Voici la solution de l'exercice du dimanche N°12.
Niveau terminale de la spécialité mathématique.
Des versions téléchargeables (pdf et tex) sont disponibles à la fin de l'article.
Thèmes. Equations, fonctions trigonométriques
Niveau Terminale de la spécialité mathématiques.
Exercice 13.
Résoudre sur l'intervalle [0;2] l'équation
(E)\ \ \ \ \sin\left(\pi x(1-x) \right)=\frac{\sqrt 2}{2}
La solution
On a
\sin\left(\pi x(1-x) \right)=\frac{\sqrt 2}{2}\Longleftrightarrow \sin\left(\pi x(1-x) \right)=\sin\left(\frac \pi 4 \right) \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{rclr} \pi x(1-x)& =&\frac{\pi}{4}+2k\pi\ (k\in\mathbb Z) & (1) \\ &\textrm{ou} & \\ \pi x(1-x)& =&\pi-\frac{\pi}{4}+2\ell\pi\ (\ell\in\mathbb Z) & (2) \end{array} \right.
Résolution de (1).
(1) \ \ \ \ \pi x(1-x) =\frac{\pi}{4}+2k\pi \Longleftrightarrow x-x^2 = \frac 1 4 +2k \Longleftrightarrow -x^2+x-\frac 1 4-2k =0
Le discriminant de cette équation du second degré est \Delta_1=1^2-4\left(\frac 1 4+2k \right)=-8k.
\Delta_1 n'a de solution que si -8k\geq 0 c'est-à-dire si k\leq 0.
Supposons donc k\leq 0. Les solutions de (1) sont alors
$$x_1(k)=\frac{-1+\sqrt{-8k}}{-2}=\frac{1-2\sqrt{-2k}}{2}=\frac 1 2 -\sqrt{-2k}\ \ \ \textrm{et} \ \ \ x_2(k)=\frac{-1-\sqrt{-8k}}{-2}=\frac{1+2\sqrt{-2k}}{2}=\frac 1 2 +\sqrt{-2k}$$
x_1(k) et x_1'(k) étant confondues si et seulement si \Delta_1=0, c'est-à-dire si k=0.
Comme on cherche les solutions de (E) de l'intervalle [0;2], on va chercher les valeurs de k pour lesquelles x_1(k) et x_2(k) sont dans [0;2].
On va ici, étudier les variations des fonctions pour t\leq 0
- t\mapsto x_1(t)=\frac 1 2 -\sqrt{-2t}
- t\mapsto x_2(t))=\frac 1 2 +\sqrt{-2t}
On utilise la formule \sqrt u'=\frac{u'}{2\sqrt u}.
Attention ici, ces fonctions ne sont pas dérivable en 0 (car t\mapsto -2t s'annule en 0 et que t\mapsto \sqrt t n'est pas dérivable en 0).
On a
- x_1'(t)=-\frac{-2}{2\sqrt{-2t}}=\frac{1}{\sqrt{-2t}}>0 pour tout t\in]-\infty;0[ et l'on en déduit que x_1 est une fonction croissante.
- De même puisque x_2'(t)=-x_1'(t), la fonction x_2 est une fonction décroissante.
x_1(t)=0\Longleftrightarrow \sqrt{-2t}=\frac 1 2 \Longleftrightarrow -2t=\frac 1 4 \Longleftrightarrow t=-\frac 1 8
Donc si t<-\frac 1 8 , x_1(t)<0. On en déduit que la seule valeur possible de k pour que x_1(k) soit une solution de (E) sur [0;2] est k=0. Cette solution est x_1(0)=\frac 1 2.
x_2(t)=2 \Longleftrightarrow \sqrt{-2t}=\frac 3 2 \Longleftrightarrow -2t=\frac{9}{4} \Longleftrightarrow t=-\frac{9}{8}
Donc si t<\frac 9 8 , x_2(t)>2. On en déduit que les seules valeurs possibles de k pour que x_2(k) soit une solution de (E) sur [0;2] sont k=0 et k=-1. Ces solutions sont x_1(0)=\frac 1 2 que nous avons déjà et x_2(-1)=\frac 1 2 +\sqrt{-2\times(-1)}=\frac 1 2+\sqrt 2 .
Résolution de (2).
(2) \ \ \ \ \pi x (1-x) = \pi -\frac \pi 4 +2\ell \pi \Longleftrightarrow x(1-x)=\frac{3}{4} - 2 \ell \Longleftrightarrow -x^2+x-\frac{3}{4}-2\ell
Le discriminant de (2) est \Delta_2=1^2-4\left(\frac 3 4 +2\ell\right)=-2-8\ell=-2(1+4\ell)
(2) a des solutions dans \mathbb R ssi \Delta_2\geq 0 , c'est-à-dire ssi 1+4\ell \leq 0 ou encore ssi \ell \leq -\frac 1 4 . Puisque \ell prend des valeurs entières, on se limitera dans la suite à \ell \leq -1.
On suppose donc \ell \leq -1.
Dans ce cas, on a deux solutions de (2) :
x_3(\ell)=\frac{-1+\sqrt{-2(1+4\ell)}}{-2}=\frac 1 2 -\frac{\sqrt{-2(1+4\ell)}}{2}\ \ \ \textrm{et} \ \ \ \ x_4(\ell)=\frac 1 2 +\frac{\sqrt{-2(1+4\ell)}}{2}
Comme dans le cas précédent, on va étudier les variations des fonctions t\mapsto x_3(t) et t\mapsto x_4(t) pour t\leq 0. On a pour v(t)=\sqrt{-2(1+4t)}, v'(t)=\frac{-8}{2\sqrt{-2(1+4t)}}=-\frac{4}{\sqrt{-2(1+4t)}}.
Ainsi pour tout t\leq -1
- x_3'(t)=\frac{4}{\sqrt{-2(1+4t)}}>0
- x_4'(t)=-\frac{4}{\sqrt{-2(1+4t)}}<0
On en déduit les variations des fonctions x_3 et x_4.
Remarquons que \frac 1 2 - \frac{\sqrt 6}{2}<0 et que par conséquent x_3(t)<0 pour tout tout t\leq -1. On en déduit qu'il n'y a aucune valeur \ell pour laquelle x_3(\ell) soit dans l'intervalle [0;2].
Remarquons aussi que 0<\frac 1 2 + \frac{\sqrt 6}{2}<2 car \sqrt 6 <\sqrt 9 =3 .
x_4(t)=2 \Longleftrightarrow \sqrt{-2(1+4t)} = 3 \Longleftrightarrow -2-8t=9 \Longleftrightarrow t=\frac{-11}{8}
Comme -2<\frac{-11}{8}<-1, on en déduit que les seules valeurs de \ell pour laquelle x_4(\ell)<2 est \ell=-1 , avec x_4(\ell)=\frac 1 2 + \frac{\sqrt 6}{2}.
Conclusion.
Les solutions de l'équation (E) sur [0;2] sont \frac 1 2, \frac 1 2 + \sqrt 2 et \frac 1 2 + \frac{\sqrt 6}{2}.
D'autres exercices
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En attendant, voici la page regroupant tous les exercices du dimanche.
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