Valeur absolue d'un réel

Définition

Soit $x$ un nombre réel, la valeur absolue de $x$ notée $\left| x \right|$ est définie par 

$$\left| x \right|=\left\{\begin{array}{lrc} x &\textrm{si}& x\geq 0\\ -x&\textrm{si}& x\leq 0\end{array}\right. $$

On remarque que cette définition est cohérente car $x=0$ si et seulement si $x=-x $, et $\left| x \right|=0 $ si et seulement si $x=0$

$\left| x \right| $ est aussi appelé la distance de $x$ à zéro. On le comprend en regardant le dessin suivant : 

Le dessin illustre que $\left|-4 \right|=\left|4 \right|=4 $. La distance de 4 à zéro et la distance de -4 à zéro sont identiques, elles valent 4.

On remarque aussi assez rapidement que pour tout réel $x$, 

$$\left|-x \right|=\left|x \right| $$

Propriété 1.

(1a) Soit $a$ un nombre réel positif ou nul, alors 

$$\left| x \right| = a \Longleftrightarrow x=a\ \textrm{ou}\ x=-a $$

(1b) Soit $x,y$ deux réels, alors $\left| x \right| = \left| y \right|$ si et seulement si $x=y $ ou $x=-y$. 

Démonstration. 

(1a) Si $x\geq 0 $, on a $x=a$ et si $x\leq 0$, $-x=a$ d'où $x=-a$.

(1b) Si $x\geq 0$, d'après le (1a), $\left| y\right| = \left| x\right|=x$ si et seulement si $y=x $ ou $y=-x$

Si $x\leq 0$, d'après le (1a), $\left| y\right| = \left| x\right|=-x$ si et seulement si $y=-x $ ou $y=-(-x)=x$.

Dans les deux cas on a $x=y $ ou $x=-y$.

La fonction valeur absolue

La fonction valeur absolue a la représentation suivante : elle est affine par morceaux. 

Exemples d'équations avec des valeurs absolues

Exemple 1. Résoudre $\left| x-2 \right| = 5 $.

D'après le 1, on a 

$$x-2=5 \ \textrm{ou}\ x-2=-5  $$

D'où 

$$x=7 \ \textrm{ou}\ x=-3 $$

Donc les solutions sont $-3$ et $7$.

Exemple 2.  Résoudre $\left| x-2 \right| = \left|-x+3 \right| $.

D'après le (1.b), cette équation équivaut à $$x-2=-x+3\ \textrm{ou} x-2=x-3 $$.

La première de ces deux dernières équations a pour unique solution $x=\frac 5 2$ et la deuxième n'a pas de solution. Donc $\frac 5 2$ est l'unique solution de l'équation proposée.

Nous verrons peut-être d'autres équations avec des valeurs absolues dans un autre article.

Inégalité triangulaire

Nous avons deux propriétés. La première est appelé l'inégalité triangulaire. On comprend mieux cette dénomination lorsqu'on s'intéresse à la généralisation pour les nombres complexes de cette propriété, mais ce sera l'objet d'un autre article.

Propriété 2. Si $x$ et $y$ sont deux réels, alors on a 

$$\left| x+y \right|\leq \left|x \right| + \left|y \right|$$

Démonstration. Cela revient à montrer que 

$$f(x,y)= \left|x \right| + \left|y \right|-\left| x+y \right|\geq 0$$

On a quatre possibilités pour $f(x,y)$ (case jaunes dans le tableau ci-dessous) en fonction des signes de $x$  et $y$.

Après simplification, on pour $f(x,y) $, en jaune, 

Dans tous les cas, le résultat obtenu est positif ou nul. On en déduit le résultat.

Propriété 3. Soit $a$ et $b$ deux nombres réels, on a 

$$\left| \left| a\right|-\left| b\right|\right|\leq \left| a - b\right| $$

Démonstration. Posons $x=a-b $ et $y=b$. D'après la propriété 1, on a 

$\left|a-b +b \right|\leq \left|a-b \right| + \left|b \right|$, c'est-à-dire

$\left|a \right|\leq \left|a-b \right| + \left|b \right| $. 

On en déduit que $\left|a \right|- \left|b \right| \leq \left|a-b \right|  $.

De la même façon $\left|b \right|- \left|a \right| \leq \left|b-a \right|=\left|a-b \right|  $.

$\left| \left|a \right|- \left|b \right| \right|$ étant égal à $\left|a \right|- \left|b \right|$ ou $\left|b \right|- \left|a \right|$, on a bien

$$\left| \left| a\right|-\left| b\right| \right|\leq \left| a - b\right| $$

Propriété 5. (1) Soit $x$ et $y$ deux réels. Alors $\left| x y \right|=\left| x \right|\times \left|y \right| $

(2) Pour tout entier naturel $n$, et pour tout réel $x$, on $\left| x^n\right|=\left|x \right|^n$

Preuve. 

(1) Si $x$ et $y$ sont de même signe $xy$ est positif donc $\left| xy\right| = xy =(-x)(-y)$. Qu'ils soient tous deux positifs ou tous deux négatifs, c'est donc $\left|x\right| \times \left| y \right|$.

Si $x$ et $y$ sont de signes opposés, disons $x<0<y$, on a $xy=-\left| x \right|\times \left|y \right|<0 $ donc 

$\left| x y \right| = \left| x \right|\times \left|y \right|$. 

(2) On fait une récurrence sur $n$ en utilisant le (1).

Et après

Pour les nombres complexes, la valeur absolue se généralise, on obtient le module.