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dimanche 1 octobre 2023

Règles sur les limites de suites

Nous avons déjà vu dans [Divergence, suite bronée] et [Toute suite convergente est bornée, somme et produit de suites convergentes, inverse d'une suite convergente], [limite "+" et limites "-"] quelques règles sur les limites de suites : 

Propriétés

Propriété 1. Soient (u_n) une suite réelle, et x un réel non-nul.

(1.a) Si \lim_n u_n =x , alors la suite (\frac 1 {u_n}) est définie à partir d'un certain rang et \lim_n \frac 1 {u_n} = \frac 1 x

(1.b) Si \lim_n u_n =+\infty, alors  alors la suite (\frac 1 {u_n}) est définie à partir d'un certain rang et \lim_n\frac 1 {u_n} = 0^+ 

(1.c) Si \lim_n u_n =-\infty, alors  alors la suite (\frac 1 {u_n}) est définie à partir d'un certain rang et \lim_n\frac 1 {u_n} = 0^-

(1.d) Si \lim_n u_n =0^+, alors  alors la suite (\frac 1 {u_n}) est définie à partir d'un certain rang et \lim_n\frac 1 {u_n} =+\infty

(1.e) Si \lim_n u_n =0^-, alors  alors la suite (\frac 1 {u_n}) est définie à partir d'un certain rang et \lim_n\frac 1 {u_n} =-\infty


Propriété 2. Soient (u_n) et (w_n) deux suites, et x, y des réels. 

(2.a) Si \lim_n u_n =x et \lim_n w_n=y, alors 

  • \lim_n u_n+w_n =x+y
  • \lim_n u_n w_n = x y

De plus si y\neq 0, la suite \left(\frac{u_n}{w_n} \right) est définie à partir d'un certain rang et 

  • \lim_n \frac{u_n}{w_n}=\frac x y

(2.b) Si \lim_n u_n = +\infty et \lim_n w_n = + \infty, alors \lim_n u_n+w_n =+\infty

(2.c) Si \lim_n u_n = -\infty et \lim_n w_n = - \infty, alors \lim_n u_n+w_n =-\infty

(2.d) Soient \sigma et \eta les signes + ou -. Si \lim_n u_n = \sigma \infty et \lim_n w_n = \eta \infty alors \lim_n u_n w_n = \sigma \eta \infty avec la règle ++=--=+, +-=-+=-.

(2.e) Si \lim_n u_n = \sigma \infty (avec \sigma=+ ou -) et \lim_n v_n=x, avec x>0, alors  \lim_n u_n w_n = \sigma\infty 

(2.f) Si \lim_n u_n = \sigma \infty (avec \sigma= + ou -) et \lim_n w_n=x, avec x<0, alors \lim_n u_n w_n = -\sigma\infty avec les règles de signes décrites au (2.d).

(2.g) Si \lim_n u_n =\sigma \infty (avec \sigma= + ou -)  et \lim_n w_n=x, avec x réel non-nul, alors \lim u_n+ w_n =\sigma \infty


Démonstration. Tout a déjà été démontré dans les articles précédents sauf le (2.e), (2.f) et le (2.g).  

Commençons par le (2.e). Nous traiterons uniquement le cas \lim_n u_n = + \infty (le cas \lim_n u_n = - \infty se traitant de manière identique). 

Soit A>0, alors il existe N=N_A tel que n\geq N implique u_n>\frac A x d'où u_n w_n> A

Nous en déduisons la convergence de u_n w_n vers +\infty.

La cas (2.f) peut se faire de la même manière.

Pour (2.g), nous ne traiterons que le cas \lim_n u_n = +\infty . Alors dans ce cas, pour tout A>0, il existe un N=N_A tel que n\geq N implique u_n\geq A-x, et donc u_n+w_n>A. On en déduit que \lim_n u_n +w_n = +\infty.


Remarques. Dans certains cas, il n'existe pas de règle. 

Par exemple si u_n=n^2 et si w_n=-n, u_n+w_n=n^2-n=n^2\left(1-\frac 1 n \right) aura pour limite +\infty.

En effet : 

  1. \lim_n \frac 1 n =0 donc \lim_n 1-\frac 1 n=1. Ainsi \lim u_n+w_n = +\infty .
  2. \lim_n u_n=+\infty, \lim_n w_n =-\infty et \lim_n u_n +w_n=+\infty

Dans d'autres cas, on peut avoir \lim_n u_n+w_n=0 ou \lim_n u_n+w_n=-\infty ou \lim_n u_n+w_n=\frac 1 2........ toujours avec \lim_n u_n=+\infty et \lim_n w_n = -\infty. On dit que "+\infty-\infty" est une forme indéterminée (F.I). 


On peut donc définir des opérations sur les limites, mais il y a des exceptions (*F.I.). Les voici regroupées dans les tableaux ci-dessous :

Tableaux récapitulatifs

Somme



Produit


Quotient




Les règles qui n'ont pas été démontrées sont laissées au lecteur à titre d'exercice.



Formes indéterminées

Lorsque l'on ne peut pas utiliser une des règles sur les limites, c'est-à-dire dans le cas d'une F.I., on doit trouver d'autres moyens de déterminer les limites. 


On pourra se reporter aux articles suivants (en cours de rédaction) :

[1] Suites polynomiales et suites rationnelles

[2] Propriétés de convergence de suites réelles 

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