Divergence, suite bornée

Cet artcile fait suite à Limite d'une suite.

Lorsqu'une suite ne converge pas on dira qu'elle diverge.

Dans cet article, nous verrons qu'il y a deux sortes de divergence :

• une suite peut avoir une limite infinie
• une suite peut ne pas avoir de limite

Ensuite nous parlerons de la bornitude d'une suite.

Divergence d'une suite

On dit qu'une suite réelle $(u_n)$ a pour limite $+\infty$ ("plus l'infini") si 

$(\ast) $ pour tout nombre réel $A$, il existe un entier naturel $N_A$ tel que pour tout $n>N_A$, alors $u_n>A$.

Avec les quantificateurs, la condition $(\ast)$ se note 

$$(\ast)\ \ \ \forall A\in \mathbb R, \exists N_A\in\mathbb N, \forall n>N_A, u_n\geq A $$

On dit alors que $(u_n)$ diverge vers $+\infty$.

On note $$\lim_n u_n = +\infty $$

Remarque 1. $N_A$ dépend de $A$. On omet souvent l'indice $A$, en écrivant $N=N_A$.

Remarque 2. Sans perte de généralité, au lieu de considérer tous les réels $A$, on peut se contenter des "$A$" plus grands qu'une valeur donnée $\mu$, par exemple, les $A>0$. En effet, si $u_n\geq A>\mu$, pour tout $A'<\mu$, $u_n\geq A'$.

En terminale, on dit aux élèves que l'on peut rendre le termes de la suite $(u_n)$ aussi grands que l'on veut pourvu que l'indice des termes soit assez grand. 

Exemple 1. 

$$\lim_n n = +\infty $$

Preuve. 

Soit $A$ un réel. Pour $N=N_A=\lceil A \rceil$ ($N$ est le plus petit entier plus grand que $A$), on a $n>N \Longrightarrow n> A$.

Ceci étant possible pour tout $A$, on en déduit que $\lim_n n = +\infty $.

Si la suite $(-u_n)$ a pour limite $+\infty$, alors on dit que $(u_n)$ a pour limite $-\infty$. On dit que $(u_n)$ diverge vers $-\infty$.

Cela revient à dire avec les quantificateurs:

$$(\ast)\ \ \ \forall A\in \mathbb R, \exists N_A\in\mathbb N, \forall n>N_A, u_n\leq A $$

Remarque 3. 

Sans perte de généralité, au lieu de considérer tous les réels $A$, on peut se contenter des "$A$" plus petits qu'une valeur donnée $\rho$, par exemple, les $A<0$. En effet, si $u_n\leq A<\rho$, pour tout $A>\rho$, $u_n\leq A'$.

Si une suite $(u_n)$ ne converge vers aucun réel et si elle ne diverge ni vers $\infty$, ni vers $-\infty$, on dit que $(u_n)$ n'a pas de limite.

Suite bornée

Définition. 

On dit qu'une suite $(u_n)$ est majorée s'il existe un réel $M$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_n\leq M$. On dit dans ce cas que $M$ est un majorant de $(u_n)$.

On dit qu'une suite $(u_n)$ est minorée s'il existe un réel $M$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_n\leq M$. On dit dans ce cas que $M$ est un minorant de $(u_n)$.

Si une suite est à la fois majorée et minorée, on dit qu'elle est bornée.

Exemple 2. La suite $(v_n)$ définie par $v_n=\sin n$ est bornée. 

En effet pour tout $n$, on a $-1 \leq \cos(n) \leq 1$.

Remarque. Si une suite possède un majorant $M$ (respectivement un minorant $m$), alors elle en possède une infinité. En effet tout nombre supérieur à $M$ (reps. inférieur à $m$) est aussi un majorant (resp. un minorant).

Propriété 1. 

(1) Si une suite est majorée, elle ne peut pas diverger vers $+\infty$.

(2) Si une suite est minorée, elle ne peut pas diverger vers $-\infty$.

Démonstration. 

(1) Supposons que $M$ soit un majorant de $(u_n)$. Alors il est impossible qu'il existe un $n$ pour lequel $u_n>M$ contredisant la divergence de $u_n$ vers $+\infty$.

(2) Idem.

Exemple 3. 

La suite $(u_n)$ définie par $$u_n=(-1)^n=\left\{\begin{array}{rcl}1  &\textrm{si} & n \textrm{ est pair}\\ -1  &\textrm{si} & n \textrm{ est impair}\\ \end{array} \right.$$ n'a pas de limite.

Preuve. 

Tout d'abord $(u_n)$ n'a pas de limite infinie car $-1$ et $1$ sont des minorants et majorants respectifs de $(u_n)$ (voir propriété 1).

Supposons maintenant que $(u_n)$ possède une limite $x$. Alors par définition de la convergence d'une suite (voir Limite d'une suite réelle), en prenant $\varepsilon = \frac 1 2$, il doit exister un entier $N=N_{\frac 1 2}$ pour lequel : 

$$n>N \Longrightarrow  -\frac 1 2< x-(-1)^n < \frac 1 2 $$

Si $p$ est pair avec $p>N$, alors $u_p=1$, donc $-\frac 1 2< x-1 < \frac 1 2$ d'où $\frac 1 2<x<\frac 3 2$. 

Si $m$ est impair avec $m>N$, alors $u_m=-1$, donc $-\frac 1 2< x+1 \frac 1 2$ d'où $-\frac 3 2<x<\frac 1 2$. 

On en déduit que $\frac 1 2<x$ et que $x<\frac 1 2$ ce qui est impossible. Donc la limite $x$ ne peut pas exister.

Propriété 2. 

Soit $(u_n)$ une suite convergente. 

(1) Si $(u_n)$ est majorée par $M$, alors $\lim_n u_n\leq M$.

(2) Si $(u_n)$ est minorée par $m$, alors $\lim_n u_n\geq m$.

Démonstration. Nous ne montrerons que le point (1), le point (2) se prouvant de manière identique. 

La démonstration se fait par l'absurde. Supposons que $x=\lim_n u_n$ soit strictement supérieure à $M$. 

D'après la définition de limite d'une suite (voir Limite d'une suite), pour $\varepsilon=\frac{x-M}{2}$, il existe $N=N_\varepsilon$ tel que si $n>N$, on a $$-\varepsilon<u_n-x<\varepsilon$$ 

Ainsi d'après l'inégalité de gauche : $$u_n>x-\varepsilon=x-\frac{x-M}{2}=\frac{x+M}{2}>\frac{2M}{2}=M $$

Ceci contredit le fait que $M$ est un majorant de $(u_n)$. 

Le point (1) est démontré : $\lim_n u_n \leq M $.

A suivre

Dans un article futur, nous verrons quelques propriétés concernant les limites.  Elles nous permettrons de déterminer d'autres exemples de limites de suites.