Somme des termes d'une suite géométrique et 9,999.....

Somme des puissances d'un nombre

Soit $q$ un réel (ou un complexe) et soit $n$ un nombre entier naturel.

On a 

$$(1-q)(1+q)=1-q+q-q^2=1-q^2 $$

Aussi 

$$(1-q)(1+q+q^2)=(1-q)(1+q)+(1-q)q^2=1-q^2+q^2-q^3=1-q^3 $$

De même si pour un certain entier naturel $k$

$$(1-q)(1+q+\ldots+q^k)=1-q^{k+1} $$

Alors

$$(1-q)(1+q+\ldots+q^n+q^{k+1})=(1-q)(1+q+\ldots+q^k)+(1-q)q^{k+1}$$

d'où $$(1-q)(1+q+\ldots+q^n+q^{k+1})=1-q^{k+1}+q^{k+1}-q^{k+2} =1-q^{k+2}$$ ce qui prouve par récurrence que pour tout n entier naturel $n$

$$(1-q)(1+q+\ldots+q^n)=1-q^{n+1} $$

On en déduit que

• Si $q=1$, alors $1+q+q^2+\ldots+q^n=1-q^{n+1} $
• Si $q\neq 1$, alors 

$$1+q+q^2+\ldots+q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q} $$

Sommes des termes d'une suite géométrique

Si $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q$, alors pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=u_0q^n $.

Ainsi si $q\neq 1$, on a

$$\begin{array}{rcl} u_0+u_1+\ldots+u_n  &=& u_0+u_0q+\ldots+u_0q^n\\ &=& u_0(1+q+\ldots+q^n)\\ &=& u_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q} \end{array}$$

Si $q=1$, pour tout $n$, $q^n=1$ donc

$$\begin{array}{rcl} u_0+u_1+\ldots+u_n  &=& u_0+u_0+\ldots+u_0\\ &=& (n+1)u_0\\  \end{array}$$

Une vidéo que j'ai faite sur le sujet

 

Le nombre 9,9999999.....................

Par définition, le nombre $9,999\ldots\ldots $ composé uniquemement de "9" avec une infinité de "9" est le nombre 

$$N=9+\frac{9}{10}+\frac{9}{100}+\frac{9}{1000}+\ldots\ldots=9+\frac{9}{10}+\frac{9}{10^2}+\frac{9}{10^3}+\ldots\ldots $$

Mais ce nombre existe-t-il vraiment ? Autrement dit, l'écriture "9,999......" a-t-elle du sens ?

Le fait qu'il y ait une infinité de "9" se traduit à l'aide d'une limite :

$$N=\lim_{n\rightarrow +\infty}\left( 9+\frac{9}{10}+\frac{9}{10^2}+\frac{9}{10^3}+\ldots+\frac{9}{10^n}\right) $$

La convergence de cette limite est donc la garantie que le nombre $N=9,999\ldots\ldots $ existe. 

Nous allons montrer que cette limite existe, et donc que $N$ existe, et aussi que ce nombre vaut 10.

On a :

$$ 9+\frac{9}{10}+\frac{9}{10^2}+\frac{9}{10^3}+\ldots+\frac{9}{10^n}=u_0+u_1+\ldots+u_n$$

où $u_k=9\times \frac{1}{10^k} =9\times \left(\frac{1}{10}\right)^k $. $(u_k)$ est une suite géométrique de raison $\frac 1 {10} $.

Ainsi d'après ce qui précède :

$$ 9+\frac{9}{10}+\frac{9}{10^2}+\frac{9}{10^3}+\ldots+\frac{9}{10^n}=9\frac{1-\left(\frac{1}{10}\right)^{n+1}}{1-\frac{1}{10}}$$

Après simplification, puisque l'inverse de $1-\frac{1}{10}=\frac{9}{10}$ est $\frac{10}{9} $ :

$$ 9+\frac{9}{10}+\frac{9}{10^2}+\frac{9}{10^3}+\ldots+\frac{9}{10^n}=10\left(1-\left(\frac{1}{10}\right)^{n+1}\right)$$

La limite du membre de droite existe car $\lim_n \left(\frac{1}{10}\right)^{n+1} =\lim_n \left(\frac{1}{10}\right)^{n}\frac 1 {10}= 0 $, et on a $\lim_n 10\left(1-\left(\frac{1}{10}\right)^{n+1}\right)= 10 $

Ainsi $N=9,999\ldots\ldots=\lim_{n\rightarrow +\infty}\left( 9+\frac{9}{10}+\frac{9}{10^2}+\frac{9}{10^3}+\ldots+\frac{9}{10^n}\right)  $ existe et vaut 10.

Pour aller plus loin

Cet exemple illustre un résultat plus général que j'aimerai développer dans un prochain article : pour tout nombre rationnel dont l'écriture décimale n'est pas fini (cas d'un nombre non décimal), il existe une suite de chiffres qui se répètent indéfiniment (un cylce). Réciproquement, tout nombre dont l'écriture décimale se termine par un cycle est un nombre rationnel (non décimal).