Spécialité Maths (Terminale). Exercice 2 - Solution

 Voici l'énoncé et la solution d'un exercice niveau 1ère/Teminale de la spécialité mathématique publié la veille.

Des versions téléchargeables (pdf et tex) sont disponibles à la fin de l'article.  

Thème. Suites, suites géométriques.

Exercice 2.

Ecrire le nombre suivant sous forme de fraction

$$S=0,2024\ 2024\ 2024\ \ldots\ldots  $$

Solution.

On note $$S_n=0,\underbrace{2024\ \ldots \ 2024}_n$$

On a $ S=\lim_n S_n$.

Pour $n\geq 2$, 

$$S_n=\frac{2024}{10^4}+\frac{2024}{10^8}+\ldots+\frac{2024}{10^{4n}}=\frac{2024}{10^4}+\left(\frac{2024}{10^4}\right)^2+\ldots+\left(\frac{2024}{10^4}\right)^n $$ 

$$S_n=2024\times \frac{1}{10^4}\left(1+\frac{1}{10^4}+\ldots+\left(\frac{1}{10^4}\right)^{n-1} \right)$$

On a donc d'après la formule sur la somme des termes d'une suite géométrique (ou d'après la formule sur la somme des puissances d'un nombre)

$$S_n=\frac{2024}{10^4}\times\frac{1-\left(\frac{1}{10^4}\right)^{n} }{1-\frac{1}{10^4}}=\frac{2024}{10^4}\times\frac{1-\left(\frac{1}{10^4}\right)^{n} }{\frac{10^4-1}{10^4}}$$

$$S_n=\frac{2024}{10^4}\times\frac{1-\left(\frac{1}{10^4}\right)^{n} }{\frac{9999}{10^4}}$$

$$S_n=\frac{2024}{9999}\times\left(1-\left(\frac{1}{10^4}\right)^{n} \right) $$

Ainsi puisque $-1< \frac{1}{10^4}<1$, on a  $ \lim_n \left(\frac{1}{10^4}\right)^{n}=0$, puis finalement $S=\lim_n S_n= \frac{2024}{9999}$.

 

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Et ensuite

Exercice suivant (parution six jours après cet article)