Voici l'énoncé et la solution d'un exercice niveau 1ère/Teminale de la spécialité mathématique publié la veille.
Des versions téléchargeables (pdf et tex) sont disponibles à la fin de l'article.
Thème. Suites, suites géométriques.
Exercice 2.
Ecrire le nombre suivant sous forme de fraction
S=0,2024\ 2024\ 2024\ \ldots\ldots
Solution.
S_n=\frac{2024}{10^4}+\frac{2024}{10^8}+\ldots+\frac{2024}{10^{4n}}=\frac{2024}{10^4}+\left(\frac{2024}{10^4}\right)^2+\ldots+\left(\frac{2024}{10^4}\right)^n
S_n=2024\times \frac{1}{10^4}\left(1+\frac{1}{10^4}+\ldots+\left(\frac{1}{10^4}\right)^{n-1} \right)
On a donc d'après la formule sur la somme des termes d'une suite géométrique (ou d'après la formule sur la somme des puissances d'un nombre)
S_n=\frac{2024}{10^4}\times\frac{1-\left(\frac{1}{10^4}\right)^{n} }{1-\frac{1}{10^4}}=\frac{2024}{10^4}\times\frac{1-\left(\frac{1}{10^4}\right)^{n} }{\frac{10^4-1}{10^4}}
S_n=\frac{2024}{10^4}\times\frac{1-\left(\frac{1}{10^4}\right)^{n} }{\frac{9999}{10^4}}
S_n=\frac{2024}{9999}\times\left(1-\left(\frac{1}{10^4}\right)^{n} \right)
Ainsi puisque -1< \frac{1}{10^4}<1, on a \lim_n \left(\frac{1}{10^4}\right)^{n}=0, puis finalement S=\lim_n S_n= \frac{2024}{9999}.
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Enoncé
Et ensuite
Exercice suivant (parution six jours après cet article)
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