Notion de fonction
Si E et F sont des ensembles, une fonction f de E dans F est la donnée d'un ensemble \mathcal G de couples (x,y), avec x\in E et y\in F vérifiant les conditions suivantes :
(1) Si (x,y) et (u,v) sont dans \mathscr G , et si u=x, alors v=y.
y est alors uniquement défini par x, on le note f(x).
(2) Pour tout x\in E, il existe un couple (x,f(x)) dans \mathcal G
On dit que pour tout x dans E, f associe un élément f(x) de F.
On note : x\longmapsto f(x).
On dit que l'ensemble
\mathcal G = \left\{ (x,f(x)) | x\in E \right\}
On note f:E\rightarrow F , une fonction f de E dans F.
Si y=f(x), on dit que y est l'image de x par f et que x est un antécédent de y par f.
Exemple 1.
La fonction f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R définie par f(x)=x^2.
Son graphe est l'ensemble des couples \left(x,x^2\right) avec x\in\mathbb R.
On peut le représenter graphiquement (en partie) :
Exemple 2.
La fonction g:\mathbb N \times \mathbb N^{\star} \rightarrow \mathbb Q définie par g((a,b))=\frac a b.
Surjectivité, injectivité, bijectivité
Avec les notations précédentes, si A est un sous-ensemble de E, l'ensemble image de A par f est le sous-ensemble de F défini par
f(A)=\left\{f(x) \in F | x\in A \right\}
Si f(E)=F, on dit que f est surjective. Autrement dit, f est surjective si pour tout élément y de F, il existe un élément x de E tel que f(x)=y, ou encore que tout élément y de F possède un antécédent par f.
Exemple 1 (suite). Reprenons l'exemple 1. f n'est pas surjective car un nombre négatif n'a pas d'antécédent par f.
Exemple 2 (suite). Reprenons l'exemple 2. g est surjective par définition de l'ensemble \mathbb Q.
Pour tout sous-ensemble B de F, on note
f^{-1}(B)=\left\{x\in E | f(x)\in B \right\}. C'est un sous-ensemble de E.
On l'appelle l'image réciproque de B par f.
On dit que f est injective si tout élément de f(E) a au plus une image. Autrement dit si f(x)=f(y) implique x=y.
Exemple 1 (suite). La fonction f définie précédemment n'est pas injective car f(-1)=1=f(1).
Exemple 3. Soit I et J deux intervalles de \mathbb R. Si f:I \rightarrow J est strictement croissante, alors f est injective.
En effet si x_1\neq x_2, on a x_1<x_2 ou x_2<x_1. Donc f(x_1)<f(x_2) ou f(x_2)<f(x_1).
Par conséquent si f(x_1)=f(x_2) on a x_1=x_2.
On dit que f est bijective si f est injective et surjective.
Remarque.
f est bijective si et seulement si pour tout y\in F, il existe un unique x\in E tel que f(x)=y.
Restriction d'une fonction
Si f:E\rightarrow F et si E'\subset E est un sous-ensemble, alors la fonction E'\rightarrow F définie par x\longmapsto f(x) est la restriction de f à E'. On la note f|_{E'}.
Exemple 1 (suite). La fonction f|_{\mathbb R^{+}} est injective car elle est strictement croissante.
Composition de fonctions
Fonction réciproque
Si f:E \rightarrow F est une fonction bijective, alors il existe une unique fonction g telle que g\circ f=id_E et f\circ g = id_F .
Cette fonction g est appelée la bijection réciproque de f et se note f^{-1}.
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