De $\mathbb N$ à $\mathbb Z$

Cet article fait suite aux articles sur la construction de $\mathbb N$ :

• [N1] $\mathbb N$ (1). Définition de l'ensemble des entiers naturels. Axiomes de Peano. Récurrence.
• [N2] $\mathbb N$ (2) Addition des nombres entiers naturels.
• [N3] $\mathbb N$ (3). La multiplication.
• [N4] $\mathbb N$ (4). Relation d'ordre $\leq$.
• [N5] $\mathbb N$ (5) Minimum d'un ensemble d'entiers naturels
• [N6] $\mathbb N$ (6) : Soustraction et division euclidienne 

A partir de l'ensemble $\mathbb N$ des entiers naturels, nous allons construire $\mathbb Z$, l'ensemble des entiers relatifs.

Dans cet article, nous définissons l'ensemble des entiers relatifs $\mathbb Z$. 

Sur cet ensemble, on prolonge les opérations $+$ (addition), $\times$ (multiplication) de $\mathbb N$ et la relation d'ordre $\leq$. 

On y démontre aussi les propriétés concernant l'addition et de la multiplication qui font de $\mathbb Z$ un anneau.

Les éléments de $\mathbb Z$

Pour chaque élément $a\in \mathbb N$, on ajoute $-a$ à $\mathbb N$. 

On note $-\mathbb N^\star=\left\{-a \ | \ a\in \mathbb N,\ a\neq 0  \right\}$. 

Si $a'=-a\in -\mathbb N^\star$, on note $-a'=-(-a)=a\in\mathbb N$.

Puis on définit 

$$\mathbb Z=-\mathbb N^\star \cup \mathbb N$$

Un élément de $\mathbb Z$ est donc soit un élément de $\mathbb N$ (entier naturel) soit un élément de $-\mathbb N^\star$, auquel cas on dira que c'est un entier strictement négatif.

On note $-\mathbb N=\left\{-a \ | \ a\in \mathbb N  \right\}$. C'est l'ensemble des entiers négatifs. 

$O$ est par définition le seul élément de $\mathbb Z$ à la fois positif et négatif.

Si $a=-b$, avec $b\in\mathbb N$ on note $-a=b$.

Extension de l'addition et de la multiplication

On note $+_{\mathbb N}$, $-_{\mathbb N}$, $\times_{\mathbb N}$ l'addition, la soustraction et la multiplication de $\mathbb N$.

Sur cet ensemble $\mathbb Z$, nous allons maintenant étendre l'addition et la multiplication de $\mathbb N$ de la façon suivante :

 Addition : On définit $+$ sur $\mathbb Z$ comme suit

• Si $a,b\in\mathbb N$, $a+b=a+_{\mathbb N}b$ Si $a,b\in\mathbb N$ (rien de nouveau)
• Si $a\in \mathbb N$ et $b\in -\mathbb N^\star$, avec $b=-b'$, il y a deux cas 

• Si $b'<a$, $a+b=a_{\mathbb N}-b'$ (on obtient un élément de $\mathbb N$ )
• Si $b'\geq a$, $a+b=-(b'-_{\mathbb N}a)$ (on obtient un élément de $-\mathbb N^\star$ )
• Si $a\in  -\mathbb N^\star$ et $b\in \mathbb N$, on se ramène au cas précédent en définissant $a+b=b+a$

• Si $a\in -\mathbb N^\star$ et $b\in -\mathbb N^\star$, avec $a=-a'$ et $b=-b'$, on définit $a+b=-(a'+_{\mathbb N}b')$

Soustraction : Pour tous $a,b$ éléments de $\mathbb Z$, on définit $a-b=a+(-b)$.

Remarques. 

1.  Si $a\geq b\geq 0$, on a bien $a-b=a-_{\mathbb N}b$.
   De plus, par définition $a+(-b)=a-b$. 
2. On a $-(a+b)=(-a)+(-b)$.
   En effet, $(-a)+(-b)=-(-(-a)+-(-b))=-(a+b)$. 

Propriété 1.
$a+b\in - \mathbb N$ si et seulement si $a\leq -b$ dans $\mathbb N$.

Preuve. Il suffit de regarder la définition de l'addition.

Multiplication : On définit $\times$ sur $\mathbb Z$ comme suit

 

1. Si $a,b\in\mathbb N$, $a\times b=a\times_{\mathbb N} b$ Si $a,b\in\mathbb N$ (rien de nouveau)
2. Si $a\in \mathbb N$ et $b\in -\mathbb N^\star$, avec $b=-b'$,  on définit : $a\times b=-\left(a\times _{\mathbb N}b'\right)$ (on obtient un élément de $-\mathbb N$ ) 
3. Si  $a\in -\mathbb N^\star$ et $b\in \mathbb N$, avec $a=-a'$,  on définit : $a\times b=b\times a$ (on se ramène au cas précédent) 
4. Si $a\in -\mathbb N^\star$ et $b\in -\mathbb N^\star$, avec $a=-a'$ et $b=-b'$, on définit

$$a\times b=a'\times_{\mathbb N}b'$$

 

Ordre sur $\mathbb Z$

On note $\leq_{\mathbb N}$ la relation d'ordre inférieur ou égale définie sur $\mathbb N$.

• Si $a,b$ sont dans $\mathbb N$, alors on définit $a\leq b$ si et seulement si $a\leq_{\mathbb N} b$
• Si $a\in -\mathbb N$ et $b\in \mathbb N^\star$, alors $a\leq b$
• Si  $a\in -\mathbb N$ et  $b\in -\mathbb N$, alors $a\leq b$ si et seulement si $-b \leq -a$.

Si $a\leq b$, on dit que $a$ est inférieur ou égal à $b$.

Si $a\leq b$ et $a\neq b$, on dit que $a$ est strictement inférieur à $b$, et on note $a<b$.

Remarque. 

• $x\in \mathbb N$ si et seulement si $0\leq x$
• $x\in -\mathbb N$ si et seulement si $x\leq 0$
• Pour tous $a,b$ dans $\mathbb Z$, $a\leq b\Longleftrightarrow -a \geq -b$.

 

Si $a\leq b$, on note $b\leq a$. On dit alors que $b$ est supérieur ou égal à $a$.

Si $a<b$, on note $b>a$. On dit alors que $b$ est strictement supérieur à $a$.

Propriété $\alpha$.

Les relations $\leq$ et $\geq$ sont transitives.

Preuve.

Il suffit de le montrer pour $\leq$. 

Supposons $a\leq b$ et $b \leq c$. 

Il a plusieurs cas possibles :

• Cas où $a\leq 0$, $b\leq 0$, $c\leq 0$. Alors $-b\leq -a$ et $-c\leq -b$ dans $\mathbb N$. Comme $\leq_{\mathbb N}$ est transitive, on en déduit $-c\leq_{\mathbb N} -a$. Ainsi $a\leq c$.     
• Cas où $a\leq 0$, $b \leq 0$, $c\geq 0$. Comme  $a\leq 0$ et  $c\geq 0$, on a $a\leq c$.
• Cas où $a\leq 0$, $b \geq 0$, $c\geq 0$. Comme  $a\leq 0$ et  $c\geq 0$, on a $a\leq c$.
• Cas $a\geq 0$, $b\geq 0$, $c\geq 0$. Comme $\leq_{\mathbb N}$ est transitive dans $\mathbb N$, on a $a \leq c$.

Propriété A.

Si $a\geq 0$, alors $a+b\geq b$ et si $a\leq 0$, alors $a+b\leq b$.

Preuve. 

• 1. Cas $a\geq 0$.

• (a)Si $b\geq 0$, on connaît déjà le résultat. 
• (b)Si $b\leq 0$, c'est-à-dire si $-b\geq 0$. 

•  si $0\leq -b \leq a$, alors $a+b\geq 0 \geq b$  car $a+b\geq 0 \Longleftrightarrow a\geq -b$. 
• si $0\leq a < -b$, alors $a+b=-(-b-a)$. 
  On a $-b-a<-b$ dans $\mathbb N$ donc $a+b=-(-b-a)>-(-b)=b$ (dans $-\mathbb N$).    
• 2. Cas $a\leq 0$. On pose $a'=-a$ et $b'=-b$. On a donc $a+b=-a'+(-b')=-(a'+b')$.

Comme $a'\geq 0$, on a $a'+b'\geq b'$ d'après le cas précédent. Donc $-(a'+b')\leq -b'$, c'est-à-dire $a+b\leq b$. 

Propriété B.

Si $a+b=a'+b$, alors $a=a'$.

Preuve. 

En effet, si $a$, $a'$ et $b$ sont positifs, on connaît déjà ce résultat.

Si $a,a',b$ sont négatifs, on a $a+b=-(-a+(-b))=-(-a'+(-b))=a'+b$.

Une propriété sur la soustraction dans $\mathbb N$

Dans cette partie $-$ représente la soustraction dans $\mathbb N$.

Propriété $\beta$. 

Soit $a,b,c$ trois entiers naturels. 

    (1) Si $c\leq b$ et $c\leq a$, alors 

     $$(a+b)-c=a+(b-c)=(a-c)+b$$

    (2) Si $b+c\leq a$ alors 

     $$(a-b)-c=(a-c)-b=a-(b+c)$$

Démonstration. 

    (1) C'est la propriété 4.b de l'article  [N6]. 

    (2) On sait que $(a-b)+b=a$ donc $((a-b)+b)-c)=a-c$.

    D'après la propriété [Sous- Prop 4(b)], on a donc  $((a-b)-c)+b=a-c$. Ainsi $(a-b)-c=(a-c)-b$.

Une propriété sur la multiplication dans $\mathbb Z$

Propriété M.

Pour tous $a,b$ dans $\mathbb Z$, on a 

$$(-a)\times(-b)=a\times b$$

En particulier $ab$ est positif ou nul si et seulement si $a$ et $b$ sont tous les deux positifs ou nuls ou tous les deux négatifs ou nuls (de même signe).

Preuve. 

4 cas sont possibles.

1. Si $a$ et $b$ sont négatifs ou nuls. Alors $a\times b =(-a)\times_{\mathbb N}(-b)=(-a)\times(-b)$.
2. Si $a$ et $b$ sont positifs ou nuls. Alors d'après le cas précédent, $-a$ et $-b$ sont négatifs donc $(-(-a))\times(-(-b))=(-a)\times (-b)$ d'où $a\times b =(-a)\times(-b)$ car $-(-a)=a$ et $-(-b)=b$.
3. Si $a$ et positif ou nul et $b$ négatif ou nul, on a $a\times b = -(a\times_{\mathbb N}(-b))$. On a aussi puisque $-a$ est négatif et $-b$ positif, $(-a)\times (-b)=-(-(-a) \times_{\mathbb N} (-b))=-(a\times_{\mathbb N} (-b))$. Ainsi $a \times b = (-a)\times (-b)$.
4. De la même façon, en inversant les rôles de $a$ et $b$, si $a$ est négatif ou nul et si $b$ est positif ou nul, on obtient $a\times b = (-a)\times (-b)$.

Propriétés de $+$

Commutativité

Propriété 1.

Pour tous $a,b$ de $\mathbb Z$, on a $a+b=b+a$.

Preuve.

Si $a,b$ sont tous les deux positifs ou tous les deux négatifs, la commutativité de $+_{\mathbb N}$ permet de conclure.

Si $a\geq 0$ et $b<0$, alors $b+a=a+b$ par définition (puisque $b\in-\mathbb N^\star$ et $a\in \mathbb N$.

Remarques.

1. On a $-a+b=b-a$. 
   En effet $-a+b=b+(-a)=b-a$. 
2. On a $-(a-b)=-a+b$. 
   En effet $-(a-b)=-(a+(-b))=-a-(-b)=-a+(-(-b))=-a+b$.

 

Associativité

Propriété 2. 

Soient $a,b,c$ des éléments de $\mathbb Z$, alors 

$$(a+b)+c=a+(b+c)$$

Démonstration. 

(1) Si $a,b,c$ sont dans $\mathbb N$, alors $(a+b)+c=a+(b+c)$ car $+$ coïncide avec $+_\mathbb{N}$.

(2) Si $a,b$ sont dans $\mathbb N$ et $c\in -\mathbb N$.

(2.a) Si $b\geq -c$, alors d'aprèsla propriété $\beta 1$, 

  $$(a+b)-_{\mathbb N}(-c)=a+(b-_{\mathbb N}(-c))=a+(b-_{\mathbb N}(-c))=a+(b+c)$$  

(2.b) Si $b\leq -c$, on a $b+c=-(-c-_{\mathbb N} (-b))\in -\mathbb N$. On note $d=b+c$.

On veut calculer $a+d=d+a$.  

 (2.b.i) Cas où $a< -d$. Alors $$a+d=-(-d-_{\mathbb N}a)=-((-c-_{\mathbb N} (-b))-_{\mathbb N}a )=-((-c-_{\mathbb N} (-b))-_{\mathbb N}a )=-(-c-_{\mathbb N}(a-_{\mathbb N} (-b))$$  

Ainsi d'après la propriété $\beta$ 

$$a+(b+c)=a+d=-(-c-_{\mathbb N}(a-_{\mathbb N} (-b))=c+(a+b)=(a+b)+c$$

(2.b.ii)Cas où $a\geq -d$. Alors d'après la propriété $\beta$ 

$$a+(b+c)=a+d=a-_{\mathbb N}(-d)=a-_{\mathbb N}(-(b+c))=a-_{\mathbb N}(-c-_{\mathbb N} (-b))=(a-_{\mathbb N}(-b))-_{\mathbb N}(-c)=(a+b)+c$$

(3) Si $a\in \mathbb N$ et $b,c$ sont dans $-\mathbb N$. On note $a'=-a$, $b'=-b$, $c'=-c$. On a $a-\in -\mathbb N$ et $b',c'$ sont dans $\mathbb N$. D'après le cas précédent $(c'+b')+a'=c'+(b'+a')$ donc $a'+(b'+c')=c'+(a'+b')=(a'+b')+c'$.

 Ainsi $-a+(-b-c)=(-a-b)+(-c)$. On en déduit $a-(-b-c)=-(-a-b)-(-c)$ puis $a+(b+c)=(a+b)+c$.

(4) $a,b,c$ sont dans $-\mathbb N$, alors puisque $-a,-b,-c$ sont dans $\mathbb N$, d'après le cas 1., $a'+(b'+c')=(a'+b')+c'$. En utilisant le même raisonnement que dans le cas 3., on en déduit $a+(b+c)=(a+b)+c$.

    

0 élément neutre

Pour tout $n\in\mathbb Z$, on a $-n+n=n+(-n)=0$. De plus par construction, $-n$ est l'unique nombre $m$ tel que $m+n=n+m=0$.

Pour tout $a\in\mathbb Z$, on a $0+a=a+0=n$.

Groupe $\mathbb Z$

$\mathbb Z$ muni de l'addition est donc un groupe commutatif.

En effet 

• $0$ est l'élément neutre.
• Pour tout $a\mathbb Z$, il existe un unique opposé $-a$
• $+$ est associative
• $+$ est commutative

Propriétés de $\times$

Commutativité

De la façon dont a été défini la multiplication (4 cas possibles), on vérifie que pour tous $a$,$b$, on a $a\times b=b\times a$.

La multiplication est donc commutatif dans $\mathbb Z$.

Dans la suite on omettra le symbole $\times$ dans la multiplication dans $\mathbb Z$, et on notera $ab=a\times b$.

Associativité

Pour tous $a,b,c$ dans $\mathbb Z$, on a 

$$a(bc)=(ab)c$$

Preuve.

1. Si $a,b,c$ sont positifs ou nuls, la multiplication coïncide avec la multiplication de $\mathbb N$ donc $a(bc)=(ab)c$.
2. Si $a,b$ sont positifs ou nuls et $c$ est négatif ou nul, on a $ab$ positif et
   $$(ab)c=-\left((a\times_{\mathbb N}b)\times_{\mathbb N} (-c)\right)=-\left(a\times_{\mathbb N}(b\times_{\mathbb N} (-c)\right)$$
   On a aussi $bc\leq 0$ donc $a(bc)=-\left(a\times_{\mathbb N}(-(bc)) \right)=-\left(a\times_{\mathbb N}(b\times_{\mathbb N}(-c)) \right)=(ab)c$ car $bc=-b\times_{\mathbb N} (-c)$ d'où $-bc=b\times_{\mathbb N} (-c)$.
3. Si $a$ est positif ou nul et $b,c$ sont négatifs ou nuls, on a $bc=(-b)\times_{\mathbb N} (-c)$ positif. On a donc puisque $-b$ et $-c$ sont positifs ou nuls,
   $$a(bc)=a\times_{\mathbb N} ((-b)\times_{\mathbb N} (-c))=(a\times_{\mathbb N}(-b))\times_{\mathbb N} (-c)$$
   Or $ab=-(a\times_{\mathbb N}(-b))$ donc $a\times_{\mathbb N}(-b)=-ab$ puis comme $c=-(-c)$, on a $$(a\times_{\mathbb N}(-b))\times_{\mathbb N} (-c)=(-ab)\times_{\mathbb N} (-c)=(ab)c$$
4. Si $a,b,c$ sont négatifs ou nuls, on a $a(bc)=a((-b)\times_{\mathbb N}(-c))$. Comme $(-b)\times_{\mathbb N}(-c)=(-b)(-c)$ est positif, on a $a(bc)=-\left((-a)((-b)(-c))\right)$.
   D'après le cas 1., $(-a)((-b)(-c))=((-a)(-b))(-c)$. Par ailleurs, d'après la propriété M, $(ab)c=-\left((ab)(-c\right))=-\left(((-a)(-b))(-c\right))$. On en déduit l'égalité $a(bc)=(ab)c$.   

1 élément neutre

Pour tout $x\in \mathbb Z$, on a $1\times x=x\times 1=x$.

Distributivité de $\times$ par rapport à $+$

Soient $a,b,c$ dans $\mathbb Z$. On a 

$$a(b+c)=ab+ac$$

Démonstration. 

On aura en mémoire les égalités de $\mathbb N$ : $a(b+c)=ab+ac$ et, pour $b\geq c$,  $a(b-c)=ab-ac$. 

(1) Cas où $a\geq 0$.

(1a). Cas où $b\geq 0$ et $c\geq 0$. C'est le cas où l'addition et la multiplication coïncident avec celles de $\mathbb N$, donc il n'y a rien à montrer.

(1b).Cas où $b\geq 0$ et $c\leq 0$. 

(1bi) Cas où $b\geq -c$.       

On a $b+c=b-_{\mathbb N}(-c)\geq 0$ puis $a(b+c)=a\times_{\mathbb N}(b-_{\mathbb N}(-c))=a\times_{\mathbb N} b -_{\mathbb N}a\times_{\mathbb N} c=ab-ac$.

(1bii) Cas où $b\leq -c$.

On a $b+c=-(-c-_{\mathbb N}b)\leq 0$ puis $a(b+c)=a\times_{\mathbb N}(-(-c-_{\mathbb N}b) )=-\left(a(-c-_{\mathbb N}b)\right)=-\left(a\times_{\mathbb N}(-c)-_{\mathbb N}a\times_{\mathbb N}b)\right)=-\left(-ac-ab \right)=ac+ab$.

(1c) Cas où $b\leq 0$ et $c\geq 0$.   

On a d'après le cas 1.(b).,  $a(b+c)=a(c+b)=ac+ab=ab+ac$

(1d) Cas où $b\leq 0$ et $c\leq 0$. 

On a $b+c=-(-b+_{\mathbb N}(-c))$. Donc $a(b+c)=a(-(-b+_{\mathbb N}(-c)))=-(a\times_{\mathbb N}(-b+_{\mathbb N}(-c)))=-(a\times_{\mathbb N}(-b)+a\times_{\mathbb N}(-c))=-(a\times_{\mathbb N}(-b))-(a\times_{\mathbb N}(-c))=-(-ab)-(-ac)=ab+ac$.

(2) Cas où $a\leq 0$. On a $-a\geq 0$. D'après le cas 1., on a 

On a $a(b+c)=-(-a(b+c))=-(-ab+(-ac))=-(-ab)-(-ac)=ab+ac$.

 

$\mathbb Z$ est un anneau

$(\mathbb Z,+)$ est un groupe commutatif. De plus $\times$ est associative et a pour élément neutre $1$. Comme $\times$ est distributive par rapport à $+$, $\mathbb Z$ est un anneau (unitaire). 

Enfin $\times$ est commutative donc $(\mathbb Z,+,\times)$ est un anneau commutatif.