Définition
Soit x un nombre réel, la valeur absolue de x notée \left| x \right| est définie par
\left| x \right|=\left\{\begin{array}{lrc} x &\textrm{si}& x\geq 0\\ -x&\textrm{si}& x\leq 0\end{array}\right.
On remarque que cette définition est cohérente car x=0 si et seulement si x=-x , et \left| x \right|=0 si et seulement si x=0
\left| x \right| est aussi appelé la distance de x à zéro. On le comprend en regardant le dessin suivant :
Le dessin illustre que \left|-4 \right|=\left|4 \right|=4 . La distance de 4 à zéro et la distance de -4 à zéro sont identiques, elles valent 4.
On remarque aussi assez rapidement que pour tout réel x,
\left|-x \right|=\left|x \right|
Propriété 1.
(1a) Soit a un nombre réel positif ou nul, alors
\left| x \right| = a \Longleftrightarrow x=a\ \textrm{ou}\ x=-a
(1b) Soit x,y deux réels, alors \left| x \right| = \left| y \right| si et seulement si x=y ou x=-y.
Démonstration.
(1a) Si x\geq 0 , on a x=a et si x\leq 0, -x=a d'où x=-a.
(1b) Si x\geq 0, d'après le (1a), \left| y\right| = \left| x\right|=x si et seulement si y=x ou y=-x
Si x\leq 0, d'après le (1a), \left| y\right| = \left| x\right|=-x si et seulement si y=-x ou y=-(-x)=x.
Dans les deux cas on a x=y ou x=-y.
La fonction valeur absolue
La fonction valeur absolue a la représentation suivante : elle est affine par morceaux.
Exemples d'équations avec des valeurs absolues
Inégalité triangulaire
Nous avons deux propriétés. La première est appelé l'inégalité triangulaire. On comprend mieux cette dénomination lorsqu'on s'intéresse à la généralisation pour les nombres complexes de cette propriété, mais ce sera l'objet d'un autre article.
Propriété 2. Si x et y sont deux réels, alors on a
\left| x+y \right|\leq \left|x \right| + \left|y \right|
Démonstration. Cela revient à montrer que
f(x,y)= \left|x \right| + \left|y \right|-\left| x+y \right|\geq 0
On a quatre possibilités pour f(x,y) (case jaunes dans le tableau ci-dessous) en fonction des signes de x et y.
Après simplification, on pour f(x,y) , en jaune,
Dans tous les cas, le résultat obtenu est positif ou nul. On en déduit le résultat.
Propriété 3. Soit a et b deux nombres réels, on a
\left| \left| a\right|-\left| b\right|\right|\leq \left| a - b\right|
Démonstration. Posons x=a-b et y=b. D'après la propriété 1, on a
\left|a-b +b \right|\leq \left|a-b \right| + \left|b \right|, c'est-à-dire
\left|a \right|\leq \left|a-b \right| + \left|b \right| .
On en déduit que \left|a \right|- \left|b \right| \leq \left|a-b \right| .
De la même façon \left|b \right|- \left|a \right| \leq \left|b-a \right|=\left|a-b \right| .
\left| \left|a \right|- \left|b \right| \right| étant égal à \left|a \right|- \left|b \right| ou \left|b \right|- \left|a \right|, on a bien
\left| \left| a\right|-\left| b\right| \right|\leq \left| a - b\right|
Propriété 5. (1) Soit x et y deux réels. Alors \left| x y \right|=\left| x \right|\times \left|y \right|
(2) Pour tout entier naturel n, et pour tout réel x, on \left| x^n\right|=\left|x \right|^n
Preuve.
(1) Si x et y sont de même signe xy est positif donc \left| xy\right| = xy =(-x)(-y). Qu'ils soient tous deux positifs ou tous deux négatifs, c'est donc \left|x\right| \times \left| y \right|.
Si x et y sont de signes opposés, disons x<0<y, on a xy=-\left| x \right|\times \left|y \right|<0 donc
\left| x y \right| = \left| x \right|\times \left|y \right|.
(2) On fait une récurrence sur n en utilisant le (1).
Et après
Pour les nombres complexes, la valeur absolue se généralise, on obtient le module.
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