Spécilaité - Ex 13 - solution

Voici la solution de l'exercice du dimanche N°12. 

Niveau terminale de la spécialité mathématique.

Des versions téléchargeables (pdf et tex) sont disponibles à la fin de l'article.  

Thèmes. Equations, fonctions trigonométriques

Niveau Terminale de la spécialité mathématiques.

Exercice 13.

 Résoudre sur l'intervalle $[0;2]$ l'équation

$$(E)\ \ \ \ \sin\left(\pi x(1-x) \right)=\frac{\sqrt 2}{2}$$

La solution

On a

$$\sin\left(\pi x(1-x) \right)=\frac{\sqrt 2}{2}\Longleftrightarrow \sin\left(\pi x(1-x) \right)=\sin\left(\frac \pi 4 \right)  \Longleftrightarrow  \left\{ \begin{array}{rclr} \pi x(1-x)& =&\frac{\pi}{4}+2k\pi\ (k\in\mathbb Z)    & (1) \\  &\textrm{ou} & \\ \pi x(1-x)& =&\pi-\frac{\pi}{4}+2\ell\pi\ (\ell\in\mathbb Z)   & (2) \end{array} \right.$$

Résolution de (1).

$$(1) \ \ \ \ \pi x(1-x) =\frac{\pi}{4}+2k\pi \Longleftrightarrow x-x^2 = \frac 1 4 +2k \Longleftrightarrow -x^2+x-\frac 1 4-2k =0$$

Le discriminant de cette équation du second degré est $\Delta_1=1^2-4\left(\frac 1 4+2k \right)=-8k$. 

$\Delta_1$ n'a de solution que si $-8k\geq 0$ c'est-à-dire si $k\leq 0$.

Supposons donc $k\leq 0$. Les solutions de $(1)$ sont alors

$$x_1(k)=\frac{-1+\sqrt{-8k}}{-2}=\frac{1-2\sqrt{-2k}}{2}=\frac 1 2 -\sqrt{-2k}\ \ \ \textrm{et} \ \ \ x_2(k)=\frac{-1-\sqrt{-8k}}{-2}=\frac{1+2\sqrt{-2k}}{2}=\frac 1 2 +\sqrt{-2k}$$

$x_1(k)$ et $x_1'(k)$ étant confondues si et seulement si $\Delta_1=0$, c'est-à-dire si $k=0$.

Comme on cherche les solutions de $(E)$ de l'intervalle $[0;2]$, on va chercher les valeurs de $k$ pour lesquelles $x_1(k)$ et $x_2(k)$ sont dans $[0;2]$.

On va ici, étudier les variations des fonctions pour $t\leq 0$

• $t\mapsto x_1(t)=\frac 1 2 -\sqrt{-2t}$
• $t\mapsto x_2(t))=\frac 1 2 +\sqrt{-2t}$

On utilise la formule $\sqrt u'=\frac{u'}{2\sqrt u}$.

Attention ici, ces fonctions ne sont pas dérivable en $0$ (car $t\mapsto -2t$ s'annule en $0$ et que $t\mapsto \sqrt t$ n'est pas dérivable en $0$).

On a

• $x_1'(t)=-\frac{-2}{2\sqrt{-2t}}=\frac{1}{\sqrt{-2t}}>0$ pour tout $t\in]-\infty;0[$ et l'on en déduit que $x_1$ est une fonction croissante.
• De même puisque $x_2'(t)=-x_1'(t)$, la fonction $x_2$ est une fonction décroissante.

$$x_1(t)=0\Longleftrightarrow \sqrt{-2t}=\frac 1 2 \Longleftrightarrow -2t=\frac 1 4 \Longleftrightarrow t=-\frac 1 8$$

Donc si $t<-\frac 1 8$, $x_1(t)<0$. On en déduit que la seule valeur possible de $k$ pour que $x_1(k)$ soit une solution de $(E)$ sur $[0;2]$ est $k=0$. Cette solution est $x_1(0)=\frac 1 2$.

$$x_2(t)=2 \Longleftrightarrow \sqrt{-2t}=\frac 3 2 \Longleftrightarrow -2t=\frac{9}{4} \Longleftrightarrow t=-\frac{9}{8}$$

Donc si $t<\frac 9 8$, $x_2(t)>2$. On en déduit que les seules valeurs possibles de $k$ pour que $x_2(k)$ soit une solution de $(E)$ sur $[0;2]$ sont $k=0$ et $k=-1$. Ces solutions sont $x_1(0)=\frac 1 2$ que nous avons déjà et $x_2(-1)=\frac 1 2 +\sqrt{-2\times(-1)}=\frac 1 2+\sqrt 2$.

Résolution de (2).

$$(2) \ \ \ \ \pi x (1-x) = \pi -\frac \pi 4 +2\ell \pi \Longleftrightarrow x(1-x)=\frac{3}{4} - 2 \ell \Longleftrightarrow -x^2+x-\frac{3}{4}-2\ell$$

Le discriminant de $(2)$ est $\Delta_2=1^2-4\left(\frac 3 4 +2\ell\right)=-2-8\ell=-2(1+4\ell)$

$(2)$ a des solutions dans $\mathbb R$ ssi $\Delta_2\geq 0$, c'est-à-dire ssi $1+4\ell \leq 0$ ou encore ssi $\ell \leq -\frac 1 4$. Puisque $\ell$ prend des valeurs entières, on se limitera dans la suite à $\ell \leq -1$.

On suppose donc $\ell \leq -1$.

Dans ce cas, on a deux solutions de $(2)$ :

$$x_3(\ell)=\frac{-1+\sqrt{-2(1+4\ell)}}{-2}=\frac 1 2 -\frac{\sqrt{-2(1+4\ell)}}{2}\ \ \ \textrm{et} \ \ \ \ x_4(\ell)=\frac 1 2 +\frac{\sqrt{-2(1+4\ell)}}{2}$$

Comme dans le cas précédent, on va étudier les variations des fonctions $t\mapsto x_3(t)$ et $t\mapsto x_4(t)$ pour $t\leq 0$. On a pour  $v(t)=\sqrt{-2(1+4t)}$, $v'(t)=\frac{-8}{2\sqrt{-2(1+4t)}}=-\frac{4}{\sqrt{-2(1+4t)}}$.

Ainsi pour tout $t\leq -1$ 

• $x_3'(t)=\frac{4}{\sqrt{-2(1+4t)}}>0$
• $x_4'(t)=-\frac{4}{\sqrt{-2(1+4t)}}<0$

On en déduit les variations des fonctions $x_3$ et $x_4$.

Remarquons que $\frac 1 2 - \frac{\sqrt 6}{2}<0$ et que par conséquent $x_3(t)<0$ pour tout tout $t\leq -1$. On en déduit qu'il n'y a aucune valeur $\ell$ pour laquelle $x_3(\ell)$ soit dans l'intervalle $[0;2]$.

Remarquons aussi que $0<\frac 1 2 + \frac{\sqrt 6}{2}<2$ car $\sqrt 6 <\sqrt 9 =3$.

$$x_4(t)=2 \Longleftrightarrow \sqrt{-2(1+4t)}  = 3 \Longleftrightarrow -2-8t=9 \Longleftrightarrow t=\frac{-11}{8}$$

Comme $-2<\frac{-11}{8}<-1$, on en déduit que les seules valeurs de $\ell$ pour laquelle $x_4(\ell)<2$ est $\ell=-1$, avec $x_4(\ell)=\frac 1 2 + \frac{\sqrt 6}{2}$.

Conclusion.

Les solutions de l'équation $(E)$ sur $[0;2]$ sont $\frac 1 2$, $\frac 1 2 + \sqrt 2$ et $\frac 1 2 + \frac{\sqrt 6}{2}$.

Enoncés  téléchargeables

• version pdf 
• version source tex

Solution téléchargeable

• version pdf 
• version source tex

D'autres exercices

Je publie chaque dimanche un nouvel exercice niveau Première ou Terminale de la spécialité maths.

En attendant, voici la page regroupant tous les exercices du dimanche.