Dans cet article, nous donnons une définition sur les limites finies. Elle permet de préciser si une suite qui converge vers un réel x, à partir d'un ceertain rang ne prend que des valeurs supérieurs ou inférieurs à x.
Nous en déduirons des propriétés sur les limites des suites opposées et des suites inverses.
Définition
Soit (u_n) une suite convergente vers un réel x.
- S'il existe un rang N tel que n\geq N implique u_n> x , alors on dit que (u_n) converge vers x par valeurs supérieures, et on note \lim_n u_n=x^+ .
- S'il existe un rang N tel que n\geq N implique u_n< x , alors on dit que (u_n) converge vers x par valeurs inférieures, et on note \lim_n u_n=x^- .
Remarque 1.
- \lim_n u_n = x^+ équivaut à \forall \varepsilon>0, \exists N>0, 0 < u_n-x<\varepsilon
- \lim_n u_n = x^- équivaut à \forall \varepsilon>0, \exists N>0, 0 < x-u_n<\varepsilon
Exemple 1.
\lim \frac 1 n = 0^+. En effet, on sait que \lim_n \frac 1 n=0 (voir dernière propriété de l'article Limite d'une suite). De plus pour tout entier naturel non-nul n, u_n>0 nous permet de préciser la convergence vers 0^+
Opposé et inverse
Propriété 1. (u_n) converge vers x^+ si et seulement si (-u_n) converge vers (-x)^-.
Exemple 2. Soit (v_n) la suite définie par v_n=2-\frac 1 {n^2} pour tout n non-nul.
Alors grâce à la propriété 1 de l'article [Toute suite convergente est bornée, somme et produit de suites convergentes, inverse d'une suite convergente] et à l'exemple 1 plus haut, on a
\lim_n \frac 1{n^2}=\lim_n \frac 1 n \frac 1 n = 0\times 0 = 0
D'après la même propriété (la partie sur la limite d'une somme), on a \lim_n =2-\frac 1 {n^2}=2 .
Comme de plus \frac 1 {n^2}>0, on a \lim_n 2-\frac 1 {n^2}<2 , on a la précision, \lim_n 2-\frac 1 {n^2} = 2^- .
Ainsi d'après la propriété 1 ci-dessus,
\lim_n -2+\frac{1}{n^2}=(-2)^+
Remarque 2. On pourrait dire que -(x^+) = (-x)^- et que -(x^-)=(-x)^+.
Démonstration de la propriété 1.
\lim_n u_n = x^+ équivaut à d'après la remarque 1 à \forall \varepsilon>0, \exists N>0, 0 < u_n-x <\varepsilon .
Or l'égalité 0 < u_n-x <\varepsilon équivaut à 0<-(-u_n)+(-x)<\varepsilon c'est-à-dire à 0<(-x)-(-u_n)<\varepsilon .
On peut donc en déduire que
\lim_n u_n = x^+ équivaut à \forall \varepsilon>0, \exists N>0, 0<(-x)-(-u_n)<\varepsilon qui équivaut à \lim_n (-u_n)=(-x)^-.
Propriété 2. Soit (u_n) une suite.
(1) Si \lim_n u_n = 0^+, alors \lim_n \frac 1 {u_n}=+\infty.
(2) Si \lim_n u_n = 0^-, alors \lim_n \frac 1 {u_n}=-\infty.
Démonstration. Tout d'abord, dans les cas (1) et (2) \frac 1 {u_n} existe à partir d'un certain rang N. En effet, il existe un rang N tel que n\geq N implique u_n>0 (cas (1)) et u_n<0 (cas (2)).
Démontrons d'abord le cas (1). Prenons un réel A>0. On sait qu'il existe un N=N_{\frac 1 A}, tel que n\geq N implique 0<u_n<\frac 1 A . Donc pour n\geq N, on a \frac 1{u_n}> A .
Cela prouve que \lim_n \frac 1 {u_n}=+\infty
Pour montrer le (2), on peut considérer la suite (-u_n) et se ramener au cas (1). On utilise la propriété 1 pour conclure.
Exemple 3. Soit k\geq 1 un entier. Alors la suite (u_n) définie par u_n=n^k diverge vers +\infty. On a \lim_n n^k=+\infty
Démonstration. Tout d'abord, notons pour tout n non-nul, w_n=\frac 1{u_n}=\frac{1}{n^{-k}}.
Comme k>0, -k<0. Ainsi d'après l'exemple à la fin de l'article [Toute suite convergente est bornée....], on en déduit que \lim_n w_n = 0. Comme tous les termes de (w_n) sont positifs, on a la précision \lim_n w_n = 0^+. Enfin comme pour tout entier n\geq 1 , u_n=\frac 1{w_n}, on en conclut que \lim_{u_n}=+\infty.
Une dernière propriété pour finir qui est la réciproque de la propriété 2.
Propriété 3. Soit (u_n) une suite.
(1) Si \lim_n u_n = +\infty, alors \lim_n \frac{1}{u_n} =0^+
(2) Si \lim_n u_n = -\infty, alors \lim_n \frac{1}{u_n} =0^-
Démonstration. Tout d'abord, comme pour la propriété 2, la suite (\frac 1 {u_n}) est définie à partir d'un certain rang dans le cas (1) comme dans le cas (2). En effet, dans les deux cas, les termes de (u_n) sont tous strictement positifs dans le cas (1) et tous strictement négatif dans le cas (2).
Cas (1). Soit \varepsilon>0, et soit A=\frac 1 \varepsilon. Il existe un rang N=N_{\varepsilon}=N_A tel que n\geq N implique
u_n> A=\frac 1 \varepsilon >0. Cette dernière inégalité implique
0<\frac 1 {u_n}<\frac 1 \varepsilon .
On en déduit que \lim_n \frac{1}{u_n} =0^+.
Cas (2). On peut par exemple, considérer la suite (-u_n) et se ramener au cas (1)
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