$\mathbb Q $ (3) Valeur absolue. Suites de rationnels. Suites de Cauchy.

Cet article fait suite à 

• $\mathbb Q$ (0). Relation d'équivalence sur un ensemble. L'ensemble $\mathbb Q$
• $\mathbb Q$ (1). Structure de  corps de $\mathbb Q $. Ordre sur $\mathbb Q$
• $\mathbb Q$ (2). Fractions irréductibles. Aucun rationnel n'a 2 pour carré.

Dans cet article, nous définissons les suites de nombres rationnels, la notion de convergence pour les suites, ainsi les suites de Cauchy de nombres rationnels. Pour cela, nous aurons besoin de la valeur absolue des nombres rationnels.

Le lecteur habitué aux suites de nombres réels retrouvera des définitions et des démonstrations similaires. j'ai cependant souhaité tout refaire ici, car notre but étant de construire les nombres réels, on ne peut pas utiliser ces définitions ou ces démonstrations.

Valeur absolue de nombres rationnels

Pour tout nombre $x\in \mathbb Q$, on appelle la valeur absolue de $x$, le nombre positif 

$$|x|=\left\{\begin{array}{rcl} x  & \textrm{si }\ & x\geq 0 \\  -x & \textrm{si }\ & x< 0 \end{array} \right.$$

Propriété 1.

(1) $|x|=0\longleftrightarrow x=0$

(2) Pour tous rationnels $x,y$, on a l'inégalité triangulaire :s

$$ |x+y|\leq |x|+|y|$$

Preuve. 

(1) Comme $0\geq 0$, $|0|=0$ d'où l'implication $\Longleftarrow$. 

Par définition de la valeur absolue de $x$, si $x<0$ ou $x>0$, alors $|x|>0$. On en déduit l'implication $\longrightarrow$. 

(2) Comme $|x|=\sup(x,-x)$, on a toujours $x\leq |x|$ et $-x\leq |x|$. De même, $y\leq |y|$ et $-y\leq |y|$.

Or par définition $|x+y|$ vaut $x+y$ ou $-(x+y)=-x-y$. Dans yn cas comme dans l'autre, on a  $|x+y|\leq |x|+|y|$.

Suites de rationnels

Une suite de rationnels $u$ est une fonction $\mathbb N \longrightarrow \mathbb Q$. 

Pour $n\in \mathbb N$, on note généralement $u_n=u(n)$ l'image de $n$ par $u$, appelée le terme d'indice $n$ de la suite $u$.

On dit qu'une suite $u$ est croissante (respectivement strictement croissante) si pour tout entier naturel $n$, $u_n\leq u_{n+1}$ (respectivement $u_n<u_{n+1}$).

On dit qu'une suite $u$ est décroissante (respectivement strictement décroissante) si pour tout entier naturel $n$ $u_n\geq u_{n+1}$ (respectivement $u_n> u_{n+1}$).

Propriété 2. 

a) Si $u$ est une suite décroissante (respectivement strictement décroissante), alors $n<m$ implique $u_n\geq u_m$ (respectivement $u_n>u_m$).

b) Si $u$ est une suite croissante (respectivement strictement croissante), alors $n<m$ implique $u_n\leq u_m$ (respectivement $u_n<u_m$).

Démonstration. 

a) Supposons $u$ décroissante.

Supposons $n<m$. Alors $m=n+r$ pour un certain entier naturel $r$.

On a $u_n\geq u_{n+1}$   car $u$ est décroissante.

Supposons que pour un certain entier naturel $k$, on a 

$u_n\geq u_{n+k}$. Comme $u_{n+k}\geq u_{n+k+1}$, on a par transitivité de $\geq $, $u_n\geq u_{n+k+1}$.

On a donc montré par récurrence que pour tout $k$, $u_n\geq u_{n+k}$.

Pour $k=r$, on a $u_n\geq u_m$.

Dans cette démonstration, on peut supposer que $u$ est strictement décroissante, et remplacer chaque symbole $\geq$ par $>$.

b) La démonstration est analogue.

Dire que la suite $u$ converge vers un certain rationnel $x$, c'est dire que pour tout rationnel $\varepsilon>0$, il existe un entier $N=N_\varepsilon$ tel que pour tout $n\geq N$,

$|u_n-x|\leq \varepsilon$.

Exemple. 

La suite $u$ définie par $u_0=0$ et $u_n=\frac 1 n$ si $n$ est entier naturel non nul converge vers $0$.

Preuve. 

Soit $\varepsilon=\frac \alpha \beta$, avec $\alpha$ et $\beta$ entiers  strictement positifs. 

On a $\frac 1 n\leq \frac \alpha \beta \Longleftrightarrow \beta n\alpha \Longleftrightarrow n\geq \frac \beta \alpha$.

Soit $N=\beta+1$. Comme $\beta \geq \frac \beta \alpha$, pour tout $n\geq N$, $u_n\leq\varepsilon$. 

On en déduit que $u$ converge vers $0$.

Propriété 3. 

Si une suite de rationnels $u$ converge vers $x$ et vers $y$, alors $x=y$.

Preuve. 

Par l'absurde. Supposons que $x\neq y$. Sans perte de généralité, on peut supposer $x<y$.

On note $\varepsilon=\frac{1}4 (y-x)$. 

D'après la définition de la convergence de $u$ vers $x$, il existe un entier naturel $N$ tel si $n\geq N$, $|u_n-x|<\varepsilon$.

D'après la définition de la convergence de $u$ vers $y$, il existe un entier naturel $M$ tel si $n\geq M$, $|u_n-y|<\varepsilon$.

On a d'après l'inégalité triangulaire, pour tout entier naturel $n$,

$$y-x= |x-y|=|x-u_n+u_n-y|\leq |x-u_n|+|u_n-y|$$

Soit $P=\max(N,M)$. Et soit $n\geq P$, l'inégalité précédente implique 

$$ y-x=\leq 2\varepsilon=\frac{1}2(y-x)$$

On a donc une contradiction car la dernière inégalité implique $1\leq \frac 1 2$.

Lorsqu'une suite $u$ de rationnels converge vers un réel $x$, on dit que $x $ est la limite de $u$ et on notera $x=\lim u$.

Sous-suites d'une suite

Soit $u$ une suite (de nombres rationnels). 

Soit $\varphi:\mathbb N \rightarrow \mathbb N$ fonction. 

Si $\varphi$ est strictement croissante, c'est-à-dire si $m>n$ implique $\varphi(m)>\varphi(n)$, on dit que la suite $v$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n=u_{\varphi(n)}$ (que l'on peut noter $v=u\circ \varphi$) est une sous-suite (ou une suite extraite, ou une extraction) de $u$. 

$\varphi $ est appelée (fonction) extractrice.

Si $v$ est une sous-suite de $u$, elle a une infinité de termes en commun, sans répétition et dans le même ordre, avec $u$, car $\varphi$ est strictement croissante.

Propriété 4. 

Soit $v$ une sous-suite de $u$.

a) Si $u$ est décroissante (respectivement strictement décroissante), alors $v$ est décroissante (respectivement strictement décroissante). 

b) Si $u$ est croissante (respectivement strictement croissante), alors $v$ est croissante (respectivement strictement croissante).

Démonstration.

a) On suppose que $u$ est décroissante. 

Soit $n$ un entier naturel. Notons $\varphi$ une extractrice telle que $v=u\circ \varphi$. On applique la propriété 2 ci-avant : $$n<n+1\Rightarrow \varphi(n)<\varphi(n+1) \Rightarrow v_n=u_{\varphi(n)}\geq u_{\varphi(n+1)}=v_{n+1} $$

Pour le cas où $u$ est strictement décroissante, il suffit de remplacer les inégalité larges par des inégalités strictes.

b) Démonstration analogue. 

Suites de Cauchy de rationnels

On dit qu'une suite rationnelle $u$ est une suite de Cauchy si pour tout $\varepsilon>0$, il existe un entier naturel $N$ tel que pour tous entiers $p,m\geq N$, $|u_p-u_m|\leq \varepsilon$.

Propriété 5.

Toute suite rationnelle convergente est une suite de Cauchy. 

Preuve. 

Soit $u$ une suite convergente. 

Soit $\varepsilon>0$. On note  $t$ la limite de $u$.

Ainsi par définition de $t$, il existe $N>0$ tel que pour tout $n\geq N$, $|u_n-t|\leq\frac 1 2 \varepsilon$.

Pour tous entiers $p,m\geq N$, on a donc d'après l'inégalité triangulaire : 

$$ |u_p-u_m|\leq |u_p-t|+|t-u_m|\leq \frac 1 2 \varepsilon+ \frac 1 2 \varepsilon=\varepsilon$$

Nous verrons plus tard que dans $\mathbb Q$, la réciproque de cette propriété est fausse. 

Propriété 6. 

Toute suite de rationnels décroissante minorée (dont tous les termes sont supérieures à un même nombre) est de Cauchy.

Démonstration. 

Soit $(u_n)$ une suite de rationnels décroissante minorée par un rationnel $m$.

On suppose donc que pour tout $n\in\mathbb N$, $u_n\geq \alpha$.

On raisonne par l'absurde. Supposons que $(u_n)$ n'est pas de Cauchy. On va contredire la définition de suite de Cauchy donnée plus haut :

Il existe un rationnel $\varepsilon>0$ tel que pour tout entier naturel $N$, il existe $m=m_N$, $n=n_N$, avec $N\leq n_N<m_N $ vérifiant $|u_m - u_n| > \varepsilon$. Comme $m>n$, et que la suite est décroissante on peut même écrire $u_n-u_m>\varepsilon$

En prenant successivement $N=1,2,3,....$, on construit une suite d'indices.

Pour $N=0$, on a $0=N\leq n_0<m_0 $ tels que

$$(0) \ \ \ \ u_{n_0} - u_{m_0} > \varepsilon $$

On pose $\varphi(0)=n_0$ et $\varphi(1)=m_0$.

On a $$u_{\varphi(0)}-u_{\varphi(1)}> \varepsilon $$

Pour $N=m_0$,  il existe $m_0=N\leq n_1<m_1 $ tels que

$$(2) \ \ \ \ u_{n_1} - u_{m_1} > \varepsilon $$

On a donc puisque $u_{n_1}<u_{m_0}$ (par décroissance de la suite),

$$u_{m_0}-u_{m_1}=u_{m_0} - u_{n_1}+u_{n_1} - u_{m_1}\geq u_{n_1} - u_{m_1} >\varepsilon $$

On pose $\varphi(2)=m_1$, et on a 

On a $$u_{\varphi(1)}-u_{\varphi(2)}> \varepsilon $$

Et plus généralement, pour tout entier naturel $k$, pour $N=k$, on a  $N\leq n_k<m_k $ tels que

$$(k) \ \ \ \ u_{m_k} - u_{n_k}> \varepsilon $$

On pose $\varphi(k)=m_{k-1}$.

Supposons que pour un certain entier naturel $k$, 

$$u_{\varphi(k)}-u_{\varphi(k+1)}> \varepsilon $$

On a par définition $\varphi(k+2)=m_{k+1}$ avec  

$$(k+1) \ \ \ \  u_{m_{k+1}} - u_{n_{k+1}} > \varepsilon$$

On a par construction 

$$u_{\varphi(k+1)}-u_{\varphi(k+2)}=u_{m_{k}}-u_{m_{k+1}}=u_{m_k} - u_{n_{k+1}}+u_{n_{k+1}} - u_{m_{k+1}}\geq u_{n_{k+1}} - u_{m_{k+1}} >\varepsilon $$

Ainsi par construction de $\varphi$, on a pour tout $n\in \mathbb N$, 

$$(\star) \ \ \ \ \ u_{\varphi(n)}-u_{\varphi(n+1)}>\varepsilon$$

Définissons deux suites $v$ et $w$ par 

$v_n=u_{\varphi(n)}$ (pour tout $n\in\mathbb N$)

$w_n=v_0-v_n$ (pour tout $n\in\mathbb N$)

Tout d'abord la suite $v$ est décroissante car c'est une suite extraite de $u$ et que $u$ est décroissante (propriété 4??).

En fait, par construction, on a $v_n-v_{n+1}\geq \varepsilon$.

Pour tout $n$, $v_n=u_{\varphi(n)}\geq \alpha$. 

Ainsi pour tout entier $n$, on a $v_0-v_n\leq v_0-m$. $M=v_0-\alpha$ est donc un majorant (un nombre supérieur ou égal à tous les termes) de $w$.

On montre par récurrence que $w_n>n\varepsilon$.

Pour $n\geq 0$. Pour $n=0$, $w_0=v_0-v_0=0$, il n'y a rien à faire.

Supposons que pour un certain entier naturel $k$, $w_k\geq k\varepsilon$. On a $$w_{k+1}=v_0-v_{k+1}=w_0-v_k+v_k-v_{k+1}\geq k\varepsilon +\varepsilon\geq (k+1)\varepsilon$$

La récurrence est prouvée, donc pour tout entier naturel $n$, on a $w_n>n\varepsilon$.

Or pour $n\geq 2\times M\times \frac 1\varepsilon$ (l'existence d'un tel $n$ est assurée par le fait que $\mathbb Q $ est archimédien), on a $n\varepsilon>2\alpha$ d'où $w_n>M$ contredisant le fait que $w$ est majorée par $M$. 

La propriété est démontrée.

Et ensuite

Dans l'article suivant, nous parlerons de continuité dans $\mathbb Q $. Comme ici, la continuité (usuelle) réelle n'existe pas encore car $\mathbb R$ n'est pas encore construit.

Nous verrons qu'il existe des suites de Cauchy qui ne converge pas dans $\mathbb Q$. C'est cette lacune de $\mathbb Q$ qu'il faudra combler pour obtenir les nombres rééls.

Spécialité Maths - (Première). Exercice 5 - solution

Voici un exercice niveau 1ère de la spécialité mathématique.

Des versions téléchargeables (pdf et tex) sont disponibles à la fin de l'article.  

Thème. Suites, suites géométriques.

Niveau 1ère de la spécialité mathématique.

Exercice 5.

Résoudre l'équation

$$(E)\ \ \ \ \left| x^2-6\left| x\right|+7 \right| =1$$

Indication. Vous pouvez lire cet article.

 

La solution

Remarquons pour commencer que si $a$ est une solution de $(E)$, alors $-a$ est aussi une solution de $(E)$.

En effet puisque $(-a)^2=a^2$ et $|-a|=|a|$,

$$\left| a^2-6\left| a\right|+7 \right| =1 \Longleftrightarrow \left| (-a)^2-6\left| -a\right|+7 \right| =1  $$

Il suffit de résoudre $(E)$ pour $x\geq 0$. Dans ce cas, l'équation devient

$$(E')\ \ \ \ \left| x^2-6 x+7 \right| =1$$

D'après la propriété 1 de l'article Valeur absolue, $(E')$ est équivalente à

$$ \left\{ \begin{array}{lrcl} (1) & x^2-6x+7& =&   1 \\  &  &\textrm{ou} & \\ (2)&   x^2-6x+7& =& -1 \\   \end{array} \right. $$

Résolvons ces deux équations :

•  L'équation $(1)$ équivaut à $x^2-6x+6=0 $. On peut trouver les solutions de cette équation facilement à) l'aide du discriminant $\Delta_1=(-6)^2-4\times 1 \times 6=12=2\sqrt 3>0 $. Cette équation a donc deux solutions potentielles $x_1=\frac{-(-6)-2\sqrt 3}{2}=3-\sqrt 3 $ et $x_2=3+\sqrt 3 $.
• L'équation $(2)$ équivaut à $x^2-6x+8=0$. Comme précédemment l'utilisation du discriminant nous permet de trouver les solutions. On a $\Delta_2= (-6)^2-4\times 1 \times 8=4$. Cette équation a deux solutions potentielles $x_3=\frac{-(-6)-2}{2}=2$ et  $x_4=\frac{-(-6)+2}{4}$.

Les solutions $x_1,x_2,x_3,x_4$ sont postives donc sont bien des solutions de $(E')$.

Ainsi d'après la remarque précédente, les soltions de $(E)$ sont $x_1,x_2,x_3,x_4 $ et leurs opposés repsectifs.

Ci-dessous, l'ensemble des solutions de $(E)$ :

$$\mathcal S_{E}=\left\{-(3+\sqrt 3) ; -4;-2;-(3-\sqrt 3);3-\sqrt 3 ; 2 ; 4 ; 3+\sqrt 3 \right\} $$ 

 

Versions téléchargeables

L'énoncé

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La solution

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D'autres exercices

Un nouvel exercice sur ce blog tous les dimanches.

En attendant, voici la page regroupant tous les exercices du dimanche.

Spécialité Maths - (Première). Exercice 5

Voici un exercice niveau 1ère de la spécialité mathématique.

Des versions téléchargebles (pdf et tex) sont disponibles à la fin de l'article.  

Thèmes. Equations du second degré, valeur absolue,  

Niveau 1ère de la spécialité mathématique.

Exercice 5.

Résoudre l'équation

$$(E)\ \ \ \ \left| x^2-6\left| x\right|+7 \right| =1$$

Indication. Vous pouvez lire cet article.

Versions téléchargeables

• version pdf 
• version source tex

La solution

La solution ici sera accessible un jour après publication de cet article.

D'autres exercices

Je compte publier chaque dimanche un nouvel exercice niveau Première ou Terminale de la spécialité maths.

En attendant, voici la page regroupant tous les exercices du dimanche.

Continuité d'une fonction réelle en un point

Dans cet article, nous définissons la continuité d'une fonction définie sur un intervalle de $\mathbb R $ et à valeurs réelles en un point. 

Nous voyons à l'aide d'un exemple comment montrer  qu'une fonction continue en un point (la valeur absolue est continue en $0$). Nous voyons aussi une fonction non continue en une infinité de points (la fonction partie entière n'est continue en aucun entier). 

Enfin nous montrons que la somme et le produit de fonctions continues en point sont aussi continues en ce point.

Soit $I$ un intervalle de $\mathbb R$ de la forme $]a;b[$, $]a;d]$; $[c;b[$, $[c;d]$ où $c,d$ sont des nombres réels et où $a$ est un réel ou $-\infty$, et $b$ est un réel ou $+\infty$.

Soit $f:I\longrightarrow \mathbb R$ une fonction.

Continuité en un nombre (ou en un point)

Soit $t\in I$.

On dit qu'une fonction $f$ est continue en $t$ si pour tout $\varepsilon>0$, il existe un nombre $\delta >0$ tel que tout $x\in I$ vérifiant $\left|x-t\right|\leq \delta$ donne $\left|f(x)-f(t)\right|\leq \varepsilon$.

Exemple 1. 

La fonction valeur absolue $x\mapsto |x|$ définie sur $]-\infty;\infty[$ est continue en 0.

Preuve.

Soit $\varepsilon>0$. On pose $\delta=\frac \varepsilon 2$. Alors pour tout $x$ tel que $|x-0|\leq \delta $, c'est-à-dire tel que $|x|\leq \frac \varepsilon 2 $, on a $|f(x)-f(0)|=|x|=\frac \varepsilon 2 \leq \varepsilon$.

On en déduit que $x\mapsto |x|$ est continue en $0$.

Exemple 2.

Soit $E$ la fonction partie entière. $E$ est la fonction définie par 

$$E(x)=\max\left(\left\{n\in \mathbb Z | x\geq n\right\} \right)$$

Alors la fonction $E$ n'est continue en aucun $n\in \mathbb Z$.

Preuve. 

Soit $m\in\mathbb Z$. Soit $\varepsilon=\frac 1 2$. Nous allons montrer qu'il n'existe aucun $\delta >0$ tel que $\left|x-m\right|\leq \delta$ impliquerait $\left|E(x)-E(m) \right|\leq \varepsilon = \frac 1 2$. 

Soit $\delta>0$. Soit $x$ tel que $\left|x-n\right|\leq \delta$. 

On a deux possibilités : $x\geq m$ ou $x<m$. Ce deuxième cas suffit à prouver que $E$ n'est pas continue en $m$ :

si $x< m$, c'est-à-dire si $n-x\leq \delta$ ou encore $x\geq m-\delta$, alors 

    $$E(x)=\max\left(\left\{n\in \mathbb Z | x\geq n\right\} \right)$$

Comme $x<m$, $m\not \in E_x= \left\{n\in \mathbb Z | x\geq n\right\}$. Dans ce cas, $m<E(x)$. En effet si $m\geq E(x)$, on aurait $m\in E_x$.

Ce qui précède étant vrai peu importe la valeur de $\delta$, on déduit que $E$ n'est pas continue en $m$.

Ci-dessous une illustration du fait que $E$ n'est pas continue en $2$. 

Remarque. 

On peut définir la continuité à droite (respectivement à gauche) en un nombre (ou un point) $t $ pour une fonction $f$. Cela signifie que pour tout $\varepsilon$, il existe un $\delta=\delta_\varepsilon$, tel que pour tout $x$ vérifiant $t \leq x \leq t+\delta$ (resp. $t-\delta \leq x \leq t$), on a $\left| f(x)\right|\leq \varepsilon$.

On peut montrer que la fonction $E$ est continue à droite en tout point.

Propriété 1. 

Si $f$ et $g$ sont continues en point $t$ d'un intervalle $I$, alors 

(1) $f+g:x\longmapsto f(x)+g(x)$ est continue en $t$

(2) $fg=f\times g:x\longmapsto f(x)g(x)$ est continue en $t$

Preuve.

Quelque soient $\varepsilon_1,\varepsilon_2>0$, comme $f$ et $g$ sont continues en $t$, il existe $\alpha>0$ et $\beta>0$ tels que 

• $|x-t|\leq \alpha$ implique $|f(x)-f(t)|<\varepsilon_1$ et 
• $|x-t|\leq \beta$ implique $|g(x)-g(t)|< \varepsilon_2 $.

(1) Soit $\varepsilon>0$. On prend $\varepsilon_1=\varepsilon_2=\frac \varepsilon 2$.

Ainsi 

• $|x-t|\leq \alpha$ implique $|f(x)-f(t)|<\frac \varepsilon 2$ et 
• $|x-t|\leq \beta$ implique $|g(x)-g(t)|< \frac \varepsilon 2$.

On a d'après l'inégalité triangulaire, 

$$ |(f+g)(t)-(f+g)(x)|= |f(x)-f(t) + g(x)-g(t)|\leq |f(x)-f(t)|+|g(x)-g(t)|$$

Ainsi, pour tout $x$ tel que $|x-t|\leq \min(\beta,\alpha)$, on a 

$$ |(f+g)(t)-(f+g)(x)|\leq \frac \varepsilon 2 + \frac \varepsilon 2=\varepsilon$$

$f+g$ est donc continue en $t$.

(2) Soit $\varepsilon>0$. 

On note $$d(x)= |(fg)(t)-(fg)(x)|= |f(t)g(t) -f(x)g(x)|=|f(t)g(t)-f(t)g(x)+f(t)g(x) -f(x)g(x)|$$

Donc d'après les propriétés de la valeur absolue,

$$d(x)=|(fg)(t)-(fg)(x)|\leq  |f(t)g(t)-f(t)g(x)|+|f(t)g(x) -f(x)g(x)|=|f(t)|\cdot |g(t)-g(x)|+ |g(x)|\cdot|f(t)-f(x)|$$

On prend $\varepsilon_2=\frac  \varepsilon {2|f(t)|}$ si $f(t)\neq 0$, 

et l'on précisera $\varepsilon_1$ plus tard.

$\varepsilon_2=1$ si $f(t)=0$, et dans ce cas, on a juste $d(x)=|g(x)|\cdot|f(t)-f(x)|$.

Dans tous les cas, d'après les propriétés de la valeur absolue si

$$|g(x)|-|g(t)|\leq |g(x)-g(t)|\leq \varepsilon_2 $$ 

alors 

$$|g(x)|\leq \varepsilon_2 +|g(t)|$$

et donc 

$$d(x)\leq  |f(t)|\cdot \varepsilon_2+ \left( \varepsilon_2 +|g(t)|\right)\cdot|f(t)-f(x)|$$

Prenons $\varepsilon_1=\frac \varepsilon { 2\left( \varepsilon_2 +|g(t)|\right)}$. 

Ainsi, pour tout $x$ tel que $|x-t|\leq \min(\beta,\alpha)$, on a 

$$|(fg)(t)-(fg)(x)|=d(x)\leq |f(t)|\cdot \varepsilon_2+ \left( \varepsilon_2 +|g(t)|\right)\cdot|f(t)-f(x)| \leq |f(t)|\times \frac  \varepsilon {2|f(t)|}+\left( \varepsilon_2 +|g(t)|\right)\varepsilon_1 $$

D'où

$$|(fg)(t)-(fg)(x)| \leq \frac{\varepsilon}{2}+\left( \varepsilon_2 +|g(t)|\right)\times\frac 1 { 2\left( \varepsilon_2 +|g(t)|\right)}\varepsilon$$

On a montré que $fg$ était continue en $t$. 

Et ensuite ?

Nous verrons plus tard la notion de continuité sur un intervalle, c'est-à-dire la continuité en tout point d'un intervalle.

Valeur absolue d'un réel

Définition

Soit $x$ un nombre réel, la valeur absolue de $x$ notée $\left| x \right|$ est définie par 

$$\left| x \right|=\left\{\begin{array}{lrc} x &\textrm{si}& x\geq 0\\ -x&\textrm{si}& x\leq 0\end{array}\right. $$

On remarque que cette définition est cohérente car $x=0$ si et seulement si $x=-x $, et $\left| x \right|=0 $ si et seulement si $x=0$

$\left| x \right| $ est aussi appelé la distance de $x$ à zéro. On le comprend en regardant le dessin suivant : 

Le dessin illustre que $\left|-4 \right|=\left|4 \right|=4 $. La distance de 4 à zéro et la distance de -4 à zéro sont identiques, elles valent 4.

On remarque aussi assez rapidement que pour tout réel $x$, 

$$\left|-x \right|=\left|x \right| $$

Propriété 1.

(1a) Soit $a$ un nombre réel positif ou nul, alors 

$$\left| x \right| = a \Longleftrightarrow x=a\ \textrm{ou}\ x=-a $$

(1b) Soit $x,y$ deux réels, alors $\left| x \right| = \left| y \right|$ si et seulement si $x=y $ ou $x=-y$. 

Démonstration. 

(1a) Si $x\geq 0 $, on a $x=a$ et si $x\leq 0$, $-x=a$ d'où $x=-a$.

(1b) Si $x\geq 0$, d'après le (1a), $\left| y\right| = \left| x\right|=x$ si et seulement si $y=x $ ou $y=-x$

Si $x\leq 0$, d'après le (1a), $\left| y\right| = \left| x\right|=-x$ si et seulement si $y=-x $ ou $y=-(-x)=x$.

Dans les deux cas on a $x=y $ ou $x=-y$.

La fonction valeur absolue

La fonction valeur absolue a la représentation suivante : elle est affine par morceaux. 

Exemples d'équations avec des valeurs absolues

Exemple 1. Résoudre $\left| x-2 \right| = 5 $.

D'après le 1, on a 

$$x-2=5 \ \textrm{ou}\ x-2=-5  $$

D'où 

$$x=7 \ \textrm{ou}\ x=-3 $$

Donc les solutions sont $-3$ et $7$.

Exemple 2.  Résoudre $\left| x-2 \right| = \left|-x+3 \right| $.

D'après le (1.b), cette équation équivaut à $$x-2=-x+3\ \textrm{ou} x-2=x-3 $$.

La première de ces deux dernières équations a pour unique solution $x=\frac 5 2$ et la deuxième n'a pas de solution. Donc $\frac 5 2$ est l'unique solution de l'équation proposée.

Nous verrons peut-être d'autres équations avec des valeurs absolues dans un autre article.

Inégalité triangulaire

Nous avons deux propriétés. La première est appelé l'inégalité triangulaire. On comprend mieux cette dénomination lorsqu'on s'intéresse à la généralisation pour les nombres complexes de cette propriété, mais ce sera l'objet d'un autre article.

Propriété 2. Si $x$ et $y$ sont deux réels, alors on a 

$$\left| x+y \right|\leq \left|x \right| + \left|y \right|$$

Démonstration. Cela revient à montrer que 

$$f(x,y)= \left|x \right| + \left|y \right|-\left| x+y \right|\geq 0$$

On a quatre possibilités pour $f(x,y)$ (case jaunes dans le tableau ci-dessous) en fonction des signes de $x$  et $y$.

Après simplification, on pour $f(x,y) $, en jaune, 

Dans tous les cas, le résultat obtenu est positif ou nul. On en déduit le résultat.

Propriété 3. Soit $a$ et $b$ deux nombres réels, on a 

$$\left| \left| a\right|-\left| b\right|\right|\leq \left| a - b\right| $$

Démonstration. Posons $x=a-b $ et $y=b$. D'après la propriété 1, on a 

$\left|a-b +b \right|\leq \left|a-b \right| + \left|b \right|$, c'est-à-dire

$\left|a \right|\leq \left|a-b \right| + \left|b \right| $. 

On en déduit que $\left|a \right|- \left|b \right| \leq \left|a-b \right|  $.

De la même façon $\left|b \right|- \left|a \right| \leq \left|b-a \right|=\left|a-b \right|  $.

$\left| \left|a \right|- \left|b \right| \right|$ étant égal à $\left|a \right|- \left|b \right|$ ou $\left|b \right|- \left|a \right|$, on a bien

$$\left| \left| a\right|-\left| b\right| \right|\leq \left| a - b\right| $$

Propriété 5. (1) Soit $x$ et $y$ deux réels. Alors $\left| x y \right|=\left| x \right|\times \left|y \right| $

(2) Pour tout entier naturel $n$, et pour tout réel $x$, on $\left| x^n\right|=\left|x \right|^n$

Preuve. 

(1) Si $x$ et $y$ sont de même signe $xy$ est positif donc $\left| xy\right| = xy =(-x)(-y)$. Qu'ils soient tous deux positifs ou tous deux négatifs, c'est donc $\left|x\right| \times \left| y \right|$.

Si $x$ et $y$ sont de signes opposés, disons $x<0<y$, on a $xy=-\left| x \right|\times \left|y \right|<0 $ donc 

$\left| x y \right| = \left| x \right|\times \left|y \right|$. 

(2) On fait une récurrence sur $n$ en utilisant le (1).

Et après

Pour les nombres complexes, la valeur absolue se généralise, on obtient le module.