Théorème de point fixe de terminale

Définition.

 Soit $f:E\longrightarrow E$ une fonction d'un ensemble $E$ vers lui-même.

On dit que $x$ est un point fixe de $f$ si $f(x)=x$.

Propriété.

Soit $f$ une fonction continue de $I$ dans $J$ avec $J\subset I$. On suppose que $(u_n)$ est une suite telle que pour tout $n\in\mathbb N$, $u_{n+1}=f(u_n)$.

Si $(u_n)$ converge alors sa limite $s$ est un point fixe de $f$ : on a donc $f(s)=s$.

Autrement dit, $f(\lim_n u_n)=\lim_n u_n$.

Démonstration.

On suppose que $(u_n)$ converge vers $s\in J\subset I$. Il suffit de montrer que $(u_n)$ converge vers $f(s)$, alors par unicité de la limte de $(u_n)$, on aura que $s=f(s)$.

Montrons que pour tout $\varepsilon>0$, il existe $N=N(\varepsilon)$ tel que pour tout $n\geq N$, $\lvert u_n-f(s) \rvert \leq \varepsilon$.

Comme $\lim_n u_n = s$ pour tout $\alpha>0$, il existe un entier $M=M(\alpha)$ tel que pour tout $n\geq M$, $\lvert u_n-s \rvert\leq \alpha$.

Par ailleurs, par continuité de $f$, pour tout $\beta\geq 0$, il existe un réel $\delta=\delta(\beta)>0$ tel que $\lvert x-s\rvert \leq \delta$ implique $\lvert f(s)-f(s) \rvert \leq \beta$.

Prenons, $\beta=\frac \varepsilon 3$ et $\alpha=\min(\delta,\beta)$. Nous avons pour tout $n\geq M$ : $\lvert u_n-s \rvert \leq \alpha$ et aussi $\lvert u_{n+1}-s \rvert \leq \alpha$.

On a donc par l'ingalité triangulaire

$$\lvert u_n-f(s) \rvert = \lvert u_n-s+s-u_{n+1}+u_{n+1}-f(s) \rvert\leq \lvert u_n-s\rvert +\lvert s-u_{n+1}\rvert +\lvert u_{n+1}-f(s) \rvert$$

On a donc, puisque $u_{n+1}=f(u_n)$,

$$\lvert u_n-f(s) \rvert \leq \beta +\beta +\lvert f(u_n)-f(s) \rvert$$

Or $\lvert u_n-s\rvert \leq \delta$, d'où $\lvert f(u_n)-f(s) \rvert \leq \beta$

$$\lvert u_n-f(s) \rvert \leq 3\beta = \varepsilon$$

Ainsi pour tout $\varepsilon>0$, il existe $M>0$, tel que si $n\geq M$, $\lvert u_n - f(s) \rvert \leq \varepsilon$. Donc $s=\lim_n u_n =f(s)$