Fonctions entre deux ensembles

Notion de fonction

Si $E$ et $F$ sont des ensembles, une fonction $f$ de $E$ dans $F$ est la donnée d'un ensemble $\mathcal G $ de couples $(x,y)$, avec $x\in E$ et $y\in F $ vérifiant les conditions suivantes : 

(1) Si $(x,y)$ et $(u,v)$ sont dans $\mathscr G $, et si $u=x$, alors $v=y$. 

$y$ est alors uniquement défini par $x$, on le note $f(x)$. 

(2) Pour tout $x\in E$, il existe un couple $(x,f(x))$ dans $\mathcal G $

On dit que pour tout $x$ dans $E$, $f$ associe un élément $f(x)$ de $F$.  

On note : $x\longmapsto f(x)$. 

On dit que l'ensemble 

$$\mathcal G = \left\{ (x,f(x)) | x\in E \right\}$$ est le graphe de la fonction $f$. 

On note $f:E\rightarrow F $, une fonction $f$ de $E$ dans $F$.

Si $y=f(x)$, on dit que $y$ est l'image de $x$ par $f$ et que $x$ est un antécédent de $y$ par $f$.

Exemple 1.

La fonction $f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R $ définie par $f(x)=x^2$. 

Son graphe est l'ensemble des couples $\left(x,x^2\right) $ avec $x\in\mathbb R$. 

On peut le représenter graphiquement (en partie) :

Exemple 2.

La fonction $g:\mathbb N \times \mathbb N^{\star} \rightarrow \mathbb Q $ définie par $g((a,b))=\frac a b$. 

Surjectivité, injectivité, bijectivité

Avec les notations précédentes, si $A$ est un sous-ensemble de $E$, l'ensemble image de $A$ par $f$ est le sous-ensemble de $F$ défini par 

$$f(A)=\left\{f(x) \in F | x\in A \right\} $$

Si $f(E)=F$, on dit que $f$ est surjective. Autrement dit, $f$ est surjective si pour tout élément $y$ de $F$, il existe un élément $x$ de $E$ tel que $f(x)=y$, ou encore que tout élément $y$ de $F$ possède un antécédent par $f$.

Exemple 1 (suite). Reprenons l'exemple 1. $f$ n'est pas surjective car un nombre négatif n'a pas d'antécédent par $f$.

Exemple 2 (suite). Reprenons l'exemple 2. $g$ est surjective par définition de l'ensemble $\mathbb Q$.

Pour tout sous-ensemble $B$ de $F$, on note 

$f^{-1}(B)=\left\{x\in E | f(x)\in B \right\}$. C'est un sous-ensemble de $E$.

On l'appelle l'image réciproque de $B$ par $f$.

On dit que $f$ est injective si tout élément de $f(E)$ a au plus une image. Autrement dit si $f(x)=f(y)$ implique $x=y$. 

Exemple 1 (suite). La fonction $f$ définie précédemment n'est pas injective car $f(-1)=1=f(1)$.

Exemple 3. Soit $I$ et $J$ deux intervalles de $\mathbb R$. Si $f:I \rightarrow J$ est strictement croissante, alors $f$ est injective.

En effet si $x_1\neq x_2$, on a $x_1<x_2$ ou $x_2<x_1$. Donc $f(x_1)<f(x_2)$ ou $f(x_2)<f(x_1)$. 

Par conséquent si $f(x_1)=f(x_2)$ on a $x_1=x_2$.

On dit que $f$ est bijective si $f$ est injective et surjective. 

Remarque.

$f$ est bijective si et seulement si pour tout $y\in F$, il existe un unique $x\in E$ tel que $f(x)=y$.

Restriction d'une fonction

Si $f:E\rightarrow F$ et si $E'\subset E $ est un sous-ensemble, alors la fonction $E'\rightarrow F$ définie par $x\longmapsto f(x)$ est la restriction de $f$ à $E'$. On la note $f|_{E'}$. 

Exemple 1 (suite). La fonction $f|_{\mathbb R^{+}}$ est injective car elle est strictement croissante.

Composition de fonctions

Si $f:E \longrightarrow F$ et $g:F \longrightarrow G $ sont des fonctions, alors définit une fonction $E \longrightarrow G$ par $x\longmapsto g(f(x))$. C'est la composée de $f$ par $g$, elle est notée $g\circ f$. 

Autrement dit, pour tout $x\in E$, $g\circ f(x)=g(f(x))$.

Fonction réciproque

Si $f:E \rightarrow F$ est une fonction bijective, alors il existe une unique fonction $g$ telle que $g\circ f=id_E $ et $f\circ g = id_F $.

 Cette fonction $g$ est appelée la bijection réciproque de $f$ et se note $f^{-1}$.