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mercredi 17 janvier 2024

Réunion de plusieurs ensembles. Cardinal d'une réunion de deux ensembles.

Cet article concerne la théorie des ensembles. On y donne la définition de réunion d'ensembles. On y démontre aussi une propriété permettant d'obtenir le cardinal d'une réunion d'ensembles.


Définitions et notations


Donnons quelques notations et définitions pour commencer.


Tout d'abord, on dit qu'un élément d'un ensemble appartient à un ensemble. Ainsi, si x est un élément d'un ensemble E, on dit que x appartient à E, et on note x\in E (ou parfois E\ni x qui peut se lire E contient x).


Si F est un ensemble tel que tout élément de F est aussi un élément de E, on dit que F est un sous-ensemble de F et on note E\subset F.

Autrement dit, 


F\subset E \Longleftrightarrow \forall x \in F, x\in E 

ou encore 


F\subset E \Longleftrightarrow (x \in F \Rightarrow  x\in E) 


Remarque. Deux ensembles E et F sont égaux si et seulement si ils sont inclus l'un dans l'autre, c'est-à-dire E\subset F et F\subset E. En effet, cela revient à dire que tout élément de l'un est aussi un élément de l'autre.  


Définition. Soient E et F deux ensembles, alors l'ensemble E\cup F constitué des éléments appartenant à E ou à F est appelé l'union ou la réunion de E et de F.


On a donc 


x\in E\cup F \Longleftrightarrow x\in E\ \textrm{ou}\ x\in F


Remarques. 

  1. En mathématiques, le mot "ou" se distingue de "ou bien". Dire que x\in E ou x\in F n'exclue par la possibilité que x appartiennent à la fois à E et à F
  2. On a E\cup F=F\cup E, la réunion est une opération commutative. 


Définition.  

Soient E et F deux ensembles, alors l'ensemble E\cap F constitué des éléments appartenant à E et à F est appelé l'intersection  de E et de F.


On a donc 

x\in E\cap F \Longleftrightarrow x\in E \textrm{et}\ x\in F


Remarque. En reprenant la remarque précédente, tout élément de E\cap F est un élément de E\cup F. On a donc E\cap F \subset E\cup F.


On dira que deux ensembles E,F sont disjoints si E\cap F ne contient aucun élément, c'est-à-dire si E \cap F=\emptyset.


Ensembles finis, Réunion d'ensembles finis disjoints


Un ensemble fini E est un ensemble en bijection avec un ensemble E_n, où 

E_n=\left\{1,2,3,\ldots,n \right\}


On pourra consulter l'article [E1] Ensembles finis. Bijections entre deux ensembles finis. Notion de cardinal.  


Dans [E1], propriété 3, on voit que si un ensemble E est en bijection avec E_n, et si E est en bijection avec E_m, alors n=m. Cet entier n est alors appelé le cardinal de E


Le cardinal de E est noté |E|, \sharp E ou  \textrm{Card}(E)


Propriété 1. 

Si E et F sont deux ensembles finis disjoints, alors 

\sharp(E\cup F)=\sharp(E)+\sharp(F)


Démonstration. On note n=\sharp E et m=\sharp F.


Nous allons construire une bijection \varphi : E\cup F \longrightarrow E_{n+m}


Par définition de n et de m, il existe deux bijections f:E \longrightarrow E_n et g \longrightarrow E_m. On pose :

\left\{ \begin{array}{rclr} \varphi(x)& =& f(x)&\textrm{si}\ x\in E \\ \varphi(x)& =& n+g(x)&\textrm{si}\ x\in F \\ \end{array} \right.


Remarquons tout de suite que si x\leq E, alors f(x)\leq n et si x\in F, alors f(x)=n+g(x)\geq n+1 >n. Réciproquement, si f(x)>n, alors x\not \in E puisque E et F sont disjoints. De même si f(x)\leq n, alors x\not \in F


  • Injectivité de \varphi. Si \varphi(x)=\varphi(y), alors d'après la remarque précédente, on a x,y\in E ou bien x,y\in F
    Dans le cas x,y\in E, on a donc f(x)=f(y) puis par injectivité de f, x=y
    Dans le cas où x,y\in F, on a g(x)=g(y) d'où x=y par injectivité de g.


  • Surjectivité de \varphi. Soit k\in E_{n+m}
    • Si k\leq n, alors par injectivité de f, il existe t\in E tel que k=f(t). Et donc k=\varphi(t) car t\leq n
    • Si n+m\leq k> n, alors k=n+a avec a\leq m. Par surjectivité de g, il existe s \in F tel que g(s)=a. Ainsi \varphi(s)=n+g(s)=n+a=k
    • On en déduit la surjectivité de \varphi


Réunion finie d'ensembles finis


Propriété 2 (associativité de la réunion). 

Si E,F,G sont trois ensembles finis, alors 

\left( E\cup F \right) \cup G = E \cup \left(F\cup G \right)


Démonstration. Pour démontrer une égalité d'ensembles A et B, on montre que A\subset B et que B\subset A


Commençons par montrer la première inclusion. Soit x\in\left( E\cup F \right) \cup G .

  • Si x\in  E\cup F , alors x\in E ou x\in F
    • Si x\in E, alors x \in  E \cup \left(F\cup G \right).
    • Si x\in F, alors x \in F\cup G donc x \in  E \cup \left(F\cup G \right).
  • Si x\in G, alors alors x \in F\cup G donc x \in  E \cup \left(F\cup G \right).


On a donc montré que dans tous les cas,   \left( E\cup F \right) \cup G \subset  E \cup \left(F\cup G \right).


Ensuite, on montre de la même façon que   E \cup \left(F\cup G \right) \subset \left( E\cup F \right) \cup G.


On peut en conclure l'égalité souhaitée.


Cela permet d'écrire sans ambiguïté E\cup F\cup G=(E\cup F)\cup G ou E\cup F\cup G=E\cup (F\cup G).


Réunion finie d'ensembles

Soit r un entier naturel non nul, et E_1,E_2,\ldots,E_r des ensembles finis. 


Pour tout entier k compris entre 1 et r-1, on définit par récurrence :

  • \bigcup_{i=1}^{1}E_i=E_1 

  • \bigcup_{i=1}^{2}E_i=E_1\cup E_2

  • \bigcup_{i=1}^{3}E_i=E_1\cup E_2 \cup E_3=(E_1\cup E_2)\cup E_3

  • \bigcup_{i=1}^{k+1}E_i=E_1\cup E_2\cup \ldots  \cup E_{k+1} comme étant \left(\bigcup_{i=1}^{k}E_i\right)\cup E_{k+1}=\left(E_1\cup E_2\cup \ldots \cup E_k\right)\cup E_{k+1}= pour i\geq 2


Un élément x est dans la réunion \cup_{i=1}^r E_i si et seulement s'il existe un indice i compris entre 1 et r tel que x\in E_i


En effet c'est clair si r=1.


Supposons que le résultat est vrai pour un certain rang r=k.


Soient E_1,E_2,\ldots,E_r,E_{r+1} des ensembles. 


Si x appartient à l'un des (r+1) ensembles E_i, alors x\in E_{r+1} ou x appartient à l'un des E_i pour i\leq r. D'après l'hypothèse de récurrence, cela implique que x\in \cup_{i=1}^r E_i . Dans tous les cas 

x\in \left( \cup_{i=1}^r E_i\right)\cup E_{r+1}=\cup_{i=1}^{r+1} E_i .


Réciproquement si x\in \cup_{i=1}^{r+1} E_i = \left( \cup_{i=1}^r E_i\right)\cup E_{r+1} , alors x\in \cup_{i=1}^r E_i ou x\in E_{r+1}. Si x\in \cup_{i=1}^r E_i, d'après l'hypothèse de récurrence, il existe un i\leq r tel que x\in E_i. Dans tous les cas il existe un indice i\leq r+1 tel que x\in E_i.


Définition. Les r ensembles E_1,E_2,\ldots,E_r sont deux à deux disjoints si pour tout i,j tels que 1\leq i \leq r et  1\leq j \leq r, avec i\neq j, E_i et E_j sont disjoints.


Propriété 3.

F est disjoint de E_1,E_2,\ldots,E_r si et seulement si F est disjoint de \bigcup_{i=1}^r E_i .


Preuve. En effet supposons pour commencer que F est disjoint de E_1,E_2,\ldots,E_r. Si x\in \left( \cup_{i=1}^r E_i\right)\cap F, alors il existe i\leq r, tel que x\in E_i . Donc x\in E_i\cap F ce qui est impossible. On en déduit que F est disjoints de \bigcup_{i=1}^r E_i .


Réciproquement, si F est disjoint de \bigcup_{i=1}^r E_i , et s'il existe un i tel que x\in F\cap E_i, alors x\in E_i, donc x\in \bigcup_{i=1}^r E_i . Ainsi x\in E_i \cap \left( \bigcup_{i=1}^r E_i \right) ce qui est impossible. On en déduit qu'il n'existe aucun x, et aucun i, tel que x\in E_i\cap F. Cela revient à dire que pour tout i, E_i\cap F=\emptyset ce qui termine la démonstration.   


Propriété 4. (Cardinal d'une réunion finie d'ensembles finis)

Une réunion finie d'ensembles finis est un ensemble fini. De plus si E_1,E_2,\ldots,E_r sont des ensembles finis, on a 

\sharp\left( \bigcup_{i=1}^{k+1}E_i \right) = \sum_{i=1}^{k+1}\sharp\left(E_i\right)


Démonstration. Pour k=2, la relation est déjà montrée.


Supposons que pour un certain k, pour tous ensembles E_1,\ldots,E_r deux à deux disjoints, \sharp\left( \bigcup_{i=1}^{k+1}E_i \right) = \sum_{i=1}^{k+1}\sharp\left(E_i\right). Considérons alors une famille d'ensembles F_1,F_2,\ldots,F_{k+1} deux à deux disjoints. 


D'après la propriété 3, pour tout F_{k+1} étant disjoint de F_1,\ldots,F_k, F_{k+1} est donc disjoint de \sum_{i=1}^{k}\sharp\left(E_i\right). Par le cas où k=2, on en déduit que 

\sharp\left( \bigcup_{i=1}^{k+1}E_i\right) =\sharp\left( \left(\bigcup_{i=1}^{k}E_i \right)\cup E_{k+1}\right) =\sum_{i=1}^{k}\sharp\left(E_i\right) + \sharp(E_{k+1})=\sum_{i=1}^{k+1}\sharp\left(E_i\right)



Propriété 5. 

Si E et F sont deux ensembles finis, alors 

\sharp(E\cup F)=\sharp(E)+\sharp(F)-\sharp(E\cap F)





Preuve. On note E\setminus F=\left\{x\in E, x\not \in F\right\} et F\setminus E=\left\{x\in F, x\not \in E\right\}.


Par construction E\setminus F, F\setminus E et E\cap F sont deux à deux disjoints.


De plus E\cup F=(E\setminus F) \cup (F\setminus E) \cup (E\cap F)


En effet si x\in E\cup F, alors x\in E ou x\in F. Si x\not \in E\cap F, alors x\in E\setminus F ou x\in F\setminus E. Donc E\cup F \subset (E\setminus F) \cup (F\setminus E) \cup (E\cap F)


Dans l'autre sens si, x\in (E\setminus F) \cup (F\setminus E) \cup (E\cap F), alors x\in E ou x\in F donc x\in E\cap F. Donc on a l'inclusion réciproque E\cup F \supset (E\setminus F) \cup (F\setminus E) \cup (E\cap F).


On a donc bien E\cup F=(E\setminus F) \cup (F\setminus E) \cup (E\cap F).


D'après la propriété 4 nous avons donc 

\sharp(E \setminus F)+\sharp{F\setminus E}+\sharp{E\cap F}


Maintenant par définition de E\setminus F, E\setminus F et E\cap F sont deux ensembles disjoints dont la réunion est E, donc 

\sharp(E\cup F) = \sharp(E\setminus F)+\sharp(E\cap F)=\sharp(E)

De même 

\sharp(F\setminus E)+\sharp(E\cap F)=\sharp(F)

En faisant la somme de ces deux égalité, on obtient 

\sharp(E \setminus F)+\sharp{F\setminus E}+2\sharp{E\cap F}=\sharp(E)+\sharp(F) 

d'où 

\sharp(E \setminus F)+\sharp{F\setminus E}+\sharp{E\cap F}=\sharp(E)+\sharp(F)-\sharp(E\cap F) 


Autrement dit, \sharp(E\cup F) = \sharp(E)+\sharp(F)-\sharp(E\cap F).


Et ensuite


Par la suite, j'aimerai par exemple, m'intéresser à la généralisation de propriété 5 dans le cas d'un nombre fini k d'ensembles.

 

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