Limite "+" et limite "-" (convergence par valeurs inférieures et par valeurs supérieures)

Dans cet article, nous donnons une définition sur les limites finies. Elle permet de préciser si une suite qui converge vers un réel $x$, à partir d'un ceertain rang ne prend que des valeurs supérieurs ou inférieurs à $x$.

Nous en déduirons des propriétés sur les limites des suites opposées et des suites inverses.

Définition

Soit $(u_n)$ une suite convergente vers un réel $x$.

• S'il existe un rang $N$ tel que $n\geq N$ implique $u_n> x $, alors on dit que $(u_n)$ converge vers $x$ par valeurs supérieures, et on note $\lim_n u_n=x^+ $.
• S'il existe un rang $N$ tel que $n\geq N$ implique $u_n< x $, alors on dit que $(u_n)$ converge vers $x$ par valeurs inférieures, et on note $\lim_n u_n=x^- $.

Remarque 1.

• $\lim_n u_n = x^+ $ équivaut à $\forall \varepsilon>0, \exists N>0, 0 < u_n-x<\varepsilon $
• $\lim_n u_n = x^- $ équivaut à $\forall \varepsilon>0, \exists N>0, 0 < x-u_n<\varepsilon $

Exemple 1. 

$\lim \frac 1 n = 0^+$. En effet, on sait que $\lim_n \frac 1 n=0$ (voir dernière propriété de l'article Limite d'une suite). De plus pour tout entier naturel non-nul $n$, $u_n>0 $ nous permet de préciser la convergence vers $0^+$

Opposé et inverse

Propriété 1. ($u_n$) converge vers $x^+$ si et seulement si $(-u_n) $ converge vers $(-x)^-$.

Exemple 2. Soit $(v_n)$ la suite définie par $v_n=2-\frac 1 {n^2} $ pour tout $n$ non-nul. 

Alors grâce à la propriété 1 de l'article [Toute suite convergente est bornée, somme et produit de suites convergentes, inverse d'une suite convergente] et à l'exemple 1 plus haut, on a 

$$\lim_n \frac 1{n^2}=\lim_n \frac 1 n \frac 1 n = 0\times 0 = 0 $$

D'après la même propriété (la partie sur la limite d'une somme), on a $\lim_n =2-\frac 1 {n^2}=2 $. 

Comme de plus $\frac 1 {n^2}>0$, on a $\lim_n 2-\frac 1 {n^2}<2  $, on a la précision, $\lim_n 2-\frac 1 {n^2} = 2^- $. 

Ainsi d'après la propriété 1 ci-dessus, 

$$\lim_n -2+\frac{1}{n^2}=(-2)^+  $$

Remarque 2. On pourrait dire que $-(x^+) = (-x)^-$ et que $-(x^-)=(-x)^+$.

Démonstration de la propriété 1.

$\lim_n u_n = x^+ $ équivaut à d'après la remarque 1 à $\forall \varepsilon>0, \exists N>0, 0 < u_n-x <\varepsilon $.

Or l'égalité $0 < u_n-x <\varepsilon $ équivaut à $0<-(-u_n)+(-x)<\varepsilon $ c'est-à-dire à $0<(-x)-(-u_n)<\varepsilon $. 

On peut donc en déduire que 

$\lim_n u_n = x^+ $ équivaut à $\forall \varepsilon>0, \exists N>0, 0<(-x)-(-u_n)<\varepsilon $ qui équivaut à $\lim_n (-u_n)=(-x)^-$.

Propriété 2. Soit $(u_n)$ une suite.

(1) Si $\lim_n u_n = 0^+$, alors $\lim_n \frac 1 {u_n}=+\infty$.

(2) Si $\lim_n u_n = 0^-$, alors $\lim_n \frac 1 {u_n}=-\infty$. 

Démonstration. Tout d'abord, dans les cas (1) et (2) $\frac 1 {u_n}$ existe à partir d'un certain rang $N$. En effet, il existe un rang $N$ tel que $n\geq N$ implique $u_n>0$ (cas (1)) et $u_n<0$ (cas (2)).

Démontrons d'abord le cas (1). Prenons un réel $A>0$. On sait qu'il existe un $N=N_{\frac 1 A}$, tel que $n\geq N $ implique $0<u_n<\frac 1 A $. Donc pour $n\geq N$, on a $\frac 1{u_n}> A $.

Cela prouve que $\lim_n \frac 1 {u_n}=+\infty$

Pour montrer le (2), on peut considérer la suite $(-u_n)$ et se ramener au cas (1). On utilise la propriété 1 pour conclure.

Exemple 3. Soit $k\geq 1$ un entier. Alors la suite $(u_n)$ définie par $u_n=n^k$ diverge vers $+\infty$. On a $$\lim_n n^k=+\infty $$

Démonstration. Tout d'abord, notons pour tout $n$ non-nul, $w_n=\frac 1{u_n}=\frac{1}{n^{-k}}$. 

Comme $k>0$, $-k<0$. Ainsi d'après l'exemple à la fin de l'article [Toute suite convergente est bornée....], on en déduit que $\lim_n w_n = 0$. Comme tous les termes de $(w_n)$ sont positifs, on a la précision  $\lim_n w_n = 0^+$. Enfin comme pour tout entier $n\geq 1 $, $u_n=\frac 1{w_n}$, on en conclut que $\lim_{u_n}=+\infty$.

Une dernière propriété pour finir qui est la réciproque de la propriété 2.

Propriété 3. Soit $(u_n)$ une suite. 

(1) Si $\lim_n u_n = +\infty$, alors $\lim_n \frac{1}{u_n} =0^+$

(2) Si $\lim_n u_n = -\infty$, alors $\lim_n \frac{1}{u_n} =0^-$

Démonstration. Tout d'abord, comme pour la propriété 2, la suite $(\frac 1 {u_n})$ est définie à partir d'un certain rang dans le cas (1) comme dans le cas (2). En effet, dans les deux cas, les termes de $(u_n)$ sont tous strictement positifs dans le cas (1) et tous strictement négatif dans le cas (2). 

Cas (1). Soit $\varepsilon>0$, et soit $A=\frac 1 \varepsilon$. Il existe un rang $N=N_{\varepsilon}=N_A$ tel que $n\geq N$ implique 

$u_n> A=\frac 1 \varepsilon >0$. Cette dernière inégalité implique 

$0<\frac 1 {u_n}<\frac 1 \varepsilon $. 

On en déduit que $\lim_n \frac{1}{u_n} =0^+$.

Cas (2). On peut par exemple, considérer la suite $(-u_n)$ et se ramener au cas (1)