Continuité d'une fonction réelle en un point

Dans cet article, nous définissons la continuité d'une fonction définie sur un intervalle de $\mathbb R $ et à valeurs réelles en un point. 

Nous voyons à l'aide d'un exemple comment montrer  qu'une fonction continue en un point (la valeur absolue est continue en $0$). Nous voyons aussi une fonction non continue en une infinité de points (la fonction partie entière n'est continue en aucun entier). 

Enfin nous montrons que la somme et le produit de fonctions continues en point sont aussi continues en ce point.

Soit $I$ un intervalle de $\mathbb R$ de la forme $]a;b[$, $]a;d]$; $[c;b[$, $[c;d]$ où $c,d$ sont des nombres réels et où $a$ est un réel ou $-\infty$, et $b$ est un réel ou $+\infty$.

Soit $f:I\longrightarrow \mathbb R$ une fonction.

Continuité en un nombre (ou en un point)

Soit $t\in I$.

On dit qu'une fonction $f$ est continue en $t$ si pour tout $\varepsilon>0$, il existe un nombre $\delta >0$ tel que tout $x\in I$ vérifiant $\left|x-t\right|\leq \delta$ donne $\left|f(x)-f(t)\right|\leq \varepsilon$.

Exemple 1. 

La fonction valeur absolue $x\mapsto |x|$ définie sur $]-\infty;\infty[$ est continue en 0.

Preuve.

Soit $\varepsilon>0$. On pose $\delta=\frac \varepsilon 2$. Alors pour tout $x$ tel que $|x-0|\leq \delta $, c'est-à-dire tel que $|x|\leq \frac \varepsilon 2 $, on a $|f(x)-f(0)|=|x|=\frac \varepsilon 2 \leq \varepsilon$.

On en déduit que $x\mapsto |x|$ est continue en $0$.

Exemple 2.

Soit $E$ la fonction partie entière. $E$ est la fonction définie par 

$$E(x)=\max\left(\left\{n\in \mathbb Z | x\geq n\right\} \right)$$

Alors la fonction $E$ n'est continue en aucun $n\in \mathbb Z$.

Preuve. 

Soit $m\in\mathbb Z$. Soit $\varepsilon=\frac 1 2$. Nous allons montrer qu'il n'existe aucun $\delta >0$ tel que $\left|x-m\right|\leq \delta$ impliquerait $\left|E(x)-E(m) \right|\leq \varepsilon = \frac 1 2$. 

Soit $\delta>0$. Soit $x$ tel que $\left|x-n\right|\leq \delta$. 

On a deux possibilités : $x\geq m$ ou $x<m$. Ce deuxième cas suffit à prouver que $E$ n'est pas continue en $m$ :

si $x< m$, c'est-à-dire si $n-x\leq \delta$ ou encore $x\geq m-\delta$, alors 

    $$E(x)=\max\left(\left\{n\in \mathbb Z | x\geq n\right\} \right)$$

Comme $x<m$, $m\not \in E_x= \left\{n\in \mathbb Z | x\geq n\right\}$. Dans ce cas, $m<E(x)$. En effet si $m\geq E(x)$, on aurait $m\in E_x$.

Ce qui précède étant vrai peu importe la valeur de $\delta$, on déduit que $E$ n'est pas continue en $m$.

Ci-dessous une illustration du fait que $E$ n'est pas continue en $2$. 

Remarque. 

On peut définir la continuité à droite (respectivement à gauche) en un nombre (ou un point) $t $ pour une fonction $f$. Cela signifie que pour tout $\varepsilon$, il existe un $\delta=\delta_\varepsilon$, tel que pour tout $x$ vérifiant $t \leq x \leq t+\delta$ (resp. $t-\delta \leq x \leq t$), on a $\left| f(x)\right|\leq \varepsilon$.

On peut montrer que la fonction $E$ est continue à droite en tout point.

Propriété 1. 

Si $f$ et $g$ sont continues en point $t$ d'un intervalle $I$, alors 

(1) $f+g:x\longmapsto f(x)+g(x)$ est continue en $t$

(2) $fg=f\times g:x\longmapsto f(x)g(x)$ est continue en $t$

Preuve.

Quelque soient $\varepsilon_1,\varepsilon_2>0$, comme $f$ et $g$ sont continues en $t$, il existe $\alpha>0$ et $\beta>0$ tels que 

• $|x-t|\leq \alpha$ implique $|f(x)-f(t)|<\varepsilon_1$ et 
• $|x-t|\leq \beta$ implique $|g(x)-g(t)|< \varepsilon_2 $.

(1) Soit $\varepsilon>0$. On prend $\varepsilon_1=\varepsilon_2=\frac \varepsilon 2$.

Ainsi 

• $|x-t|\leq \alpha$ implique $|f(x)-f(t)|<\frac \varepsilon 2$ et 
• $|x-t|\leq \beta$ implique $|g(x)-g(t)|< \frac \varepsilon 2$.

On a d'après l'inégalité triangulaire, 

$$ |(f+g)(t)-(f+g)(x)|= |f(x)-f(t) + g(x)-g(t)|\leq |f(x)-f(t)|+|g(x)-g(t)|$$

Ainsi, pour tout $x$ tel que $|x-t|\leq \min(\beta,\alpha)$, on a 

$$ |(f+g)(t)-(f+g)(x)|\leq \frac \varepsilon 2 + \frac \varepsilon 2=\varepsilon$$

$f+g$ est donc continue en $t$.

(2) Soit $\varepsilon>0$. 

On note $$d(x)= |(fg)(t)-(fg)(x)|= |f(t)g(t) -f(x)g(x)|=|f(t)g(t)-f(t)g(x)+f(t)g(x) -f(x)g(x)|$$

Donc d'après les propriétés de la valeur absolue,

$$d(x)=|(fg)(t)-(fg)(x)|\leq  |f(t)g(t)-f(t)g(x)|+|f(t)g(x) -f(x)g(x)|=|f(t)|\cdot |g(t)-g(x)|+ |g(x)|\cdot|f(t)-f(x)|$$

On prend $\varepsilon_2=\frac  \varepsilon {2|f(t)|}$ si $f(t)\neq 0$, 

et l'on précisera $\varepsilon_1$ plus tard.

$\varepsilon_2=1$ si $f(t)=0$, et dans ce cas, on a juste $d(x)=|g(x)|\cdot|f(t)-f(x)|$.

Dans tous les cas, d'après les propriétés de la valeur absolue si

$$|g(x)|-|g(t)|\leq |g(x)-g(t)|\leq \varepsilon_2 $$ 

alors 

$$|g(x)|\leq \varepsilon_2 +|g(t)|$$

et donc 

$$d(x)\leq  |f(t)|\cdot \varepsilon_2+ \left( \varepsilon_2 +|g(t)|\right)\cdot|f(t)-f(x)|$$

Prenons $\varepsilon_1=\frac \varepsilon { 2\left( \varepsilon_2 +|g(t)|\right)}$. 

Ainsi, pour tout $x$ tel que $|x-t|\leq \min(\beta,\alpha)$, on a 

$$|(fg)(t)-(fg)(x)|=d(x)\leq |f(t)|\cdot \varepsilon_2+ \left( \varepsilon_2 +|g(t)|\right)\cdot|f(t)-f(x)| \leq |f(t)|\times \frac  \varepsilon {2|f(t)|}+\left( \varepsilon_2 +|g(t)|\right)\varepsilon_1 $$

D'où

$$|(fg)(t)-(fg)(x)| \leq \frac{\varepsilon}{2}+\left( \varepsilon_2 +|g(t)|\right)\times\frac 1 { 2\left( \varepsilon_2 +|g(t)|\right)}\varepsilon$$

On a montré que $fg$ était continue en $t$. 

Et ensuite ?

Nous verrons plus tard la notion de continuité sur un intervalle, c'est-à-dire la continuité en tout point d'un intervalle.