Réponse au défi sur les suites arithmétiques

 A la fin de la vidéo suivante, je vous lançais un défi : 

Il consistait pour une suite arithmétique donnée $(u_k)$ ayant pour raison $b$ de calculer la somme des éléments de ce tableau composé de $n+1$ lignes et $n+1$ colonnes :

$$T=\left[\begin{array}{ccccccc} u_0 & u_1 & u_2 & \ldots & u_{n-2} & u_{n-1} & u_n\\ u_1 & u_2 & u_3 & \ldots & u_{n-1} & u_{n} & u_{n+1}\\ u_2 & u_3 & u_4 &\ldots & u_{n} & u_{n+1} & u_{n+2}\\ &  &  &\vdots &  &  & \\u_{n-2} & u_{n-1} & u_{n} & \ldots & u_{2n-4} & u_{2n-3} & u_{2n-2}\\   u_{n-1} & u_{n} & u_{n+1} & \ldots & u_{2n-3} & u_{2n-2} & u_{2n-1}\\  u_{n} & u_{n+1} & u_{n+2} & \ldots & u_{2n-2} & u_{2n-1} & u_{2n}\\      \end{array}\right]$$

Pour résoudre ce problème notons : 

$$S(n,k)=u_k+u_{k+1}+\ldots+u_{k+n}$$

Soit $n$ un nombre entier fixé. Notons $w_k=S(n,k)$.

Alors la suite $(w_k)$ est une suite arithmétique. 

On a en effet pour tout entier naturel $k$ : 

$$w_{k+1}-w_k=u_{k+1}+u_{k+2}+\ldots+u_{k+n+1}-(u_k+u_{k+1}+\ldots+u_{k+n})$$

En associant les termes on obtient 

$$w_{k+1}-w_k= (u_{k+1}-u_k)+u_{k+2}-u_{k+1})+\ldots+(u_{k+n+1}-u_{k+n})=\underbrace{b+b+\ldots+b}_{n\ \textrm{termes}}=nb$$

Ainsi $(w_k)$ est une suite arithmétique de raison $nb$. 

La somme des éléments du tableau $T$ est égale à

$S(n,0)+S(n,1)+\ldots+S(n,n)=w_0+w_1+\ldots+w_n$.

Comme $(w_k)$ est arithmétique de raison $nb$, cette somme vaut $\frac{(w_0+w_n)(n+1)}{2}$.

Or

$$w_0=u_0+u_1+\ldots+u_n=\frac{(u_0+u_n)(n+1)}{2}$$ et $$w_n=u_n+u_{n+1}+\ldots+u_{2n}=\frac{(u_n+u_{2n})(n+1)}{2}$$

Donc la somme des éléments de $T$ vaut :

$$\frac{(\frac{(u_0+u_n)(n+1)}{2}+\frac{(u_n+u_{2n})(n+1)}{2})(n+1)}{2}=\frac{(u_0+2u_n+u_{2n})(n+1)^2}{4}$$

Si on veut le résultat en fonction de $n$, de $b$ et de $u_0$, on a donc une somme égale à 

$$\frac{(u_0+2u_n+u_{2n})(n+1)^2}{4}=\frac{\left(u_0+2(u_0+bn)+u_0+2nb\right)(n+1)^2}{4}=\frac{\left(4u_0+4nb\right)(n+1)^2}{4}=\left(u_0+nb\right)(n+1)^2$$