Voici la solution de l'exercice du dimanche N°12.
Niveau terminale de la spécialité mathématique.
Des versions téléchargeables (pdf et tex) sont disponibles à la fin de l'article.
Thèmes. Equations, fonctions trigonométriques
Niveau Terminale de la spécialité mathématiques.
Exercice 13.
Résoudre sur l'intervalle $[0;2]$ l'équation
$$(E)\ \ \ \ \sin\left(\pi x(1-x) \right)=\frac{\sqrt 2}{2} $$
La solution
On a
$$ \sin\left(\pi x(1-x) \right)=\frac{\sqrt 2}{2}\Longleftrightarrow \sin\left(\pi x(1-x) \right)=\sin\left(\frac \pi 4 \right) \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{rclr} \pi x(1-x)& =&\frac{\pi}{4}+2k\pi\ (k\in\mathbb Z) & (1) \\ &\textrm{ou} & \\ \pi x(1-x)& =&\pi-\frac{\pi}{4}+2\ell\pi\ (\ell\in\mathbb Z) & (2) \end{array} \right. $$
Résolution de (1).
$$(1) \ \ \ \ \pi x(1-x) =\frac{\pi}{4}+2k\pi \Longleftrightarrow x-x^2 = \frac 1 4 +2k \Longleftrightarrow -x^2+x-\frac 1 4-2k =0 $$
Le discriminant de cette équation du second degré est $\Delta_1=1^2-4\left(\frac 1 4+2k \right)=-8k$.
$\Delta_1$ n'a de solution que si $-8k\geq 0$ c'est-à-dire si $k\leq 0$.
Supposons donc $k\leq 0$. Les solutions de $(1)$ sont alors
$$x_1(k)=\frac{-1+\sqrt{-8k}}{-2}=\frac{1-2\sqrt{-2k}}{2}=\frac 1 2 -\sqrt{-2k}\ \ \ \textrm{et} \ \ \ x_2(k)=\frac{-1-\sqrt{-8k}}{-2}=\frac{1+2\sqrt{-2k}}{2}=\frac 1 2 +\sqrt{-2k}$$
$x_1(k)$ et $x_1'(k)$ étant confondues si et seulement si $\Delta_1=0$, c'est-à-dire si $k=0$.
Comme on cherche les solutions de $(E)$ de l'intervalle $[0;2]$, on va chercher les valeurs de $k$ pour lesquelles $x_1(k)$ et $x_2(k)$ sont dans $[0;2]$.
On va ici, étudier les variations des fonctions pour $t\leq 0$
- $t\mapsto x_1(t)=\frac 1 2 -\sqrt{-2t}$
- $t\mapsto x_2(t))=\frac 1 2 +\sqrt{-2t}$
On utilise la formule $\sqrt u'=\frac{u'}{2\sqrt u}$.
Attention ici, ces fonctions ne sont pas dérivable en $0$ (car $t\mapsto -2t $ s'annule en $0$ et que $t\mapsto \sqrt t $ n'est pas dérivable en $0$).
On a
- $x_1'(t)=-\frac{-2}{2\sqrt{-2t}}=\frac{1}{\sqrt{-2t}}>0 $ pour tout $t\in]-\infty;0[$ et l'on en déduit que $x_1$ est une fonction croissante.
- De même puisque $x_2'(t)=-x_1'(t)$, la fonction $x_2$ est une fonction décroissante.
$$x_1(t)=0\Longleftrightarrow \sqrt{-2t}=\frac 1 2 \Longleftrightarrow -2t=\frac 1 4 \Longleftrightarrow t=-\frac 1 8 $$
Donc si $t<-\frac 1 8 $, $x_1(t)<0$. On en déduit que la seule valeur possible de $k$ pour que $x_1(k)$ soit une solution de $(E)$ sur $[0;2]$ est $k=0$. Cette solution est $x_1(0)=\frac 1 2$.
$$x_2(t)=2 \Longleftrightarrow \sqrt{-2t}=\frac 3 2 \Longleftrightarrow -2t=\frac{9}{4} \Longleftrightarrow t=-\frac{9}{8}$$
Donc si $t<\frac 9 8 $, $x_2(t)>2$. On en déduit que les seules valeurs possibles de $k$ pour que $x_2(k)$ soit une solution de $(E)$ sur $[0;2]$ sont $k=0$ et $k=-1$. Ces solutions sont $x_1(0)=\frac 1 2$ que nous avons déjà et $x_2(-1)=\frac 1 2 +\sqrt{-2\times(-1)}=\frac 1 2+\sqrt 2 $.
Résolution de (2).
$$ (2) \ \ \ \ \pi x (1-x) = \pi -\frac \pi 4 +2\ell \pi \Longleftrightarrow x(1-x)=\frac{3}{4} - 2 \ell \Longleftrightarrow -x^2+x-\frac{3}{4}-2\ell$$
Le discriminant de $(2)$ est $\Delta_2=1^2-4\left(\frac 3 4 +2\ell\right)=-2-8\ell=-2(1+4\ell) $
$(2)$ a des solutions dans $\mathbb R $ ssi $\Delta_2\geq 0 $, c'est-à-dire ssi $1+4\ell \leq 0$ ou encore ssi $\ell \leq -\frac 1 4 $. Puisque $\ell$ prend des valeurs entières, on se limitera dans la suite à $\ell \leq -1$.
On suppose donc $\ell \leq -1$.
Dans ce cas, on a deux solutions de $(2)$ :
$$x_3(\ell)=\frac{-1+\sqrt{-2(1+4\ell)}}{-2}=\frac 1 2 -\frac{\sqrt{-2(1+4\ell)}}{2}\ \ \ \textrm{et} \ \ \ \ x_4(\ell)=\frac 1 2 +\frac{\sqrt{-2(1+4\ell)}}{2} $$
Comme dans le cas précédent, on va étudier les variations des fonctions $t\mapsto x_3(t)$ et $t\mapsto x_4(t) $ pour $t\leq 0$. On a pour $v(t)=\sqrt{-2(1+4t)}$, $v'(t)=\frac{-8}{2\sqrt{-2(1+4t)}}=-\frac{4}{\sqrt{-2(1+4t)}}$.
Ainsi pour tout $t\leq -1$
- $x_3'(t)=\frac{4}{\sqrt{-2(1+4t)}}>0 $
- $x_4'(t)=-\frac{4}{\sqrt{-2(1+4t)}}<0 $
On en déduit les variations des fonctions $x_3$ et $x_4$.
Remarquons que $\frac 1 2 - \frac{\sqrt 6}{2}<0$ et que par conséquent $x_3(t)<0$ pour tout tout $t\leq -1$. On en déduit qu'il n'y a aucune valeur $\ell$ pour laquelle $x_3(\ell)$ soit dans l'intervalle $[0;2]$.
Remarquons aussi que $0<\frac 1 2 + \frac{\sqrt 6}{2}<2 $ car $\sqrt 6 <\sqrt 9 =3 $.
$$x_4(t)=2 \Longleftrightarrow \sqrt{-2(1+4t)} = 3 \Longleftrightarrow -2-8t=9 \Longleftrightarrow t=\frac{-11}{8}$$
Comme $-2<\frac{-11}{8}<-1$, on en déduit que les seules valeurs de $\ell$ pour laquelle $x_4(\ell)<2$ est $\ell=-1 $, avec $x_4(\ell)=\frac 1 2 + \frac{\sqrt 6}{2}$.
Conclusion.
Les solutions de l'équation $(E)$ sur $[0;2]$ sont $\frac 1 2$, $\frac 1 2 + \sqrt 2 $ et $ \frac 1 2 + \frac{\sqrt 6}{2}$.
D'autres exercices
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En attendant, voici la page regroupant tous les exercices du dimanche.
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