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Mathjax

jeudi 14 septembre 2023

Valeur absolue d'un réel

Définition

Soit x un nombre réel, la valeur absolue de x notée \left| x \right| est définie par 

\left| x \right|=\left\{\begin{array}{lrc} x &\textrm{si}& x\geq 0\\ -x&\textrm{si}& x\leq 0\end{array}\right.


On remarque que cette définition est cohérente car x=0 si et seulement si x=-x , et \left| x \right|=0 si et seulement si x=0


\left| x \right| est aussi appelé la distance de x à zéro. On le comprend en regardant le dessin suivant : 


Le dessin illustre que \left|-4 \right|=\left|4 \right|=4 . La distance de 4 à zéro et la distance de -4 à zéro sont identiques, elles valent 4.


On remarque aussi assez rapidement que pour tout réel x

\left|-x \right|=\left|x \right|


Propriété 1.

(1a) Soit a un nombre réel positif ou nul, alors 

\left| x \right| = a \Longleftrightarrow x=a\ \textrm{ou}\ x=-a

(1b) Soit x,y deux réels, alors \left| x \right| = \left| y \right| si et seulement si x=y ou x=-y


Démonstration. 

(1a) Si x\geq 0 , on a x=a et si x\leq 0, -x=a d'où x=-a.


(1b) Si x\geq 0, d'après le (1a), \left| y\right| = \left| x\right|=x si et seulement si y=x ou y=-x


Si x\leq 0, d'après le (1a), \left| y\right| = \left| x\right|=-x si et seulement si y=-x ou y=-(-x)=x.

Dans les deux cas on a x=y ou x=-y.

La fonction valeur absolue


La fonction valeur absolue a la représentation suivante : elle est affine par morceaux. 




Exemples d'équations avec des valeurs absolues

Exemple 1. Résoudre \left| x-2 \right| = 5 .

D'après le 1, on a 
x-2=5 \ \textrm{ou}\ x-2=-5 
D'où 
x=7 \ \textrm{ou}\ x=-3

Donc les solutions sont -3 et 7.


Exemple 2.  Résoudre \left| x-2 \right| = \left|-x+3 \right| .

D'après le (1.b), cette équation équivaut à x-2=-x+3\ \textrm{ou} x-2=x-3 .

La première de ces deux dernières équations a pour unique solution x=\frac 5 2 et la deuxième n'a pas de solution. Donc \frac 5 2 est l'unique solution de l'équation proposée.




Nous verrons peut-être d'autres équations avec des valeurs absolues dans un autre article.

Inégalité triangulaire

Nous avons deux propriétés. La première est appelé l'inégalité triangulaire. On comprend mieux cette dénomination lorsqu'on s'intéresse à la généralisation pour les nombres complexes de cette propriété, mais ce sera l'objet d'un autre article.


Propriété 2. Si x et y sont deux réels, alors on a 

\left| x+y \right|\leq \left|x \right| + \left|y \right|


Démonstration. Cela revient à montrer que 

f(x,y)= \left|x \right| + \left|y \right|-\left| x+y \right|\geq 0

On a quatre possibilités pour f(x,y) (case jaunes dans le tableau ci-dessous) en fonction des signes de x  et y.



Après simplification, on pour f(x,y) , en jaune, 



Dans tous les cas, le résultat obtenu est positif ou nul. On en déduit le résultat.




Propriété 3. Soit a et b deux nombres réels, on a 

\left| \left| a\right|-\left| b\right|\right|\leq \left| a - b\right|


Démonstration. Posons x=a-b et y=b. D'après la propriété 1, on a 

\left|a-b +b \right|\leq \left|a-b \right| + \left|b \right|, c'est-à-dire

\left|a \right|\leq \left|a-b \right| + \left|b \right|

On en déduit que \left|a \right|- \left|b \right| \leq \left|a-b \right|  .


De la même façon \left|b \right|- \left|a \right| \leq \left|b-a \right|=\left|a-b \right|  .


\left| \left|a \right|- \left|b \right| \right| étant égal à \left|a \right|- \left|b \right| ou \left|b \right|- \left|a \right|, on a bien


\left| \left| a\right|-\left| b\right| \right|\leq \left| a - b\right|


Propriété 5. (1) Soit x et y deux réels. Alors \left| x y \right|=\left| x \right|\times \left|y \right|

(2) Pour tout entier naturel n, et pour tout réel x, on \left| x^n\right|=\left|x \right|^n


Preuve. 

(1) Si x et y sont de même signe xy est positif donc \left| xy\right| = xy =(-x)(-y). Qu'ils soient tous deux positifs ou tous deux négatifs, c'est donc \left|x\right| \times \left| y \right|.

Si x et y sont de signes opposés, disons x<0<y, on a xy=-\left| x \right|\times \left|y \right|<0 donc 

\left| x y \right| = \left| x \right|\times \left|y \right|

(2) On fait une récurrence sur n en utilisant le (1).

Et après

Pour les nombres complexes, la valeur absolue se généralise, on obtient le module.

 


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