Groupes (1) : Sous-groupe (définition et exemples)

Cet article fait suite à [Groupes (0) : Définitions et exemples].

Nous donnons ici la définition de sous-groupe et quelques exemples.

Un groupe sera noté $(G,\cdot)$, $\cdot$ étant sa loi de composition interne.

Définition de sous-groupe

Définition. 

Soit $(G,\cdot)$ un groupe. Un sous-groupe $H$ est un sous-ensemble $H\subset G$ qui est aussi un groupe pour la loi définie par $(G,\cdot)$. Autrement dit $(H,\cdot|_{H})$ est un groupe.

Remarques.

• 1) La loi interne $\cdot$ de $G$ est donc une loi interne pour les éléments de $H$. Autrement dit, si $a,b\in H$, alors $a\cdot b\in H$.
• 2) Si $H\subset G$ est un sous-groupe, alors l'élément neutre de $G$ est aussi neutre pour les éléments de $H$. C'est donc aussi l'unique élément neutre de $H$.
• 3) Si $a\in H$,  alors son inverse $a^{-1}$ est aussi un élément de $H$.
• 4) Si $(G,+)$ est un groupe commutatif, $(H,+)$ est aussi commutatif.

Les remarques 1) à 3) sont en fait des conditions suffisantes pour qu'une sous-ensemble $H$ soit un sous-groupe de $G$. 

Propriété. 

Soit $(G,\cdot)$ un groupe. Pour que $H\subset G$ soit un groupe, il suffit que :

(1) L'élément neutre de $G$ soit un élément de $H$.

(2) La loi $\cdot$ de $G$  restreinte à $H$ soit interne à $H$ : pour tous $a,b\in H$, $a\cdot b\in H$.

(3) L'inverse $a^{-1}$ d'un élément $a$ de $H$ appartienne à $H$. 

Démonstration.

Il faut que $(H,\cdot|_{H})$ vérifie les axiomes de groupe. 

(a) D'après (2) la restriction de $\cdot$ à $H$, $\cdot|_{H}$ est une loi interne pour $H$. 

(b) $H$ possède un élément neutre.

(c) D'après (3) chaque élément de $H$ possède un inverse dans $H$.

(d) Comme $\cdot$ est associative, $\cdot$ est associative pour les éléments de $H$.

Quelques exemples de sous-groupes

$2\mathbb Z$

On note 

$$2\mathbb Z=\left\{2n\ | \ n\in\mathbb Z \right\}$$

$2\mathbb Z$ est l'ensemble des entiers pairs.

Montrons que $(2\mathbb Z,+)$ est un sous-groupe de $(\mathbb Z,+)$.

On a par définition $2\mathbb Z\subset \mathbb Z$. 

(1) $0=2\times 0\in 2 \mathbb Z$. 

(2) Si $a=2n$ et $b=2m$, avec $n,m\in \mathbb Z$, alors $a+b=2n+2m=2(n+m)\in\mathbb Z$.

(3) Si $a=2n$, alors $-a==-(2n)=(-2)n\in 2 \mathbb Z$. 

On en déduit que $(2\mathbb Z,+)$ est un sous-groupe de $\mathbb Z$.

$a\mathbb Z$

Plus généralement, on montre exactement de la même façon que si $a\in \mathbb Z$, alors 

$$a\mathbb Z=\left\{an\ | \ n\in\mathbb Z \right\}$$

est un sous-groupe de $(\mathbb Z,+)$.

Il suffit pour cela, de reprendre les arguments de l'exemple précédent en remplaçant $2$ par l'entier $a$.

De même, on montre que si $b$ est un multiple de $a$, $b\mathbb Z$ est un sous-groupe de $\mathbb Z$.

 Sous-groupes de $\mathbb Z$

Nous venons de voir que pour tout entier relatif $a$, $a\mathbb Z$ est un sous-groupe de $\mathbb Z$. Comme $-a\mathbb Z=a\mathbb Z$, il suffit que $a$ soit positif ou nul.

Réciproquement, soit $H\subset \mathbb Z$ un sous-groupe. 

Supposons que $H$  ne soit pas réduit au sous-groupe trivial $0$, c'est-à-dire le sous-groupe ayant pour seul élément $0$. Autrement dit $H \neq 0 \mathbb Z$.

Soit $b$ un élément de $H$. Si $b<0$, alors $-1(b)=-b>0$ donc on peut toujours trouver un élément strictement positif de $H$. Soit $a$ le plus petit élément strictement positif de $H$.

Nous allons montrer que $a\mathbb Z=H$.

Tout d'abord, si $x\in a\mathbb Z$, alors $x=na$ pour un certain entier relatif $n$. 

Supposons que $n\geq 0$. Si $n=0$ (ou $n=1$), on sait que $a\in H$. Par récurrence, on a rapidement que $na\in H$. En effet, si $ka\in H$, puisque $a\in H$, $(k+1)a\in H$.

Dans le cas où $n\leq 0$, on a $na=-(-n)a$. Comme $(-n)a\in H$, son opposé $na$ est aussi dans $H$. 

On en déduit que $a\mathbb Z\subset H$.

Soit maintenant $x\in H$. Si $x=0$, $x\in a\mathbb Z$. 

Supposons que $x>0$. La division euclidienne de $x$ par $a$ donne $x=aq+r$, avec $0\leq r<a$. Mais $x\in H$ et $-aq\in a\mathbb  Z\subset H$ d'où $r=a-aq\in H$. Par définition de $a$, on ne peut pas avoir $0<r<a$ donc $r=0$, c'est-à-dire $x=aq\in a\mathbb Z$. 

Si $x<0$, comme $-x>0$, $-x\in a\mathbb Z$ d'où $x=-(-x) \in\mathbb aZ$.

Dans tous les cas, $H\subset a\mathbb Z$.

On en déduit que $H=a\mathbb Z$.

Ainsi les sous-groupes de $(\mathbb Z,+)$ sont les $a\mathbb Z$ pour $a\in \mathbb Z$.

$\mathbb Z$ et $\mathbb Q$

Puisque la somme de deux entiers et l'opposé d'un entier est un entier $\mathbb Z$ est un sous-groupe de $(\mathbb Q,+)$.

En revanche puisque l'inverse d'un entier non nul pour la multiplication n'est pas toujours un entier (jamais en fait, sauf pour $1$ et $-1$). Donc $\mathbb Z^\star$ (l'ensemble des entiers non nuls) ne constitue pas un sous-groupe de $(\mathbb Q^\star,\times)$.  

$\mathbb Q^{\times}$ et $\mathbb R^{\times}$ 

Puisque le produit de deux rationnels et le produit d'un rationnel est un rationnel $\mathbb Z^{\star}$ est un sous-groupe de $(\mathbb Q^{\star},\times)$.

On notera ces groupes multiplicatifs $\mathbb Q^\times$ et $\mathbb R^\times$.

Fonctions qui s'annulent en un point

On considère l'ensemble $\mathcal F$  des fonctions $f:[0,1]\longmapsto \mathbb R$ définies sur l'intervalle $[0,1]$ à valeurs dans $\mathbb R$. 

Sur $\mathcal F$, on définit la somme $f+g$ comme la fonction $f+g:x\longmapsto f(x)+g(x)$. Cette somme est associative et la fonction constante $0_{\mathcal F}:x\longmapsto 0$ est un élément neutre pour $+$ dans $\mathcal F$. On vérifie rapidement que l'opposé d'une fonction $f$ est la fonction $(-f):x\longmapsto -(f(x))$.

$(\mathcal F,+)$ représente donc groupe. C'est même un groupe commutatif. 

Notons $\mathcal F_1$ l'ensemble des fonctions $f:[0,1]\longmapsto \mathbb R$ telles que $f(1)=0$.

Alors on vérifie facilement que $\mathcal F_1$ est un sous-groupe de $\mathcal F$.

Exemples de sous-ensemble finis du cercle unité $\mathbb U$

D'après [Groupes (0) : Définitions et exemples], 

l'ensemble $\mathbb U$ l'ensemble des nombres complexes de module 1 muni de la multiplication complexe $\times$ est un groupe. C'est d'ailleurs un sous-groupe de $\mathbb C^{\times}$.

Soit $n$ un nombre entier naturel. On note 

$$\mathbb U_n=\left\{\mathrm{e}^{\frac{2\textrm{i}\pi k}{n}}\ | \ k=0,\ldots,n-1  \right\}$$

Alors $\mathbb U_n$ est un sous-groupe de $\mathbb U$. Pour le vérifier, le produit 

$\mathrm{e}^{\frac{2\textrm{i}\pi k_1}{n}}\mathrm{e}^{\frac{2\textrm{i}\pi k_2}{n}}=

\mathrm{e}^{\frac{2\textrm{i}\pi {(k_1+k_2)}}{n}}$. En notant$r$le reste de la division euclidienne de$k_1+k_2$par$n$, on a$k_1+k_2=nq+r$, avec$0\leq r < n $. Ainsi 

$$\mathrm{e}^{\frac{2\textrm{i}\pi {(k_1+k_2)}}{n}}=\mathrm{e}^{\frac{2(nq+r)\pi}{n }}=\mathrm{e}^{2q\textrm{i} \pi+\frac{2\textrm{i} r\pi}{n}}=\mathrm{e}^{2qn\textrm{i} \pi} \mathrm{e}^{\frac{2\textrm{i} r\pi}{n}}= \mathrm{e}^{\frac{2\textrm{i} r\pi}{n}}$$

Comme $0\leq r \leq n-1$, on a donc montré que le produit de deux éléments de $\mathbb U_n$ est un élément de $\mathbb U_n$.

L'élément neutre $1=\mathrm{e}^{\frac{2\textrm{i}\pi 0}{n}}$ est dans $\mathbb U_n$.

En ce qui concerne l'inverse de $w=\mathrm{e}^{\frac{2\textrm{i}\pi k}{n}}$, on a

$$\frac{1}{\mathrm{e}^{\frac{2\textrm{i}\pi k}{n}}}=\mathrm{e}^{-\frac{2\textrm{i}\pi k}{n}}= \mathrm{e}^{2\textrm{i}\pi}\mathrm{e}^{-\frac{2\textrm{i}\pi k}{n}}=\mathrm{e}^{\frac{2\textrm{i}\pi(n-k)}{n}}$$

$0\leq k\leq n-1$ donc $n\geq n-k \geq 1$.

• Si $n-k<n$, alors l'inverse de $w$ est bien dans $\mathbb U_n$.
• Si $n-k=n$, c'est-à-dire si $k=0$, $w=\mathrm{e}^{\frac{2\textrm{i}\pi\times 0}{n}}=1$.

Ainsi $\mathbb U_n$ est bien un sous-groupe de $\mathbb U$. 

Il se trouve que tout sous-groupe de cardinal fini de $\mathbb U$ est de la forme $\mathbb U_n$. Nous pourrons le voir dans un autre article. 

Ensuite 

Dans d'autres articles, j'aimerai étudier les fonctions entre les groupes qui sont compatibles avec la structure de groupe, c'est-à-dire les homomorphismes de groupes.