Dans ce billet, nous nous intéresserons à un cas précis de suite récurrentes très représenté dans le programme de maths français, les suites arithmético-géométriques.
On dit qu'une suite réelle (u_n) est récurrente s'il existe une fonction f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R tel que pour tout n\in\mathbb N, u_{n+1}=f(u_n) .
Si f est une fonction affine, c'est-à-dire une fonction du type f(x)=ax+b , avec a et b réels, alors on a une suite arithmético-géométrique. Les suites arithmétiques et et les suites géométriques sont des cas particuliers de suites arithmético-géométriques.
Vocabulaire
Suites arithmétiques
Si f(x)=x+b , nous avons une suite arithmétique. Autrement dit, une suite artihmétique est une suite telle que pour tout entier naturel n\in\mathbb N, u_{n+1}=u_n+b
Le réel b est appelé la raison de la suite (u_n).
Exemple 1. La suite des nombres impairs positifs est une suite arithmétique de raison 2, avec u_0=1 . Nous avons u_0=1 , u_1=3 , u_2=5 , etc.
Propriété 1.
Si (u_n) est une suite arithmétique de raison b, alors pour tout n\in\mathbb N ,
u_n=u_0+nb
Démonstration. On fait une récurrence sur la propriété : \mathcal P_n définie pour tout n par u_n=u_0+nb
(1) Initialisation : On a \mathcal P_0 car u_0=u_0+0\times b
(2) Hérédité : Supposons \mathcal P_n pour un certain n\in\mathbb N .
Alors u_{n+1}=u_n+b =u_0+nb+b=u_0+b(n+1)
On a donc \mathcal P_{n+1} .
(3) Conclusion : \forall n\in\mathbb N, \mathcal P_n .
La preuve est faite.
Représentation graphique
Suites géométriques
Si f(x)=ax , nous avons une suite géométrique.
Autrement dit, une suite géométrique est une suite telle que pour tout entier naturel n\in\mathbb N, u_{n+1}=au_n
Le réel a est encore appelé la raison de la suite (u_n).
Exemple 2. La suite des puissances de 2 est une suite géométrique de raison 2, avec u_0=1 . Nous avons u_0=1, u_1=2 , u_2=2^2, etc.
Propriété 2.
Si (u_n) est une suite géométrique de raison a, alors pour tout n\in\mathbb N ,
u_n=a^nu_0
Démonstration. On fait une récurrence sur la propriété : \mathcal P_n définie pour tout n par u_n=a^nu_n
(1) Initialisation : On a \mathcal P_0 car u_0=a^0u_0 puisque a^0=1.
(2) Hérédité : Supposons \mathcal P_n pour un certain n\in\mathbb N .
Alors u_{n+1}=au_n=aa^nu_0
Alors u_{n+1}=a^{n+1}u_0.
On a donc \mathcal P_{n+1} .
(3) Conclusion : \forall n\in\mathbb N, \mathcal P_n .
La preuve est faite.
Représentation graphique
Suites arithmético-géométriques
Si f(x)=ax+b , nous avons une suite arithmético-géométrique.
Autrement dit, une suite arithmético-géométrique est une suite telle que pour tout entier naturel n\in\mathbb N, u_{n+1}=au_n+b
Exemple 3. La suite définie par u_0=0 et u_{n+1}=\frac 3 2 u_n+\frac 2 3 Nous avons u_0=0, u_1=\frac 2 3 , u_2=\frac 5 3, etc.
Représentation graphique
- Cas 1 : |a|>1
Remarque 1.
- Si a=1, nous avons une suite arithmétique
- Si b=0, nous avons une suite géométrique
- Si a=1 et b=0, nous avons une suite constante (on peut montrer que ce sont les seules suites à la fois arithmétiques et géométriques)
- Si a=0, nous avons une suite constante à partir du rang 1. Si de plus, b=u_0, alors, nous avons comme dans le cas précédent une suite constante.
- Le donnée de a et b suffit à déterminer entièrement une suite arithmético-géométrique ; cependant comme nous le montre les cas (4. et 5.) des suites constantes, pour une suite arithmético-géométrique donnée, il n'y a pas unicité du couple (a,b). (Pour u_0 fixé, le couple (a,b)=(0,u_0) donne la même suite que (a,b)=(1,0).) Nous verrons plus tard que dans les autres cas pour une suite arithmético-géométrique, il n'existe qu'un seul couple (a,b) tel que pour tout entier naturel n, u_{n+1}=au_n+b .
Equations aux différences finies
Une équation linéaire aux différences finies d'ordre 1 est une équations du type :
s_{n+1}=a(n)s_n+\psi(n)
où l'inconnue est une suite (s_n).
Si la fonctions a est une constante, alors l'équation devient
s_{n+1}=as_n+\psi(n)
Dans le cas où \psi est une fonction constante, on retrouve comme solutions les suites arithmético-géométriques.
Les équations linéaires aux différences finies d'ordre 1 feront l'objet d'un billet futur.
Etude d'un exemple de suite arithmético-géométrique
Intéressons-nous à la suite (u_n) définie par u_0=3 et telle que pour tout n\in\mathbb N, u_{n+1}=\frac 1 3 u_n +2 .
Quelques questions.
- Comment varie cette suite ?
- Cette suite possède-t-elle une limite ? Si cette suite converge, que peut-on dire sur sa vitesse de convergence ?
- Cette suite a-t-elle une expression explicite du type u_n=f (n) ?
Variations de (u_n).
On peut étudier la suite définie pour tout n\in\mathbb N par d_{n}=u_{n+1}-u_n .
On conjecture sans problème en ayant calculé quelques valeurs de la suite (d_n) que (d_n) est une suite géométrique de raison \frac 1 3 .
On peut par exemple utiliser un script Python comme celui-ci :
En l'executant, il semble bien de (d_n) est une suite géométrique de raison \frac 1 3 .
Prouvons-le. On a pour tout n\in\mathbb N
d_{n+1}=u_{n+2}-u_{n+1}=\frac1 3 u_{n+1} + 2- \left(\frac1 3 u_{n} + 2\right)
d_{n+1}=\frac 1 3 u_{n+1} - \frac 1 3 u_{n}=\frac 13 \left(u_{n+1}-{u_{n}} \right)=\frac 1 3 d_{n}
La suite (d_n) est donc géométrique, et d'après la propriété 2, pour tout n\in\mathbb N, on a d_{n}=\left(\frac 1 3\right)^n d_0 .
Comme d_0=u_1-u_0=\frac 1 3 u_0+2-u_0=-\frac 2 3 u_0+2 , on obtient d_0=-\frac 2 3 \times \frac 1 2+2=\frac 5 3 .
Donc pour tout n\in\mathbb N, d_n=\left(\frac 1 3\right)^n \times \frac 5 3 .
Chaque d_n est positif donc la suite (u_n) est croissante.
De plus (u_n) semble majorée. En effet, regardons pour cela la représentation graphique de (u_n) .
L'abscisse du point d'intersection de la suite de la droite d'équation y=x et de la droite d'équation y=\frac 1 3 x+2 semble majorer (u_n). En résolvant l'équation x=\frac 1 3x +2 , il n'est pas difficile de voir que ce cette abscisse est 3.
On peut montrer en utilisant le théorème de récurrence que pour tout n entier naturel, u_n\leq 3. On en déduit par le théorème de convergence monotone que (u_n) converge. On peut conjecturer graphiquement que la limite de (u_n) est d'ailleurs 3.
Remarquons au passage que u_{n+2}-u_{n+1}=\frac 1 3 (u_{n+1}-u_{n}), ce qui se traduit par le fait que l'écart entre deux termes consécutifs est multiplié par \frac 1 3 à chaque rang.
Recherche d'une forme explicite pour u_n.
Notre prochain objectif est de trouver une forme explicite pour la suite (u_n). Ce sera l'objet d'un prochain article de ce blog. Ensuite, nous nous intéresserons au cas général des suites arithmético-géométriques.
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