Toute suite convergente est bornée, somme et produit de suites convergentes, inverse d'une suite convergente

Dans cet artcile, nous verrons que toute suite réelle convergente est bornée. Ensuite nous verrons que :

• le somme de deux suites convergentes converge vers la somme de leurs limites
• le produit de deux suites convergentes converge vers la somme de leurs limites
• l'inverse (dans un sens qui sera défini) d'une suite convergente vers un réel non-nul converge vers l'inverse de sa limite.   

On utilisera beaucoup la valeur absolue dans cet article.

Toute suite convergente est bornée

Propriété 0. Si $(u_n)$ est une suite convergente, alors elle est bornée.

Démonstration. Soit $x=\lim_n u_n$. Par définition de la limite, pour $\varepsilon=1$, il existe $N=N_1$ tel que si $n\geq N$, alors $x-1<u_n<x+1$.

Soit $E=\left\{u_0,u_1,\ldots,u_N\right\}$. Cet ensemble est fini, il comporte $N+1$ éléments. On note $a=\min E$ et $b=\max E$.

Pour tout entier naturel $n\leq N$, on a $a\leq u_n \leq b$.

Pour tout entier naturel $n>N$, on a  $x-1<u_n<x+1$.

Notons $m=\min(a,x-1)$ et $M=\max(b,x+1)$. 

Pour tout entier naturel $n$, on a donc $m\leq u_n \leq M$.

Ceci prouve que $(u_n)$ est bornée.

Somme et produit de suites réelles et études de leur limites lorsqu'elles convergent

Si $u=(u_n)$ et $w=(w_n)$ sont deux suites :

(a) on note $uw$ la suite de terme général $u_nw_n$ ; c'est le produit des suites $(u_n)$ et $(w_n)$

(b) on note $u+w$ la suite de terme général $u_n+w_n$ la somme des suites $(u_n)$ et $(w_n)$

(c) si $\lambda $ est un réel, la suite $\lambda u$ est la suite de terme général $\lambda u_n$

Propriété 1.

Si $u=(u_n)$ et $w=(w_n)$ sont deux suites convergeant respectivement vers $x$ et $y$, alors :

(1.a) La suite $uw$ converge et sa limite est $xy$

(1.b) la suite $u+w$ converge et sa limite est $x+y$

(1.c) si $\lambda $ est un réel, alors la suite $\lambda u$ converge et sa limite est $\lambda x$.

Démonstration. 

Pour tout $\alpha>0$, par définition de la convergence de la suite $u$, il existe $N=N_{\alpha,u}$ tel que pour tout $n>N$ :

$$(1)\ \ \ \left| u_n-x\right|<\alpha $$

 Pour tout $\beta>0$, par définition de la convergence de la suite $u$, il existe $N'=N'_{\beta,w}$ tel que pour tout $n>N'$ :

$$(2)\ \ \ \left|w_n -y\right|<\beta $$

• Commençons par démontrer le résultat (1.a).

Pour tout entier naturel $n$, on a d'après l'inégalité triangulaire : 

$$\left|u_nw_n -xy\right|=\left|u_nw_n-u_ny+u_ny-xy \right|\leq \left|u_nw_n -u_ny \right| + \left|u_ny-xy\right|\leq \left|u_n \right|\left|w_n-y \right|+\left|u_n-x \right| \left|y \right|$$

Comme $(u_n)$ est convergente, elle est bornée, donc il existe $M$ tel que $\left|u_n \right|\leq M$. 

Soit $\varepsilon>0$. Prenons $\alpha=\frac 1 4\frac{\varepsilon}{\left| y \right|+1} $ et $\beta=\frac 1 4\frac \varepsilon {M+1} $.

 

Soit $P=N+N'+1$. Comme $P>N$ et $P>N'$, on en déduit que

$$(1)\ \ \ \left| u_n-x\right|<\frac 1 2\frac{\varepsilon}{\left| y \right|+1} $$

et

$$(2)\ \ \ \left|w_n -y\right|<\frac 1 2\frac \varepsilon {M}$$

Ainsi 

$$\left|u_nw_n -xy\right|\leq \frac 1 2\frac \varepsilon {M} {\left|u_n \right|} +\frac 1 2\frac{\varepsilon}{\left| y \right|+1} {\left|y \right|}  $$

Comme $0\leq \left| u_n \right|\leq M<M+1$, on a $\frac{\left| u_n \right|}{M+1}<1$ et comme $\left| y \right| +1>\left| y \right|\geq 0$, on a $\frac{\left| y \right|}{\left| y \right| +1}<1$, ainsi

$$\left|u_nw_n -xy\right|< \frac 1 2  \varepsilon  +\frac 1 2\varepsilon < \varepsilon $$

Pour tout $\varepsilon$, on a donc déterminé $P=P_\varepsilon$, tel que $n\geq P$ implique $\left|u_nw_n -xy\right|< \varepsilon $.

Le résultat (1.a) est donc démontré.

• Démontrons maintenant le résultat (1.b).

D'après l'inégalité triangulaire, pour tout entier naturel $n$, on a :

$$\left|u_n+w_n-(x+y) \right|= \left|u_n-x+w_n-y \right|\leq \left|u_n-x\right|+ \left|w_n-y \right|<\alpha+\beta$$

Soit $\varepsilon>0$.

En prenant $\alpha=\beta=\frac{\varepsilon}{2}$ et $P_\varepsilon=P=N+N'+1$, on a pour tout $n\geq P$ : 

$$\left|u_n+w_n-(x+y) \right|<\frac \varepsilon 2 +\frac \varepsilon 2<\varepsilon$$

On a donc démontré le résultat (1.b).

• Démontrons maintenant le résultat (1.c).

Soit $\varepsilon>0$.

En prenant $\alpha=\frac{\varepsilon}{2+\left|\lambda \right|}$, on a pour tout $n\geq N$, 

$$(1)\ \ \ \left| u_n-x\right|<\frac{\varepsilon}{1+\left|\lambda \right|}  $$

On en déduit que 

$$\left|\lambda u_n-\lambda x\right|=\left|\lambda \right|  \left|  u_n-  x\right| <\left|\lambda \right|\frac{\varepsilon}{1+\left|\lambda \right|}<   \varepsilon $$

car $0\leq\left|\lambda \right|<\left|\lambda \right|+1$

On peut donc trouver $N=N_\varepsilon$ tel que $n>N$ implique $\left|\lambda u_n-\lambda x\right|<\varepsilon$. 

Le point (1.c) est donc démontré.

Exemple. Pour tout  nombre entier naturel $k$, $$\lim_n \frac 1 {n^k} = 0$$

Démonstration. 

La suite $(u_n)$ définie par $u_n=\frac 1 n$ converge vers $0$ comme on peut le voir dans cet article. 

Définissons une famille de propriétés $$(\mathcal P_k)$$ indexée par $k\in\mathbb N$:

$$\mathcal P_k\ : \ \ \ \lim_n \frac 1 {n^k} = 0$$

Nous allons montrer que : $\forall k\in\mathbb N$.

Nous venons de dire que $\mathcal P_0$ est vérifiée. Autrement dit, la famille de propriétés $(\mathcal P_k)$ est initialisée.

Supposons $\mathcal P_k$ pour un certain $k$. 

D'après la propriété 1, en prenant $u_n=\frac 1 n$ et $w_n=\frac 1 {n^k}$, on en déduit que $(u_nw_n)$ converge vers $0\times 0$. Autrement dit  

$$\lim_n \frac 1 {n^{k+1}} = \left(\lim_n \frac 1 n\right) \left(\lim_n \frac 1 {n^k}\right)=0\times 0=0$$

C'est $\mathcal P_{k+1}$

Ainsi le famille de propriétés $(\mathcal P_k)$ est héréditaire.

On en déduit que pour tout $k\in\mathbb N$, $\lim_n \frac 1 {n^k} = 0$.

Inverse des suites convergentes

Etant donnée uine suite, on ne peut pas toujours former la suite des éléments inverses car certains termes peuvent être nulles. Néanmoins dans le cas des suites convergentes, on peut s'assurer qu'à partir d'un certain rang, les termes sont non-nuls. 

Dans ce cas on pourra déterminer la limites de la suites composée de ces termes inverses à partir de ce rang.

Propriété 2. Soit $(u_n)$ une suite convergent vers $x$, avec $x\neq 0$, alors : 

(1) il existe un range $r$ tel que $\forall n \geq r$, $u_n\neq 0 $

(2) la limite $\lim_n \frac{1}{u_n} $ existe et vaut $\frac 1 x $.

Démonstration. 

On suppose tout d'abord que $x>0$. 

(1) Soit $\varepsilon=\frac {x} 2 $, il existe un entier $N=N_\varepsilon$, tel que $ \forall n\geq r$, $-\frac {x }2=-\varepsilon<u_n-x<\varepsilon=\frac {x} 2 $. Pour $n\geq r $, on a donc $0<\frac x 2< u_n <\frac {3x}2 $.

(2)

Soit $\alpha >0 $, on veut montrer qu'il existe un entier $K>0$ tel que $n\geq K$ implique 

$$\left| \frac{1}{u_n}-\frac{1}{x} \right|< \alpha$$

Soit $\eta>0 $, il existe $N=N_{\eta}$ tel que $n\geq N$, $x-\eta<u_n<x+\eta $. Prenons, $M=N+r+1$ ($M>N $ et $N>r$). On a 

$u_n>0 $. 

Prenons $\eta<\frac {\alpha x^2} {2}$.

Pour le même $r$ qu'au (1), on a pour $n\geq r $, $\left| u_n\right| >\left| \frac x 2\right|$ et

$$\frac{1}{u_n}-\frac{1}{x}=\frac{x-u_n}{xu_n} $$

Donc 

$$\left| \frac{1}{u_n}-\frac{1}{x}\right|= \left|\frac{x-u_n} {xu_n}\right|< \left|\frac{x-u_n}{x}\right| \left|\frac{2}{x}\right|$$

Pour $K=N+r+1$, on a $K>N$ et $K>r$. 

Prenons $n\geq K$, on a d'après l'inégalité précédente 

$$\left| \frac{1}{u_n}-\frac{1}{x}\right|< \left|x-u_n\right| \frac{2}{x^2}<\frac{\alpha x^2}2 \frac{2}{x^2}=\alpha$$

La preuve est faite dans le cas où $x>0$. 

Si $x<0$, il suffit de considérer la suite $(-u_n)$ pour se ramener au cas démontré.

En combinant le (2) de la propriété 2 ci-dessus et le (1.a), nous obtenons la propriété ci-dessous.

Propriété 3. 

Soit  $(w_n)$ et $(u_n)$  deux suites convergeant respectivement vers $y$ et $x$, avec $x\neq 0$, alors : 

(1) il existe un range $r$ tel que $\forall n \geq r$, $u_n\neq 0 $

(2) la limite $\lim_n \frac{w_n}{u_n} $ existe et vaut $\frac y x $.

A suivre

Dans un prochain article, nous verrons que si une suite est bornée et strictement monotone, alors elle converge.