Nous avons déjà vu dans [Divergence, suite bronée] et [Toute suite convergente est bornée, somme et produit de suites convergentes, inverse d'une suite convergente], [limite "+" et limites "-"] quelques règles sur les limites de suites :
Propriétés
Propriété 1. Soient $(u_n)$ une suite réelle, et $x$ un réel non-nul.
(1.a) Si $\lim_n u_n =x $, alors la suite $(\frac 1 {u_n})$ est définie à partir d'un certain rang et $\lim_n \frac 1 {u_n} = \frac 1 x$
(1.b) Si $\lim_n u_n =+\infty$, alors alors la suite $(\frac 1 {u_n})$ est définie à partir d'un certain rang et $\lim_n\frac 1 {u_n} = 0^+$
(1.c) Si $\lim_n u_n =-\infty$, alors alors la suite $(\frac 1 {u_n})$ est définie à partir d'un certain rang et $\lim_n\frac 1 {u_n} = 0^-$
(1.d) Si $\lim_n u_n =0^+$, alors alors la suite $(\frac 1 {u_n})$ est définie à partir d'un certain rang et $\lim_n\frac 1 {u_n} =+\infty$
(1.e) Si $\lim_n u_n =0^-$, alors alors la suite $(\frac 1 {u_n})$ est définie à partir d'un certain rang et $\lim_n\frac 1 {u_n} =-\infty$
Propriété 2. Soient $(u_n)$ et $(w_n)$ deux suites, et $x$, $y$ des réels.
(2.a) Si $\lim_n u_n =x$ et $\lim_n w_n=y$, alors
- $\lim_n u_n+w_n =x+y$
- $\lim_n u_n w_n = x y$
De plus si $y\neq 0$, la suite $\left(\frac{u_n}{w_n} \right) $ est définie à partir d'un certain rang et
- $\lim_n \frac{u_n}{w_n}=\frac x y$
(2.b) Si $\lim_n u_n = +\infty$ et $\lim_n w_n = + \infty$, alors $\lim_n u_n+w_n =+\infty$
(2.c) Si $\lim_n u_n = -\infty$ et $\lim_n w_n = - \infty$, alors $\lim_n u_n+w_n =-\infty$
(2.d) Soient $\sigma$ et $\eta$ les signes $+$ ou $-$. Si $\lim_n u_n = \sigma \infty$ et $\lim_n w_n = \eta \infty$ alors $\lim_n u_n w_n = \sigma \eta \infty$ avec la règle $++=--=+$, $+-=-+=-$.
(2.e) Si $\lim_n u_n = \sigma \infty$ (avec $\sigma=+$ ou $-$) et $\lim_n v_n=x$, avec $x>0$, alors $\lim_n u_n w_n = \sigma\infty$
(2.f) Si $\lim_n u_n = \sigma \infty$ (avec $\sigma=$ $+$ ou $-$) et $\lim_n w_n=x$, avec $x<0$, alors $\lim_n u_n w_n = -\sigma\infty$ avec les règles de signes décrites au (2.d).
(2.g) Si $\lim_n u_n =\sigma \infty$ (avec $\sigma=$ $+$ ou $-$) et $\lim_n w_n=x$, avec $x$ réel non-nul, alors $\lim u_n+ w_n =\sigma \infty$
Démonstration. Tout a déjà été démontré dans les articles précédents sauf le (2.e), (2.f) et le (2.g).
Commençons par le (2.e). Nous traiterons uniquement le cas $\lim_n u_n = + \infty$ (le cas $\lim_n u_n = - \infty$ se traitant de manière identique).
Soit $A>0$, alors il existe $N=N_A$ tel que $n\geq N$ implique $u_n>\frac A x$ d'où $u_n w_n> A$.
Nous en déduisons la convergence de $u_n w_n$ vers $+\infty$.
La cas (2.f) peut se faire de la même manière.
Pour (2.g), nous ne traiterons que le cas $\lim_n u_n = +\infty $. Alors dans ce cas, pour tout $A>0$, il existe un $N=N_A$ tel que $n\geq N$ implique $u_n\geq A-x$, et donc $u_n+w_n>A$. On en déduit que $\lim_n u_n +w_n = +\infty$.
Remarques. Dans certains cas, il n'existe pas de règle.
Par exemple si $u_n=n^2$ et si $w_n=-n$, $u_n+w_n=n^2-n=n^2\left(1-\frac 1 n \right)$ aura pour limite $+\infty$.
En effet :
- $\lim_n \frac 1 n =0$ donc $\lim_n 1-\frac 1 n=1$. Ainsi $\lim u_n+w_n = +\infty $.
- $\lim_n u_n=+\infty$, $\lim_n w_n =-\infty$ et $\lim_n u_n +w_n=+\infty$
Dans d'autres cas, on peut avoir $\lim_n u_n+w_n=0$ ou $\lim_n u_n+w_n=-\infty$ ou $\lim_n u_n+w_n=\frac 1 2$........ toujours avec $\lim_n u_n=+\infty$ et $\lim_n w_n = -\infty$. On dit que $"+\infty-\infty"$ est une forme indéterminée (F.I).
On peut donc définir des opérations sur les limites, mais il y a des exceptions (*F.I.). Les voici regroupées dans les tableaux ci-dessous :
Tableaux récapitulatifs
Somme
Produit
Quotient
Les règles qui n'ont pas été démontrées sont laissées au lecteur à titre d'exercice.
Formes indéterminées
Lorsque l'on ne peut pas utiliser une des règles sur les limites, c'est-à-dire dans le cas d'une F.I., on doit trouver d'autres moyens de déterminer les limites.
On pourra se reporter aux articles suivants (en cours de rédaction) :
[1] Suites polynomiales et suites rationnelles
[2] Propriétés de convergence de suites réelles