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Mathjax

jeudi 15 juin 2023

Fonctions entre deux ensembles

Notion de fonction

Si E et F sont des ensembles, une fonction f de E dans F est la donnée d'un ensemble \mathcal G de couples (x,y), avec x\in E et y\in F vérifiant les conditions suivantes : 


(1) Si (x,y) et (u,v) sont dans \mathscr G , et si u=x, alors v=y

y est alors uniquement défini par x, on le note f(x)


(2) Pour tout x\in E, il existe un couple (x,f(x)) dans \mathcal G


On dit que pour tout x dans E, f associe un élément f(x) de F.  

On note : x\longmapsto f(x)









On dit que l'ensemble 

\mathcal G = \left\{ (x,f(x)) | x\in E \right\}

est le graphe de la fonction f


On note f:E\rightarrow F , une fonction f de E dans F.


Si y=f(x), on dit que y est l'image de x par f et que x est un antécédent de y par f.


Exemple 1.

La fonction f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R définie par f(x)=x^2


Son graphe est l'ensemble des couples \left(x,x^2\right) avec x\in\mathbb R


On peut le représenter graphiquement (en partie) :







Exemple 2.

La fonction g:\mathbb N \times \mathbb N^{\star} \rightarrow \mathbb Q définie par g((a,b))=\frac a b


Surjectivité, injectivité, bijectivité

Avec les notations précédentes, si A est un sous-ensemble de E, l'ensemble image de A par f est le sous-ensemble de F défini par 

f(A)=\left\{f(x) \in F | x\in A \right\}


Si f(E)=F, on dit que f est surjective. Autrement dit, f est surjective si pour tout élément y de F, il existe un élément x de E tel que f(x)=y, ou encore que tout élément y de F possède un antécédent par f.


Exemple 1 (suite). Reprenons l'exemple 1. f n'est pas surjective car un nombre négatif n'a pas d'antécédent par f.


Exemple 2 (suite). Reprenons l'exemple 2. g est surjective par définition de l'ensemble \mathbb Q.

Pour tout sous-ensemble B de F, on note 

f^{-1}(B)=\left\{x\in E | f(x)\in B \right\}. C'est un sous-ensemble de E.

On l'appelle l'image réciproque de B par f.

On dit que f est injective si tout élément de f(E) a au plus une image. Autrement dit si f(x)=f(y) implique x=y

Exemple 1 (suite). La fonction f définie précédemment n'est pas injective car f(-1)=1=f(1).

Exemple 3. Soit I et J deux intervalles de \mathbb RSi f:I \rightarrow J est strictement croissante, alors f est injective.

En effet si x_1\neq x_2, on a x_1<x_2 ou x_2<x_1. Donc f(x_1)<f(x_2) ou f(x_2)<f(x_1)

Par conséquent si f(x_1)=f(x_2) on a x_1=x_2.

On dit que f est bijective si f est injective et surjective. 


Remarque.

f est bijective si et seulement si pour tout y\in F, il existe un unique x\in E tel que f(x)=y.


Restriction d'une fonction

Si f:E\rightarrow F et si E'\subset E est un sous-ensemble, alors la fonction E'\rightarrow F définie par x\longmapsto f(x) est la restriction de f à E'. On la note f|_{E'}

Exemple 1 (suite). La fonction f|_{\mathbb R^{+}} est injective car elle est strictement croissante.



Composition de fonctions

Si f:E \longrightarrow F et g:F \longrightarrow G sont des fonctions, alors définit une fonction E \longrightarrow G par x\longmapsto g(f(x)). C'est la composée de f par g, elle est notée g\circ f

Autrement dit, pour tout x\in E, g\circ f(x)=g(f(x)).







Fonction réciproque

Si f:E \rightarrow F est une fonction bijective, alors il existe une unique fonction g telle que g\circ f=id_E et f\circ g = id_F .

 Cette fonction g est appelée la bijection réciproque de f et se note f^{-1}.



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