Le but de cette série d'articles est de revoir la géométrie du plan de niveau collège/lycée en considérant les points comme des couples de rééls. Nous y reverrons les axiomes et les propriétés de la géométrie euclidienne en les démontrant.
Dans ce premier article, nous définissons le plan comme l'ensemble des couples $(x,y)\in\mathbb R^2=\mathbb R \times \mathbb R$. Ensuite, nous définissons les droites et les vecteurs.
Les points
Le plan est l'ensemble $\mathbb R \times \mathbb R$ et ses éléments sont appelés les points. Les points $M$ sont donc les couples $(x;y)$ avec $x,y$ réels.
On note $M=(x;y)$ ou $M\ (x;y)$ et l'on dit que $x$ et $y$ sont respectivement l'abscisse et l'ordonnée de $M$.
Par exemple, sur la figure ci-dessous, le point on représente le point $A$ de coordonnées $(1;3)$.
Vecteurs et représentation paramétriques
Un vecteur $\overrightarrow u $ est un couple $\binom{a}{b}$ où $a,b$ sont des nombres réels.
Les vecteurs sont, comme les points, des éléments de $\mathbb R^2$, mais nous devons nous les représenter de manière différente. On dit que $a,b$ sont les coordonnées de $\overrightarrow u$ et l'on note alors $\overrightarrow u\ \binom a b$.
Par exemple, sont représentés ci-dessous le vecteur $\overrightarrow u $ (deux représentants) de coordonnées $\binom {-1} 3$ et le vecteur $\overrightarrow w $ de coordonnées $\binom 4 -1$.
Pour un vecteur $\overrightarrow u$, on note ses coordonnées $\binom{x_{\overrightarrow u}}{y_{\overrightarrow u}}$.
Un vecteur peut être représenté visuellement comme une flèche, c'est-à-dire un objet ayant une direction, un sens et une longueur (nous y reviendrons dans un prochain article). Un vecteur peut être représenté de différentes manières comme on peut le voir sur la figure précédente.
On définit sur $\mathbb R^2$ l'opération $+$ de la manière suivante. Pour tout $\overrightarrow u \ \binom a b $ et $\overrightarrow w \ \binom c d$ :
$$\overrightarrow u + \overrightarrow w\ \binom{a+c}{b+d} $$
On laisse au lecteur le soin de vérifier que l'addition est associative et commutative. De plus le vecteur nul défini par $\overrightarrow 0\ \binom 0 0$ est l'unique élément neutre de $\mathbb R^2$ en tant qu'espace vectoriel (espace de vecteurs).
On définit sur l'espace des vecteurs $\mathbb R^2$ la multiplication par les scalaires, c'est-à-dire la multiplication par un élément externe réel. Soit $k\in\mathbb R$ et $\overrightarrow u \ \binom a b $, on note $$k \overrightarrow u \ \binom {ka} {kb} $$
La multiplication par les scalaires se "comporte bien" avec l'addition dans le sens où elle est distributive par rapport à l'addition. Cela se traduit par les deux faits suivants :
Pour tous $k\in\mathbb R$, $\overrightarrow u,\overrightarrow v\in\mathbb R^2 $ : $$k(\overrightarrow u + \overrightarrow v)=k\overrightarrow u + k\overrightarrow v $$
Pour tous $k,t\in \mathbb R$, $\overrightarrow u\in \mathbb R^2$ : $$(k+t)\overrightarrow u=k\overrightarrow u + t\overrightarrow u $$
Ainsi muni de $+$ et de la multiplication par les scalaires, on dit que $\mathbb R^2$ est un espace vectoriel.
Si $A \left(x_A;y_A\right),B \left(x_B;y_B\right)$ sont deux points, alors on définit le vecteur $\overrightarrow{AB}\ \binom{x_B-x_A}{y_B-y_A}$. On le représente comme ci-dessous.
Remarque. $\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA}$.
Propriété 0 (Relation de Chasles).
Si $A,B,C$ sont trois points, on a $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$.
Preuve.
En effet $x_C-x_A=x_C-x_B+x_B-x_A$ et $y_C-y_A=y_C-y_B+y_B-y_A$.
Vecteurs colinéaires
On dit que deux vecteurs $\overrightarrow u$ et $\overrightarrow v$ sont colinéaires s'il existe un réel non nul $k$ tel que $\overrightarrow u = k \overrightarrow v$.
On peut vérifier que pour les vecteurs la colinéarité est une relation d'équivalence. En particulier, c'est une relation symétrique car si $\overrightarrow u = k \overrightarrow v$, on a $\overrightarrow v = \frac 1 k \overrightarrow u$
Droite dirigée par un vecteur
Soit $A \ \left(x_A;y_A\right)$ un point du plan et $\overrightarrow u\ \binom a b$ un vecteur non nul (ie tel que $a$ et $b$ ne soient pas tous deux nuls). Alors l'ensemble des points $M\ (x;y)$ tels que $M=A$ ou tels que $\overrightarrow{AM}$ est colinéaire à $\overrightarrow u$ est appelée une droite.
On dit que c'est la droite passant par $A$ et dirigée par $\overrightarrow u $. $\overrightarrow u$ est alors appelé vecteur directeur de cette droite.
La droite passant par $A$ et dirigée par $\overrightarrow u$ est donc composée des points $M\ (x;y)$ tels qu'il existe $k\in \mathbb R $, tels que $\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow u $, puisque le cas $A=M$ correspond au cas où $k=0$.
On note $\mathcal D(A,\overrightarrow u)$ le droite passant par $A$ et dirigée par $\overrightarrow u$.
Remarques.
(1) Si $B\in \mathcal D(A,\overrightarrow u)$, alors $\mathcal D(A,\overrightarrow u)=\mathcal D(B,\overrightarrow u)$
(2) Si $\overrightarrow v=\alpha \overrightarrow u$ avec $\alpha\in \mathbb R$, $\alpha\neq 0$ alors, $\mathcal D(A,\overrightarrow u)=\mathcal D(A,\overrightarrow v)$.
Preuves.
(1) On a $\overrightarrow{AB}=t \overrightarrow{u}$ pour un certain $t\in\mathbb R$. Si $t=0$, $A=B$ donc $\mathcal D(A,\overrightarrow u)=\mathcal D(B,\overrightarrow u)$.
Supposons $t\neq 0$. Si $M\in \mathcal D(A,\overrightarrow u)$, alors il existe $k\in \mathbb R$ tel que
$\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{u}$. Donc d'après la relation de Chasles, $\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM}=-t\overrightarrow u+k\overrightarrow u=(k-t)\overrightarrow u$, ainsi $M\in \mathcal D(B,\overrightarrow u)$.
On a donc l'inclusion $ \mathcal D(A,\overrightarrow u) \subset \mathcal D(B,\overrightarrow u)$.
De la même façon, comme $\overrightarrow{BA}=-t \overrightarrow{u}$, on montre que si $M\in D(B,\overrightarrow u)$, alors $M\in D(A,\overrightarrow u)$.
D'où $ \mathcal D(B,\overrightarrow u) \subset \mathcal D(A,\overrightarrow u)$.
Pour finir, $ \mathcal D(B,\overrightarrow u) = \mathcal D(A,\overrightarrow u)$
(2) En effet si $\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow v$ et que $v=\alpha \overrightarrow u$, alors $\overrightarrow{AM}=k\alpha \overrightarrow u $. Donc $\mathcal D(A,\overrightarrow v)\subset \mathcal D(A,\overrightarrow u) $. Comme $\overrightarrow u = \frac 1 \alpha \overrightarrow v$, on obtient de même que $\mathcal D(A,\overrightarrow u)\subset \mathcal D(A,\overrightarrow v) $.
On a donc la double inclusion.
Ainsi $M(x;y)\in \mathcal D(A,\overrightarrow u) \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} x-x_A & =&k x_{\overrightarrow u}\\ y-y_A & =& k y_{\overrightarrow u} \end{array}\right.$ avec $k\in\mathbb R$.
Et donc
$$M(x;y)\in \mathcal D(A,\overrightarrow u) \Longleftrightarrow\exists k\in\mathbb R, \ \left\{\begin{array}{ccc} x & =&x_A+k x_{\overrightarrow u}\\ y & =&y_A+ k y_{\overrightarrow u} \end{array}\right. $$
C'est une représentation paramétrique de paramètre $k$ de la droite $\mathcal D(A,\overrightarrow u)$.
Propriété 1.
Si $A,B$ sont deux points distincts, alors il existe une unique droite passant par $A$ et $B$. On note cette droite $(AB)$.
Démonstration.
On considère la droite $\mathcal D$ passant par $A$ et dirigée par $\overrightarrow{AB}$. Clairement $B\in\mathcal D$ car $\overrightarrow {AB}= 1 \overrightarrow{AB}$.
Supposons que $\mathcal D'$ est une droite passant par $A$ et par $B$. Montrons que $\mathcal D'$ est $\mathcal D$. Comme $A\in\mathcal{D'}$, d'après la remarque (1) précédente, on peut supposer que tel que $\mathcal D'=\mathcal D(A,\overrightarrow u)$ pour un certain vecteur $\overrightarrow u$. Comme $B\in\mathcal D'$, $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow u$ pour un certain $k\in \mathbb R$. Comme $A\neq B$, $k\neq 0$, et d'après la remarque 2 précédente, $\mathcal D'=\mathcal D(A;\overrightarrow{AB})=\mathcal D$.
Propriété 2.
Pour toute droite $\mathcal D$, il existe des réels $a,b,c$ avec $a,b$ non tous deux nuls tels que $ax+by+c=0$. Plus précisément, si $\overrightarrow u$ dirige $\mathcal D$, on peut prendre $a=-x_{\overrightarrow u}$ et $b=y_{\overrightarrow u}$.
Démonstration.
Notons $a=-y_{\overrightarrow u}$ et $b=x_{\overrightarrow u}$. Soit $A\in \mathcal D$. Choisissons $c$ de sorte que $ax_A+by_A+c=0$, c'est-à-dire tel que $c=y_{\overrightarrow u}x_A-x_{\overrightarrow u}y_A$.
Soit $M\ (x;y)$ un point de $\mathcal{D}$. Alors il existe $k\in \mathbb R$ tel que $$\left\{\begin{array}{ccc} x & =&x_A+k x_{\overrightarrow u}\\ y & =&y_A+ k y_{\overrightarrow u} \end{array}\right.$$
On a
$$ax+by+c=-y_{\overrightarrow u}\left(x_A+k x_{\overrightarrow u} \right)+x_{\overrightarrow u}\left(y_A+ k y_{\overrightarrow u} \right)+y_{\overrightarrow u}x_A-x_{\overrightarrow u}y_A=0$$
Donc tous les points de $\mathcal D$ vérifient $ax+by+c=0$.
Propriété 3.
Tout ensemble de points $M$ dont les coordonnées $(x;y)$ vérifient une équation de la forme $ax+by+c=0$ pour des réels $a,b,c$ avec $a,b$ non tous deux nuls, est une droite.
Démonstration.
Plusieurs cas sont à étudier.
Si $a=0$, alors la relation est $by+c$ avec $b\neq 0$. Cette relation est donc équivalente à
$$(0) \ \ \ \ y=-\frac c b$$
Prenons $A\ \left(0;-\frac c b \right)$ et $B\ \left(1;-\frac{c}{b} \right)$. Ce sont deux points dont les coordonnées vérifient l'équation. Notons $\mathcal D$ La droite de vecteur directeur $\overrightarrow {AB}$ de coordonnées $\binom 1 0$, et montrons que l'ensemble des points $M\ (x;y)$ vérifiant $(0)$ est la droite $\mathcal D$.
Si $M$ vérifie $(0)$, alors $M\ \left(x;-\frac c b\right)$, et $\overrightarrow{AM}$ a pour coordonnées $\binom x 0$ donc $\overrightarrow{AM}=x\overrightarrow u$ ce qui prouve que $M\in \mathcal D$.
Réciproquement, si $M\ (x;y)\mathcal D$, alors $\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow u$ pour un certain réel $k$. Comme $\overrightarrow{AM}$ a pour coordonnées $\binom{x}{y+\frac c b}$ et que $k\overrightarrow u$ a pour coordonnées $\binom{k}{0}$, on en déduit que $k=x$ et que $y=-\frac{c}{b}$. Ainsi $(x;y)$ vérifie $(0)$.
De la même façon, si $b=0$, les coordonnées $(x;y)$ du point $M$ vérifient
$ax+by+c=0 $ si et seulement s'ils vérifient
$$(0') \ \ \ \ x=-\frac c a $$
De manière similaire au cas où $a=0$, on montre que $(x;y)$ vérifient $(0')$ si et seulement si ce sont les points de la droite $\mathcal D$ passant par les points $A\ \left(-\frac c a;0 \right)$ et $B\ \left( -\frac c a;1\right)$.
Supposons maintenant que $a\neq 0$ et que $b\neq 0$. $M\ (x;y)$ est tel que $ax+by+c=0$ si et seulement si $\frac{a}{b}x+y+\frac{c}{b}=0 $ c'est-à-dire si et seulement si
$$(1)\ \ \ \ y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}$$
Notons $A$ et $B$ les points de coordonnées respectives $\left(0;-\frac c b \right)$ et $\left(1;-\frac {a+c} b \right)$. Ce sont des points dont les coordonnées vérifient $(1)$.
Nous allons montrer que la droite $(AB)$ est l'ensemble des points dont les coordonnées $(x;y)$ vérifient $(1)$.
Si $M\in(AB)$ a pour coordonnées $(x;y)$, alors il existe $k\in \mathbb R$ tel que $\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}$. Ainsi en identifiant les coordonnées des vecteurs, on a $x=k$ et $y+\frac c b=-\frac a b$. Cette dernière égalité impliquant $(1)$.
Réciproquement si le coordonnées $(x;y)$ de $M$ vérifient $(1)$, alors $M\ \left(x;-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}\right)$, d'où $\overrightarrow{AM}\ \binom{x}{-\frac{a}{b}x}$ et $\overrightarrow{AB}\ \binom{1}{-\frac a b} $ d'où $\overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{AB}$. Donc $M\in (AB)$.
Définition. Pour une droite $\mathcal D$ caractérisée une relation de la forme,
$$ax+by+c=0 $$
On dit que cette relation est une équation cartésienne de $\mathcal D$.
Dans la preuve de la propriété précédente, on a vu que :
- Si $a=0$, la droite d'équation cartésienne $ax+by+c=0$ a pour vecteur directeur $\overrightarrow u\ \binom{1}{0}$.
- Si $b=0$, la droite d'équation cartésienne $ax+by+c=0$ a pour vecteur directeur $\overrightarrow u\ \binom{0}{1}$.
- Si $a\neq 0$ et $b\neq 0$, la droite d'équation cartésienne $ax+by+c=0$ a pour vecteur directeur $\overrightarrow u\ \binom{1}{-\frac a b}$.
Dans tous les cas le vecteur $\overrightarrow v\ \binom{-b}{a}$ est un vecteur non-nul colinéaire à $\overrightarrow u$. C'est donc un vecteur directeur de la droite.
Nous avons donc la propriété très utile suivante
Propriété 4.
La droite d'équation cartésienne
$$ax+by+c=0 $$
admet pour vecteur directeur le vecteur de coordonnées $\binom{-b}{a}$.
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