Suites du type $u_{n+1}=au_n+b(n)$ (1) - un exemple

Dans cet article, nous commençons à nous intéresser à la résolution de l'équation aux différence $u_{n+1}=2u_n+n^2+1$, puis nous donnerons une méthode générale aux équations aux différence du type $u_{n+1}=au_n+b(n)$. Nous verrons que la résolution de telles équations revient à en exhiber une solution particulière. 

La méthode de recherche d'une solution particulière sera traitée dans prochain billet.

Commençons par un exemple

$$(1)\ \ \ \ u_{n+1}=2u_n+n^2+1$$

Cela consiste à trouver toutes les suites $(u_n)$ telles que pour tout $n\in\mathbb N$, $u_n$ vérifie $(1)$.

1) Recherche d'une solution particulière.

On cherche une solution particulière $(v_n)$ sous la forme d'un polynôme de degré 2, c'est-à-dire telle que pour tout entier naturel $n$,
$$v_n=c_2n^2+c_1n+c_0$$

On a $v_{n+1}=c_2(n+1)^2+c_1(n+1)+c_0$.

Donc $v_{n+1}=c_2(n^2+2n+1)+c_1(n+1)+c_0=c_2n^2+(2c_2+c_1)n+c_2+c_1+c_0$

Ainsi $(v_n)$ doit vérifier pour tout entier naturel $n$ :

$$c_2n^2+(2c_2+c_1)n+c_2+c_1+c_0=2(c_2n^2+c_1n+c_0 )+n^2+1$$

$$(-c_2-1)n^2+(2c_2-c_1)n+c_2+c_1+c_0-1=0$$

Ce polynôme en $n$ étant nul pour tout $n$, ses coefficients doivent être nuls (propriété qui sera peut-être démontré dans un article ultérieur), et $c_0,c_1,c_2$ doivent satisfaire le système suivant :
$$\left\{\begin{array}{rcl} -c_2-1 & = & 0 \\ 2c_2-c_1 & =& 0  \\ c_2+c_1+c_0-1 &=&0 \end{array} \right.$$
On obtient facilement
$$\left\{\begin{array}{rcl} -1 & = & c_2 \\ -2 & =& c_1  \\ -4 &=&c_0 \end{array} \right.$$
D'où la seule possibilité est $v_n=-n^2-2n-4$ ($n\in \mathbb N$).

On vérifie facilement que $(v_n)$ ainsi définie vérifie effectivement $v_{n+1}=2v_n+n^2+1$.

 2) Recherche de la solution générale

Cherchons maintenant toutes les solution de notre équation $(1)$.

$(u_n)$ est une solution si et seulement si pour tout $n\in\mathbb N$, $u_{n+1}-2u_n-n^2-1=0$.

Comme pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1}-2v_n-n^2-1=0$,
$(u_n)$ est une solution si et seulement si $$u_{n+1}-2u_n-n^2-1=v_{n+1}-2v_n-n^2-1$$
ce qui équivaut à
$$(\ast)\ \ \ \ v_{n+1}-u_{n+1}=2v_{n}-2u_{n}+n^2+1-(n^2+1)$$
En posant pour tout entier naturel $n$, $w_n=v_n-u_n$, on définit une nouvelle suite $(w_n)$. Une réécriture de $(u_n)$ solution de $(\ast)$ équivaut au fait que $(w_n)$ est une solution de
$$(0)\ \ \ \ w_{n+1}=2w_n$$
De manière équivalente, $(w_n)$ est une suite géométrique de raison $2$ et pour tout $n\in\mathbb N$, $w_n=c2^n$ avec $c=w_0=v_0-u_0=-4-u_0$.

On en déduit que les solutions de notre équation sont données
$$u_n=v_n-w_n=-n^2-2n-4-c\times 2^n$$
Dans ce cas $u_0=-4\times c$ d'où l'ensemble des solutions de $(1)$ est l'ensemble des suites $(u_n)$ telles que pour tout $n\in\mathbb N$ : $u_n=-n^2-2n-4+\frac{u_0}{4}\times 2^n$.

Une généralisation

Avant de passer à un autre exemple, faisons quelques remarques d'ordre général.

Tout d'abord, le fait d'avoir trouvé une solution particulière nous a aidé à trouvé la solution générale. (On pourra faire le parallèle avec les équations différentielles et les équations diophantiennes.)

En effet, indépendamment de l'exemple traité, si l'on dispose d'une suite $(v_n)$ solution particulière d'une équation
$$(E)\ \ \ \ \ u_{n+1}=au_n+b_n$$
ce qui se traduirait par $$(E_0)\ \ \ \ \ v_{n+1}=av_n+b_n.$$  

Résoudre $(E)$ reviendrait à résoudre
$$u_{n+1}-au_n-b_n=0=v_{n+1}-av_n-b_n$$
c'est à dire
$$(\ast)\ \ \ \ \ v_{n+1}-u_{n+1}=a(v_n-u_n)$$
Cela revient donc à résoudre l'équation
$$(E_h)\ \ \ \ \ w_{n+1}=aw_n$$
En effet $(w_n)$ définie pour tout $n\in\mathbb N$ par $w_n=v_n-u_n$ est une solution de $(E_h)$ si et seulement si $u_n$ est une solution de $(\ast)$, c'est-à-dire une solution de $(E)$.

On a donc la propriété suivante

Propriété (Solution des équations du type $u_{n+1}=au_n+b_n$, avec $a\neq 0$).

 
On suppose que $a\neq 0$.

Les solutions de l'équation du type
$$(E)\ \ \ \ \ u_{n+1}=au_n+b_n$$
sont les suites $(u_n)$ définie par $u_n=v_n-a^n c$, où $c$ est un nombre réel (ou complexe) quelconque, et où $(v_n)$ est une solution particulière de l'équation
$u_{n+1}=au_{n+1}+b_n$.

On appelle l'équation
$$(E_h)\ \ \ \ \ u_{n+1}=au_n,$$ l'équation homogène associée à $(E)$ (l'équation non homogène).

 

Remarque 1.
 Si $u_n=v_n-a^n c$ est une solution de $(E)$, alors $\frac{v_0-u_0}{a}=c$.
 Donc $u_n=v_n-a^n \frac{v_0-u_0}{a}$
 

Remarque 2. Si $b_n=b$ est une constante, on retrouve le résultat sur les suites arithmético-géométrique où pour tout $n\in \mathbb N$, $v_n=s$, $s=\frac{b}{1-a}$ étant le point fixe de la fonction $f(x)=ax+b$.


Preuve.
Il nous reste à montrer que la suite $(w_n)$ vérifie pour tout $n\in\mathbb N$, $w_n=a^n c$. C'est clair, car d'après $(E_h)$, $(w_n)$ est géométrique de raison $a$.




Comme dans l'article Suites arithmético-géométriques (3), cela nous permettra de fabriquer des exercices types sur les suites de ce type. On pourra même générer ces exercices de manière automatique.

Pour cela, nous aurons besoin d'une méthode nous permettant de trouver de manière systématique des solutions particulières de $(E)$. C'est ce que nous ferons dans un prochain article.

Aussi, nous pourrons voir dans un autre billet comment cette méthode de résolution est générale : ajouter une solution particulière aux solutions générales d'une équation plus simple. 

C'est le cas des équations différentielles et des équations diophantiennes.