético-géométriques
• (4) Suites arithmético-géométriques : encore une autre façon de trouver le terme général et somme des termes
• (A) Suites arithmético-géométriques  : Unicité de $a$ et $b$ tels que $u_{n+1}=au_n+b$

Trouver le terme général : Classique du bac

Principe. On part d'une relation $u_{n+1}=au_n+b$, avec $u_0$ donné.  

1) Fabriquer une suite auxiliaire $(w_n)$ donnée par $w_n=u_n-s$ et montrer qu'elle est géométrique de raison $a$.

2) Déterminer le terme général de la suite auxiliaire.

3) En déduire le terme général de la suite $(u_n)$.

Compétences visées. 

1) Montrer qu'une suite est géométrique, utiliser le terme général d'une suite géométrique

2) Travailler sur les manipulations algébriques (factorisation, simmplification, changement d'indice, utilser une relation)

En enlevant/ajoutant des questions, des données (la raison de la suite géométrique, la nature de la suite auxiliaire), on peut élaborer des parcours d'apprentissage différents pour les élèves.

Enoncé type.

Soit $(u_n)$ une suite telle que pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}=100u_n -198$, où $u_0=40$.

1) On définit la suite $(w_n)$ par $w_n=u_n-2$. Montrer que $(w_n)$ est géométrique de raison $100$.

2) En déduire le terme général de $(w_n)$.

3) En déduire le terme général de $(u_n)$.

Solution type. 

1) Pour tout entier naturel $n$, on a $$w_{n+1}=u_{n+1}-2=100u_n-198-2=100u_n-200=100(u_n-2)=100w_n$$

$(w_n)$ est donc une suite géométrique de raison $2$.

2) Comme $(w_n)$ est une suite géométrique de raison $100$, on a pour tout entier naturel $n$, $w_n=100^n w_0$. Or $w_0=u_0-2=40-2=38$, donc pour tout entier naturel $n$, on a $$w_n=38\times 100^n$$

3) La relation $w_n=u_n-2$ donne $w_n+2=u_n$, ainsi pour tout entier naturel $n$, on a 

$$u_n=38\times 100^n +2$$

Variante avec récurrence

Principe. On part d'une relation $u_{n+1}=au_n+b$, avec $u_0$ donné.  

Démontrer que le terme général de la suite $u_n$ a pour expression$u_n=a^n\left(u_0-\frac 1{b-a}\right)+\frac 1{b-a}$.

Compétence visée.

Utiliser le théorème de récurrence 

Enoncé type.

Soit $(u_n)$ une suite telle que pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}=-u_n +5$, où $u_0=1$.

Démontrer que pour tout entier naturel $n$, on a 

$$u_n=(-1)^{n+1}\times\frac{3}{2} +\frac 5 2$$

Solution type. 

On définit pour tout entier naturel $n$, la propriété 

$$\mathcal P_n\ : \ u_n=(-1)^{n+1}\times\frac{3}{2} +\frac 5 2$$

1) Initialisation. $(-1)^{0+1}\times\frac{3}{2} +\frac 5 2=\frac{-3}{2}+\frac 5 2 = 1 = u_0=$ donc $\mathcal P_0$.

2) Hérédité. Soit $k$ un entier naturel tel que 

$$\mathcal P_k\ : \ u_k=(-1)^{k+1}\times\frac{3}{2} +\frac 5 2$$

On veut montrer que cela implique : $\mathcal P_{k+1}$, c'est-à-dire $u_{k+1}=(-1)^{k+2}\times\frac{3}{2} +\frac 5 2$ 

On a $$u_{k+1}=-u_k+5=-\left((-1)^{k+1}\times\frac{3}{2} +\frac 5 2\right)+5=(-1)\times(-1)^{k+1}\times\frac{3}{2} -\frac 5 2+5=(-1)^{k+2}\times\frac{3}{2}+\frac 5 2$$

On a donc $\mathcal P_k\Rightarrow P_{k+1}$.

3) Conclusion. Par initialisation et hérédité, d'après le théorème de récurrence, pour tout $n$, $\mathcal P_n$. Autrement dit pour tout entier naturel $n$, $$u_n=(-1)^{n+1}\times\frac{3}{2} +\frac 5 2$$

Avec télescopage

Principe. On part d'une relation $u_{n+1}=au_n+b$, avec $u_0$ donné.  

On définit la suite $(d_n)$ des différences de termes successives par $d_n=u_{n+1}-u_n$. 

1) On montre que cette suite est géométrique de raison $a$.

2) On démontrer par récurrence que 

$$d_0+d_1+\ldots+d_{n}=u_{n+1}-u_0$$

3) On en déduit le terme général de $(u_n)$.

Compétences visées. 

1) Manipulations algébriques

2) Utiliser le théorème de récurrence

3) Utiliser la somme des termes d'une suite géométrique

Enoncé type.

Soit $(u_n)$ une suite telle que pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}=2u_n -9$, où $u_0=1$. 

Pour tout entier naturel $n$, on note $d_n=u_{n+1}-u_n$.

1) Démontrer que $(d_n)$ est une suite géométrique. En déduire son terme général.

2) Démontrer que pour tout entier naturel $n$, 

$$d_0+d_1+\ldots + d_{n}=u_{n+1}-u_0$$

3) Déterminer le terme général de la suite $(u_n)$.

Solution type. 

1) Soit $n$ un entier naturel. On a 

$$d_{n+1}=u_{n+2}-u_{n+1}=2u_{n+1}-9-\left(2u_n-9\right)=2u_{n+1}-2u_n=2(u_{n+1}-u_n)=2d_n$$

Ainsi $(d_n)$ est une suite géométrique de raison $2$.

2) Pour tout entier naturel $n$, on définit la propriété 

$$\mathcal P_n\ : \ \ \ d_0+d_1+\ldots + d_{n}=u_{n+1}-u_0$$

On va montrer que pour tout entier naturel $n$, on a $\mathcal P_n$.

a) Initialisation. $d_0=u_1-u_0$ donc $\mathcal P_0$.

b) Hérédité. Supposons que l'on a pour un certain entier naturel $k$ :

$$\mathcal P_k\ : \ \ \ d_0+d_1+\ldots + d_{k}=u_{k+1}-u_0$$

Nous voulons montrer que cela implique $\mathcal P_{k+1}\ : \ \ \ d_0+d_1+\ldots + d_{k}+d_{k+1}=u_{k+2}-u_0$.

On a d'après $\mathcal P_k$, et par définition de $(d_n)$,

$$d_0+d_1+\ldots + d_{k}+d_{k+1}= u_{k+1}-u_0+u_{k+2}-u_{k+1}=u_{k+2}-u_0$$

Ainsi $\mathcal P_k\Rightarrow P_{k+1}$

c) Conclusion. Par initialisation et hérédité, on a pour tout entier naturel $n$, 

$$\mathcal P_n\ : \ \ \ d_0+d_1+\ldots + d_{n}=u_{n+1}-u_0$$

3) Comme $(d_n)$ est une suite géométrique de raison $2$ et que $$d_0=u_1-u_0=2u_0-9-u_0=u_0-9=1-9=-8$$ nous avons pour tout entier naturel $n$, 

$$d_n=u_0\times 2^n =-8\times2^n$$

Ainsi en utilisant la formule donnant la somme des termes d'une suite géoémtrique, on a 

$$d_0+d_1+\ldots+d_n=-8\times\frac{1-2^{n+1}}{1-2}=8\left(1-2^{n+1}\right)=8-8\times 2^{n+1}$$

D'après la question 2), on en déduit que pour tout  entier naturel $n$, $u_{n+1}-u_0=8-8\times 2^{n+1}$, d'où 

$$u_{n+1}=8-8\times 2^{n+1}+u_0=8-8\times 2^{n+1}+1=9-8\times 2^{n+1}$$

Ainsi pour tout entier $n\geq 1$, en faisant un décalage d'indice, on obtient $u_n=9-8\times 2^{n}$. 

En remplaçant $n$ par $0$, dans $9-8\times 2^{n}$, on obtient $1=u_0$, donc cette expression est valable aussi pour $n=0$.

Ainsi pour tout entier naturel $n$, on a $$u_n=9-8\times 2^{n}$$

Variante. 

On peut détailler davantage la question 3), en demandant le terme général de $(d_n)$.

Sans indication

Principe. On part d'une relation $u_{n+1}=au_n+b$, avec $u_0$ donné.

On cherche le terme général de $(u_n)$ sans indication.

Compétences visées. 

1) Chercher, manipuler, utiliser des outils 

2) Conjecturer

3) Démontrer

( 4) Travailler en groupe)

Exemple d'énoncé.

On considère $(u_n)$ une suite telle que pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}=3u_n -10$, où $u_0=1$.

Trouver le terme général de la suite $(u_n)$. 

On pourra utiliser un tableur, Python, dessiner, etc. pour établir une conjecture que l'on démontrera par la suite.

Remarque. Pour ce genre de travail, on pourrait faire travailler les élèves en binome.

Pistes pour les élèves. 

• Calculer les premiers termes à l'aide d'un tableur et essayer de trouver l'expression du terme générale de $(u_n)$
• Exprimer $u_1$ à partir de $u_0$, puis $u_2$ à partir de $u_0$, puis $u_3$ à partir de $u_0$ etc. comme dans (4)
• Trouver une suite auxiliaire géométrique
• Utiliser la suite $(d_n)$ avec $d_n=u_{n+1}-u_n$.

Questions supplémentaires

Les questions supplémentaires permettant de prolonger les exercices peuvent consister en un calcul de limite ou en le calcul de la somme des termes.

Sources et pdf

A télécharger : 

• une liste d'exercices : pdf, source tex
• La correction : pdf, source tex

Ensuite

Pour sortir des suites arithmético-géométriques, d'autres suites définies par récurrence, qui sont solutions d'équations aux différences peuvent être utilisées. Elles feront l'objets de futurs articles.