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jeudi 10 août 2023

Divergence, suite bornée

Cet artcile fait suite à Limite d'une suite.

Lorsqu'une suite ne converge pas on dira qu'elle diverge.

Dans cet article, nous verrons qu'il y a deux sortes de divergence :

  • une suite peut avoir une limite infinie
  • une suite peut ne pas avoir de limite
Ensuite nous parlerons de la bornitude d'une suite.


Divergence d'une suite


On dit qu'une suite réelle (u_n) a pour limite +\infty ("plus l'infini") si 

(\ast) pour tout nombre réel A, il existe un entier naturel N_A tel que pour tout n>N_A, alors u_n>A.

Avec les quantificateurs, la condition (\ast) se note 

(\ast)\ \ \ \forall A\in \mathbb R, \exists N_A\in\mathbb N, \forall n>N_A, u_n\geq A

On dit alors que (u_n) diverge vers +\infty.

On note \lim_n u_n = +\infty

Remarque 1. N_A dépend de A. On omet souvent l'indice A, en écrivant N=N_A.

Remarque 2. Sans perte de généralité, au lieu de considérer tous les réels A, on peut se contenter des "A" plus grands qu'une valeur donnée \mu, par exemple, les A>0. En effet, si u_n\geq A>\mu, pour tout A'<\mu, u_n\geq A'.

En terminale, on dit aux élèves que l'on peut rendre le termes de la suite (u_n) aussi grands que l'on veut pourvu que l'indice des termes soit assez grand. 

Exemple 1. 
\lim_n n = +\infty

Preuve. 
Soit A un réel. Pour N=N_A=\lceil A \rceil (N est le plus petit entier plus grand que A), on a n>N \Longrightarrow n> A.

Ceci étant possible pour tout A, on en déduit que \lim_n n = +\infty .

Si la suite (-u_n) a pour limite +\infty, alors on dit que (u_n) a pour limite -\infty. On dit que (u_n) diverge vers -\infty.

Cela revient à dire avec les quantificateurs:

(\ast)\ \ \ \forall A\in \mathbb R, \exists N_A\in\mathbb N, \forall n>N_A, u_n\leq A

Remarque 3. 
Sans perte de généralité, au lieu de considérer tous les réels A, on peut se contenter des "A" plus petits qu'une valeur donnée \rho, par exemple, les A<0. En effet, si u_n\leq A<\rho, pour tout A>\rho, u_n\leq A'.

Si une suite (u_n) ne converge vers aucun réel et si elle ne diverge ni vers \infty, ni vers -\infty, on dit que (u_n) n'a pas de limite.


Suite bornée

Définition. 

On dit qu'une suite (u_n) est majorée s'il existe un réel M tel que pour tout entier naturel n, u_n\leq M. On dit dans ce cas que M est un majorant de (u_n).

On dit qu'une suite (u_n) est minorée s'il existe un réel M tel que pour tout entier naturel n, u_n\leq M. On dit dans ce cas que M est un minorant de (u_n).

Si une suite est à la fois majorée et minorée, on dit qu'elle est bornée.

Exemple 2. La suite (v_n) définie par v_n=\sin n est bornée. 
En effet pour tout n, on a -1 \leq \cos(n) \leq 1.

Remarque. Si une suite possède un majorant M (respectivement un minorant m), alors elle en possède une infinité. En effet tout nombre supérieur à M (reps. inférieur à m) est aussi un majorant (resp. un minorant).

Propriété 1. 
(1) Si une suite est majorée, elle ne peut pas diverger vers +\infty.

(2) Si une suite est minorée, elle ne peut pas diverger vers -\infty.

Démonstration. 

(1) Supposons que M soit un majorant de (u_n). Alors il est impossible qu'il existe un n pour lequel u_n>M contredisant la divergence de u_n vers +\infty.

(2) Idem.


Exemple 3. 
La suite (u_n) définie par u_n=(-1)^n=\left\{\begin{array}{rcl}1  &\textrm{si} & n \textrm{ est pair}\\ -1  &\textrm{si} & n \textrm{ est impair}\\ \end{array} \right.
n'a pas de limite.

Preuve. 
Tout d'abord (u_n) n'a pas de limite infinie car -1 et 1 sont des minorants et majorants respectifs de (u_n) (voir propriété 1).

Supposons maintenant que (u_n) possède une limite x. Alors par définition de la convergence d'une suite (voir Limite d'une suite réelle), en prenant \varepsilon = \frac 1 2, il doit exister un entier N=N_{\frac 1 2} pour lequel : 
n>N \Longrightarrow  -\frac 1 2< x-(-1)^n < \frac 1 2


Si p est pair avec p>N, alors u_p=1, donc -\frac 1 2< x-1 < \frac 1 2 d'où \frac 1 2<x<\frac 3 2

Si m est impair avec m>N, alors u_m=-1, donc -\frac 1 2< x+1 \frac 1 2 d'où -\frac 3 2<x<\frac 1 2

On en déduit que \frac 1 2<x et que x<\frac 1 2 ce qui est impossible. Donc la limite x ne peut pas exister.



Propriété 2. 
Soit (u_n) une suite convergente. 
(1) Si (u_n) est majorée par M, alors \lim_n u_n\leq M.
(2) Si (u_n) est minorée par m, alors \lim_n u_n\geq m.

Démonstration. Nous ne montrerons que le point (1), le point (2) se prouvant de manière identique. 

La démonstration se fait par l'absurde. Supposons que x=\lim_n u_n soit strictement supérieure à M


D'après la définition de limite d'une suite (voir Limite d'une suite), pour \varepsilon=\frac{x-M}{2}, il existe N=N_\varepsilon tel que si n>N, on a -\varepsilon<u_n-x<\varepsilon
 

Ainsi d'après l'inégalité de gauche : u_n>x-\varepsilon=x-\frac{x-M}{2}=\frac{x+M}{2}>\frac{2M}{2}=M

Ceci contredit le fait que M est un majorant de (u_n)

Le point (1) est démontré : \lim_n u_n \leq M .


A suivre

Dans un article futur, nous verrons quelques propriétés concernant les limites.  Elles nous permettrons de déterminer d'autres exemples de limites de suites. 

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