$\mathbb N$ (5) Minimum d'un ensemble d'entiers naturels

Dans cet article, on présente le minimum de deux puis de plusieurs éléments, et enfin le minimum d'une ensemble d'entiers naturel. C'est un élément de cet ensemble inférieur ou égal à tous les autres éléments de cet ensemble.

L'existence d'un minimum pour chaque sous-ensemble de $\mathbb N$ nous permettra de montrer que toute suite décroissante d'entiers est stationnaire ou encore qu'il n'existe aucune suite strictement décroissante d'entier naturel. C'est le principe de descente infinie de Fermat.

Minimum de deux éléments

Soit $a$, $b$ dans $\mathbb N$. Puisque la relation d'ordre de $\mathbb N$ est totale, on a $a\leq b$ ou $b \leq a$. Si $a\leq b$, $a$ est appelé minimum de $a$ et de $b$ et $b$ est appelé le maximum  de $a$ et de $b$.

Sinon, $b$ est le minimum de $a$ et de $b$ et $a$ est le maximum de $a$ et de $b$.

Le minimum de $a$ et de $b$ est noté $\min (a,b)$ et le maximum de $a$ et de $b$ est noté $\max(a,b)$.

Dans tous les cas, on a 

$$\min(a,b)\leq a \leq \max(a,b)\ \textrm{et}\  \min(a,b)\leq b \leq \max(a,b)$$

Clairement, $\min(a,b)=\min(b,a)$ et $\max(a,b)=\max(b,a)$.

Soit $E\subset \mathbb N$ un ensemble composé d'entiers naturels. 

Propriété 1. 

Pour tous $a,b,c$ dans $\mathbb N$, on a $\min(a,\min(b,c))=\min(\min(a,b),c)$.

Preuve. 

Soit $m_a=\min(b,c)$ et $m=\min(a,m_a)$. Alors $m_a\leq b$ et $m_a\leq c$. Comme $m\leq m_a$, $m\leq b$ et $m\leq c$. 

Ainsi $m\leq a$ et  $m\leq b$.

Si $m=c$, alors $m=\min(\min(a,b),c)$.

Sinon, $m=a$ ou $m=b$, donc $m=\min(a,b)$. Comme de plus $m\leq c$, $m = \min(\min(a,b),c)$. 

On dira que le minimum de $E$ existe s'il existe un entier $m\in E$, tel que pour tout $a\in E$, $m\leq a$. On notera dans ce cas $m=\min (E)$. 

On dit aussi que $\min(E)$ est le plus petit élément de $E$.

Dans le cas où $E$ est un sous-ensemble fini de cardinal $r$ de $\mathbb N$, alors $E=\left\{a_1,a_2,\ldots,a_r \right\}$. Si le minimum de $E$ existe, on le note $\min(a_1,a_2,\ldots,a_r)$.

Propriété 2. 

Si $a_1,a_2,\ldots,a_r$ sont $r$ entiers naturels, alors $\min(a_1,a_2,\ldots, a_r)$ existe. 

Preuve. 

Si $r=1$ ou si $r=2$, il n'y a rien à montrer.

Supposons que $m=\min(a_1,a_2,\ldots, a_r)$ existe, alors il existe $i\in\left\{1,2,\ldots,r \right\}$ tel que $m=a_i$. On pose $\mu=\min(m,a_{r+1})$.

Alors $m=a_i$ ou $m=a_{r+1}$ et pour tout $1\leq k\leq r+1$, $m\leq a_k$ donc $m=\min(a_1,\ldots,a_r,a_{r+1})$. 

Par récurrence, on a montré que pour tout $r$, et pour tous entiers  $a_1,a_2,\ldots,a_r$, $\min(a_1,a_2,\ldots, a_r)$ existe. 

Propriété 3. 

Soit $E$ un sous-ensemble de $\mathbb N$. 

Alors $E$ admet un minimum. 

Démonstration. Soit $a\in E$. On note 

$$E(a)=\left\{n\in E | n\leq a \right\}$$

Alors $E(a)\subset E_a=\left\{1,2,\ldots,a \right\}=\left\{n\in \mathbb N | n\leq a\right\}$. On en déduit (voir ....) que $E(a)$ est de cardinal fini. Ainsi $E(a)$ possède un minimum $m$. Par définition de $m$, $m\leq a$. 

Soit $n\in E$. Si $n\not ìn E(a)$, alors $m\leq a \leq n$. 

Ainsi pour tout $n\in E$, $m\leq n$ et $m=\min(E)$.

Suite stationnaire

Soit $E$ un ensemble.

Si $u:\mathbb N \rightarrow E$ est une fonction, on dit que c'est une suite. Généralement, on note les suites $u$ ou $(u_n)_{n\in \mathbb N}$, ou plus simplement $(u_n)$.

Les éléments des la suites sont les images de la fonction $u$, c'est-à-dire les nombres $u(n)$ pour $n\in\mathbb N$. Généralement, on note $u_n=u(n)$ les termes d'une suite $u$.

Si $E=\mathbb N$, on dit que $(u_n)$ est une suite d'entiers. 

On dit qu'une suite d'entiers $(u_n)$ est stationnaire s'il existe un entier $r\in \mathbb N$ tel que pour tout $n\geq r$, $u_n=u_r$.

On peut aussi dire que la suite est constante à partir du rang $r$.

Suite décroissante. Descente infinie

On dit qu'une suite $(u_n)$ d'entiers est décroissante si pour tout $n\in\mathbb N$, on a $u_{n+1}\leq u_n$. 

Propriété 4. 

Toute suite d'entiers décroissante est stationnaire. 

Preuve. 

Soit $E=u(\mathbb N)=\left\{u_n| n\in \mathbb N \right\}$ l'image de $\mathbb N$ par $u$. 

D'après la propriété 3, $E$ possède un minimum $m$. Il existe donc un élément $r\in \mathbb N$ tel que $u_r=m$. 

En utilisant le fait que $(u_n)$ est décroissante, montrons par récurrence que pour tout $n\geq r$, $u_n\leq m$. Comme $n\geq r$, il existe $k$ tel que $n=r+k$. 

Initialisation. Si $k=0$, $n=r+0$, et on a bien $u_n=u_r=m\leq m$.

Hérédité. Supposons que si $n=r+k$, on a $u_{r+k}\leq m$. Alors $u_{r+k+1}\leq u_{r+k}\leq m$ car $(u_n)$ est décroissante. 

Ainsi on obtient que pour tout $n\geq r$, $u_n\leq m$.

Or il n'existe aucun indice $n$ tel que $u_n<m$. En effet si c'était le cas, cela voudrait dire que $m$ n'est pas le minimum de $E$. Ainsi pour tout $n\geq r$, $u_n=m$.

Remarque. Dans la démonstration, l'entier $r$ n'est pas nécessairement optimal dans le sens où il pourrait y avoir un entier $r_0<r$ tel que pour tout $n\geq r_0$, $u_n=m$. 

On peut trouver le plus petit entier pour lequel $u_n=r$, c'est le minimum de l'ensemble $F=\left\{n \in\mathbb N u_n=r \right\}$ qui est un sous-ensemble de $\mathbb N$.

On dit qu'une suite d'entier est strictement décroissante si pour tout entier $n\in\mathbb N$, $u_{n+1}<u_n$.

Propriété 5.

Il n'existe pas de suite strictement décroissante d'entiers naturels.

Preuve. 

Supposons qu'il existe une telle suite. Par définition une suite strictement décroissante est décroissante. Ainsi par la propriété 4, il existe un rang $r$ tel que pour tout $n\geq r$, $u_n=u_r$. Mais comme $(u_n)$ est strictement décroissante, on a en particulier $u_{r+1}<u_r$ contredisant le fait que pour tout $n\geq r$, $u_n=u_r$.

Et ensuite

Dans un article ultérieur, on montrera grâce à l'existence du minimum d'un ensemble d'entier que $\sqrt 2$ n'est pas un nombre rationnel.