Suites polynomiales et suites rationnelles

 Cet article fait suite à :

[1] Limite d'une suite

[2] Divergence, suite bornée

[3] Toute suite convergente est bornée, somme et produit de suites convergentes, inverse d'une suite convergente

[4] Limite "+" et limite "-" (convergence par valeurs inférieures et par valeurs supérieures)

[5] Règles sur les limites de suites

Suites polynomiales

Soit $(u_n)$ une suite telle qu'il existe un entier $k>$ tel que pour tout entier naturel $n$, on a 

$$(\ast) \ \ \ u_n=a_0+a_1n+\ldots+a_kn^k$$

où $a_0,\ldots,a_k$ sont des réels, et $a_k\neq 0$.

Nous dirons alors que $(u_n)$ est une suite polynomiale.

Commençons par un lemme dont la démonstration est laissée au lecteur (récurrence).

Lemme. Soit $(u_{1,n})$, $(u_{2,n})$, \ldots, $(u_{k,n})$ $k$ suites ayant pour limites respectives des réels $x_1,\ldots,x_k$. Alors la suite $(w_n)$ définie par 

$w_n=u_{1,n}+u_{2,n}+\ldots+u_{k,n}$ converge et a pour limite $x_1+\ldots+x_k$.

Voici maintenant la propriété sur les suites polynomiales.

Propriété 1. Soit $(u_n)$ une suite polynomiale comme dans $(\ast)$. Alors $\lim_n u_n = \lim_n a_k n^k$

Démonstration. Pour tout $n>0$, nous avons 

$$u_n=a_0+a_1n+\ldots+a_kn^k=\left(\frac{a_0}{a_k}\frac 1 {n^k}+\frac{a_1}{a_k}\frac 1 {n^{k-1}}+\ldots+1 \right)a_k n^k$$

Or pour tout entier $i$, telm que $0\leq i \leq k-1$, 

$$\lim_n \frac{a_i}{a_k}\frac 1 {n^{k-i}} = 0$$

d'après l'exemple de [Toute suite convergente est bornée, somme et produit de suites convergentes, inverse d'une suite convergente], et la propriété qui le précède, avec $\lambda=\frac{a_i}{a_k}$.

On en déduit d'après le lemme ci-dessus, 

$$\lim_n \frac{a_0}{a_k}\frac 1 {n^k}+\frac{a_1}{a_k}\frac 1 {n^{k-1}}+\ldots+1 =1$$

On en déduit que 

$$\lim_n u_n=\lim_n \left(\frac{a_0}{a_k}\frac 1 {n^k}+\frac{a_1}{a_k}\frac 1 {n^{k-1}}+\ldots+1 \right)a_k n^k = \pm \infty$$

avec $\pm=+$ si $a_k>0$ et $\pm=-$ si $a_k<0$. Dans tous les cas, $\lim_n u_n = \lim_n a_k n^k$.

Suites rationnelles

Soit $(u_n)$ une suite définie à partir d'un rang $r$ par 

$$(\ast\ast) \ \ \ \ u_n=\frac{a_0+ a_1n + \ldots + a_k n^k}{b_0+ b_1n + \ldots + b_p n^p}$$

telle que : 

$a_0,\ldots,a_k$, $b_0,\ldots,b_p$ sont des réels avec 

• $a_k\neq 0$ et 
• $b_p\neq 0$, 
• $b_0+ b_1n + \ldots + b_p n^p\neq 0$ à partir du rang $r$.

Nous dirons qu'une telle suite $(u_n)$ est une suite rationnelle. Une suite rationnelle n'est rien d'autre qu'un quotient de suites polynomiales.

Propriété 2. Soit une suite rationnelle $(u_n)$ comme dans $(\ast\ast)$. 

Alors 

$$\lim_n u_n = \lim_n \frac{a_k n^k }{b_p n^p}=\lim_n \frac{a_k}{b_p}n^{k-p}$$

Démonstration. Tout d'abord écrivons  pour tout $n\geq max(r,0)$ :

$$u_n=\frac{a_kn^k\left(1+\ldots+\frac{a_1}{a_k}\frac 1 {n^{k-1}}+\frac{a_0}{a_k}\frac 1{n^k} \right)}{b_p n^p\left(1+\ldots+\frac{b_1}{b_p}\frac 1 {n^{p-1}}+\frac{b_0}{b_p}\frac 1{n^p}\right)}=\frac{a_k}{b_p}n^{k-p}\times \frac{1+\ldots+\frac{a_1}{a_k}\frac 1 {n^{k-1}}+\frac{a_0}{a_k}\frac 1{n^k} }{1+\ldots+\frac{b_1}{b_p}\frac 1 {n^{p-1}}+\frac{b_0}{b_p}\frac 1{n^p}}$$

Trois cas sont possibles, d'après les articles [Divergence, suite bornée] et [Toute suite convergente est bornée, somme et produit de suites convergentes, inverse d'une suite convergente], nous avons

(1) Si $k-p>0$, alors $\lim_n n^{k-p}=+\infty$

(2) Si $k-p=0$, alors $n^{k-p}=n^0=1$ d'où $\lim_n n^{k-p}=1$

(3) Si $k-p<0$, alors $n^{k-p}=0$

Comme dans la démonstration de la propriété 6, nous avons :

$$(a) \ \ \ \lim_n 1+\ldots+\frac{a_1}{n^{k-1}}+\frac{a_0}{n^k} =1$$

$$(b)\ \ \ \lim_n 1+\ldots+\frac{b_1}{n^{p-1}}+\frac{b_0}{n^p}= 1$$

D'où $$\lim_{n}\frac{1+\ldots+\frac{a_1}{a_k}\frac 1 {n^{k-1}}+\frac{a_0}{a_k}\frac 1{n^k} }{1+\ldots+\frac{b_1}{b_p}\frac 1 {n^{p-1}}+\frac{b_0}{b_p}\frac 1{n^p}} =1$$

On en déduit que  : 

dans le cas (2), $\lim_{n} u_n =1$

dans le cas (1), d'après l'article [Règles sur les limites], $(u_n)$ converge respectivement vers $+\infty$ si $\frac{a_k}{b_p}>0$ et vers $-\infty$ si $\frac{a_k}{b_p}<0$

dans le cas (3), d'après l'article [Règles sur les limites], $(u_n)$ converge respectivement vers $0^+$  si $\frac{a_k}{b_p}>0$ et vers $0^-$ si $\frac{a_k}{b_p}<0$.

Dans tous les cas, la limite de $(u_n)$ est la même que la limite de $\frac{a_k n^k}{b_p n^p}$.

Exemple.

La suite $u_n=\frac{3n^7-2n^2+n}{-6n^3-n}$ a pour limite $\lim_{n}\frac{3n^7}{-6n^3}=\lim_n -\frac 1 2 n^4 =-\infty$.