Dans cet artcile, nous verrons que toute suite réelle convergente est bornée. Ensuite nous verrons que :
- le somme de deux suites convergentes converge vers la somme de leurs limites
- le produit de deux suites convergentes converge vers la somme de leurs limites
- l'inverse (dans un sens qui sera défini) d'une suite convergente vers un réel non-nul converge vers l'inverse de sa limite.
Toute suite convergente est bornée
Propriété 0. Si (u_n) est une suite convergente, alors elle est bornée.
Démonstration. Soit x=\lim_n u_n. Par définition de la limite, pour \varepsilon=1, il existe N=N_1 tel que si n\geq N, alors x-1<u_n<x+1.
Soit E=\left\{u_0,u_1,\ldots,u_N\right\}. Cet ensemble est fini, il comporte N+1 éléments. On note a=\min E et b=\max E.
Pour tout entier naturel n\leq N, on a a\leq u_n \leq b.
Pour tout entier naturel n>N, on a x-1<u_n<x+1.
Notons m=\min(a,x-1) et M=\max(b,x+1).
Pour tout entier naturel n, on a donc m\leq u_n \leq M.
Ceci prouve que (u_n) est bornée.
Somme et produit de suites réelles et études de leur limites lorsqu'elles convergent
Si u=(u_n) et w=(w_n) sont deux suites :
(a) on note uw la suite de terme général u_nw_n ; c'est le produit des suites (u_n) et (w_n)
(b) on note u+w la suite de terme général u_n+w_n la somme des suites (u_n) et (w_n)
(c) si \lambda est un réel, la suite \lambda u est la suite de terme général \lambda u_n
Propriété 1.
Si u=(u_n) et w=(w_n) sont deux suites convergeant respectivement vers x et y, alors :
(1.a) La suite uw converge et sa limite est xy
(1.b) la suite u+w converge et sa limite est x+y
(1.c) si \lambda est un réel, alors la suite \lambda u converge et sa limite est \lambda x.
Démonstration.
Pour tout \alpha>0, par définition de la convergence de la suite u, il existe N=N_{\alpha,u} tel que pour tout n>N :
(1)\ \ \ \left| u_n-x\right|<\alpha
Pour tout \beta>0, par définition de la convergence de la suite u, il existe N'=N'_{\beta,w} tel que pour tout n>N' :
(2)\ \ \ \left|w_n -y\right|<\beta
- Commençons par démontrer le résultat (1.a).
Pour tout entier naturel n, on a d'après l'inégalité triangulaire :
\left|u_nw_n -xy\right|=\left|u_nw_n-u_ny+u_ny-xy \right|\leq \left|u_nw_n -u_ny \right| + \left|u_ny-xy\right|\leq \left|u_n \right|\left|w_n-y \right|+\left|u_n-x \right| \left|y \right|
Comme (u_n) est convergente, elle est bornée, donc il existe M tel que \left|u_n \right|\leq M.
Soit \varepsilon>0. Prenons \alpha=\frac 1 4\frac{\varepsilon}{\left| y \right|+1} et \beta=\frac 1 4\frac \varepsilon {M+1} .
Soit P=N+N'+1. Comme P>N et P>N', on en déduit que
(1)\ \ \ \left| u_n-x\right|<\frac 1 2\frac{\varepsilon}{\left| y \right|+1}
et
(2)\ \ \ \left|w_n -y\right|<\frac 1 2\frac \varepsilon {M}
Ainsi
\left|u_nw_n -xy\right|\leq \frac 1 2\frac \varepsilon {M} {\left|u_n \right|} +\frac 1 2\frac{\varepsilon}{\left| y \right|+1} {\left|y \right|}
Comme 0\leq \left| u_n \right|\leq M<M+1, on a \frac{\left| u_n \right|}{M+1}<1 et comme \left| y \right| +1>\left| y \right|\geq 0, on a \frac{\left| y \right|}{\left| y \right| +1}<1, ainsi
\left|u_nw_n -xy\right|< \frac 1 2 \varepsilon +\frac 1 2\varepsilon < \varepsilon
Pour tout \varepsilon, on a donc déterminé P=P_\varepsilon, tel que n\geq P implique \left|u_nw_n -xy\right|< \varepsilon .
Le résultat (1.a) est donc démontré.
- Démontrons maintenant le résultat (1.b).
D'après l'inégalité triangulaire, pour tout entier naturel n, on a :
\left|u_n+w_n-(x+y) \right|= \left|u_n-x+w_n-y \right|\leq \left|u_n-x\right|+ \left|w_n-y \right|<\alpha+\beta
Soit \varepsilon>0.
En prenant \alpha=\beta=\frac{\varepsilon}{2} et P_\varepsilon=P=N+N'+1, on a pour tout n\geq P :
\left|u_n+w_n-(x+y) \right|<\frac \varepsilon 2 +\frac \varepsilon 2<\varepsilon
On a donc démontré le résultat (1.b).
- Démontrons maintenant le résultat (1.c).
Soit \varepsilon>0.
En prenant \alpha=\frac{\varepsilon}{2+\left|\lambda \right|}, on a pour tout n\geq N,
(1)\ \ \ \left| u_n-x\right|<\frac{\varepsilon}{1+\left|\lambda \right|}
On en déduit que
\left|\lambda u_n-\lambda x\right|=\left|\lambda \right| \left| u_n- x\right| <\left|\lambda \right|\frac{\varepsilon}{1+\left|\lambda \right|}< \varepsilon
car 0\leq\left|\lambda \right|<\left|\lambda \right|+1
On peut donc trouver N=N_\varepsilon tel que n>N implique \left|\lambda u_n-\lambda x\right|<\varepsilon.
Le point (1.c) est donc démontré.
Exemple. Pour tout nombre entier naturel k, \lim_n \frac 1 {n^k} = 0
Démonstration.
La suite (u_n) définie par u_n=\frac 1 n converge vers 0 comme on peut le voir dans cet article.
Définissons une famille de propriétés (\mathcal P_k) indexée par k\in\mathbb N:
\mathcal P_k\ : \ \ \ \lim_n \frac 1 {n^k} = 0
Nous allons montrer que : \forall k\in\mathbb N.
Nous venons de dire que \mathcal P_0 est vérifiée. Autrement dit, la famille de propriétés (\mathcal P_k) est initialisée.
Supposons \mathcal P_k pour un certain k.
D'après la propriété 1, en prenant u_n=\frac 1 n et w_n=\frac 1 {n^k}, on en déduit que (u_nw_n) converge vers 0\times 0. Autrement dit
\lim_n \frac 1 {n^{k+1}} = \left(\lim_n \frac 1 n\right) \left(\lim_n \frac 1 {n^k}\right)=0\times 0=0
C'est \mathcal P_{k+1}
Ainsi le famille de propriétés (\mathcal P_k) est héréditaire.
On en déduit que pour tout k\in\mathbb N, \lim_n \frac 1 {n^k} = 0.
Inverse des suites convergentes
(1) il existe un range r tel que \forall n \geq r, u_n\neq 0
(2) la limite \lim_n \frac{1}{u_n} existe et vaut \frac 1 x .
(1) il existe un range r tel que \forall n \geq r, u_n\neq 0
(2) la limite \lim_n \frac{w_n}{u_n} existe et vaut \frac y x .
A suivre
Dans un prochain article, nous verrons que si une suite est bornée et strictement monotone, alors elle converge.
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