Réunion de plusieurs ensembles. Cardinal d'une réunion de deux ensembles.

Cet article concerne la théorie des ensembles. On y donne la définition de réunion d'ensembles. On y démontre aussi une propriété permettant d'obtenir le cardinal d'une réunion d'ensembles.

Définitions et notations

Donnons quelques notations et définitions pour commencer.

Tout d'abord, on dit qu'un élément d'un ensemble appartient à un ensemble. Ainsi, si $x$ est un élément d'un ensemble $E$, on dit que $x$ appartient à $E$, et on note $x\in E$ (ou parfois $E\ni x$ qui peut se lire $E$ contient $x$).

Si $F$ est un ensemble tel que tout élément de $F$ est aussi un élément de $E$, on dit que $F$ est un sous-ensemble de $F$ et on note $E\subset F$.

Autrement dit, 

$$F\subset E \Longleftrightarrow \forall x \in F, x\in E  $$

ou encore 

$$F\subset E \Longleftrightarrow (x \in F \Rightarrow  x\in E)  $$

Remarque. Deux ensembles $E$ et $F$ sont égaux si et seulement si ils sont inclus l'un dans l'autre, c'est-à-dire $E\subset F$ et $F\subset E$. En effet, cela revient à dire que tout élément de l'un est aussi un élément de l'autre.  

Définition. Soient $E$ et $F$ deux ensembles, alors l'ensemble $E\cup F$ constitué des éléments appartenant à $E$ ou à $F$ est appelé l'union ou la réunion de $E$ et de $F$.

On a donc 

$$x\in E\cup F \Longleftrightarrow x\in E\ \textrm{ou}\ x\in F $$

Remarques. 

1. En mathématiques, le mot "ou" se distingue de "ou bien". Dire que $x\in E$ ou $x\in F$ n'exclue par la possibilité que $x$ appartiennent à la fois à $E$ et à $F$. 
2. On a $E\cup F=F\cup E$, la réunion est une opération commutative. 

Définition.  

Soient $E$ et $F$ deux ensembles, alors l'ensemble $E\cap F$ constitué des éléments appartenant à $E$ et à $F$ est appelé l'intersection  de $E$ et de $F$.

On a donc 

$$x\in E\cap F \Longleftrightarrow x\in E \textrm{et}\ x\in F $$

Remarque. En reprenant la remarque précédente, tout élément de $E\cap F$ est un élément de $E\cup F$. On a donc $E\cap F \subset E\cup F$.

On dira que deux ensembles $E,F$ sont disjoints si $E\cap F$ ne contient aucun élément, c'est-à-dire si $E \cap F=\emptyset$.

Ensembles finis, Réunion d'ensembles finis disjoints

Un ensemble fini $E$ est un ensemble en bijection avec un ensemble $E_n$, où 

$$E_n=\left\{1,2,3,\ldots,n \right\} $$

On pourra consulter l'article [E1] Ensembles finis. Bijections entre deux ensembles finis. Notion de cardinal.  

Dans [E1], propriété 3, on voit que si un ensemble $E$ est en bijection avec $E_n$, et si $E$ est en bijection avec $E_m$, alors $n=m$. Cet entier $n$ est alors appelé le cardinal de $E$. 

Le cardinal de $E$ est noté $|E|$, $\sharp E$ ou  $\textrm{Card}(E)$

Propriété 1. 

Si $E$ et $F$ sont deux ensembles finis disjoints, alors 

$$\sharp(E\cup F)=\sharp(E)+\sharp(F) $$

Démonstration. On note $n=\sharp E$ et $m=\sharp F$.

Nous allons construire une bijection $$\varphi : E\cup F \longrightarrow E_{n+m} $$

Par définition de $n$ et de $m$, il existe deux bijections $f:E \longrightarrow E_n$ et $g \longrightarrow E_m$. On pose :

$$\left\{ \begin{array}{rclr} \varphi(x)& =& f(x)&\textrm{si}\ x\in E \\ \varphi(x)& =& n+g(x)&\textrm{si}\ x\in F \\ \end{array} \right. $$

Remarquons tout de suite que si $x\leq E$, alors $f(x)\leq n$ et si $x\in F$, alors $f(x)=n+g(x)\geq n+1 >n$. Réciproquement, si $f(x)>n$, alors $x\not \in E$ puisque $E$ et $F$ sont disjoints. De même si $f(x)\leq n$, alors $x\not \in F$. 

• Injectivité de $\varphi$. Si $\varphi(x)=\varphi(y)$, alors d'après la remarque précédente, on a $x,y\in E$ ou bien $x,y\in F$. 
  Dans le cas $x,y\in E$, on a donc $f(x)=f(y)$ puis par injectivité de $f$, $x=y$. 
  Dans le cas où $x,y\in F$, on a $g(x)=g(y)$ d'où $x=y$ par injectivité de $g$.

• Surjectivité de $\varphi$. Soit $k\in E_{n+m}$. 
• Si $k\leq n$, alors par injectivité de $f$, il existe $t\in E$ tel que $k=f(t)$. Et donc $k=\varphi(t)$ car $t\leq n$. 
• Si $n+m\leq k> n$, alors $k=n+a$ avec $a\leq m$. Par surjectivité de $g$, il existe $s \in F$ tel que $g(s)=a$. Ainsi $\varphi(s)=n+g(s)=n+a=k$. 
• On en déduit la surjectivité de $\varphi$

Réunion finie d'ensembles finis

Propriété 2 (associativité de la réunion). 

Si $E,F,G$ sont trois ensembles finis, alors 

$$\left( E\cup F \right) \cup G = E \cup \left(F\cup G \right)$$

Démonstration. Pour démontrer une égalité d'ensembles $A$ et $B$, on montre que $A\subset B$ et que $B\subset A$. 

Commençons par montrer la première inclusion. Soit $x\in\left( E\cup F \right) \cup G $.

• Si $x\in  E\cup F $, alors $x\in E$ ou $x\in F$. 
• Si $x\in E$, alors $x \in  E \cup \left(F\cup G \right)$.
• Si $x\in F$, alors $x \in F\cup G $ donc $x \in  E \cup \left(F\cup G \right)$.
• Si $x\in G$, alors alors $x \in F\cup G $ donc $x \in  E \cup \left(F\cup G \right)$.

On a donc montré que dans tous les cas,   $\left( E\cup F \right) \cup G \subset  E \cup \left(F\cup G \right)$.

Ensuite, on montre de la même façon que $  E \cup \left(F\cup G \right) \subset \left( E\cup F \right) \cup G$.

On peut en conclure l'égalité souhaitée.

Cela permet d'écrire sans ambiguïté $E\cup F\cup G=(E\cup F)\cup G $ ou $E\cup F\cup G=E\cup (F\cup G)$.

Réunion finie d'ensembles

Soit $r$ un entier naturel non nul, et $E_1,E_2,\ldots,E_r$ des ensembles finis. 

Pour tout entier $k$ compris entre 1 et $r-1$, on définit par récurrence :

• $\bigcup_{i=1}^{1}E_i=E_1$ 

• $\bigcup_{i=1}^{2}E_i=E_1\cup E_2$

• $\bigcup_{i=1}^{3}E_i=E_1\cup E_2 \cup E_3=(E_1\cup E_2)\cup E_3$

• $\bigcup_{i=1}^{k+1}E_i=E_1\cup E_2\cup \ldots  \cup E_{k+1}$ comme étant $\left(\bigcup_{i=1}^{k}E_i\right)\cup E_{k+1}=\left(E_1\cup E_2\cup \ldots \cup E_k\right)\cup E_{k+1}=$ pour $i\geq 2$

Un élément $x$ est dans la réunion $\cup_{i=1}^r E_i$ si et seulement s'il existe un indice $i$ compris entre 1 et $r$ tel que $x\in E_i$. 

En effet c'est clair si $r=1$.

Supposons que le résultat est vrai pour un certain rang $r=k$.

Soient $E_1,E_2,\ldots,E_r,E_{r+1}$ des ensembles. 

Si $x$ appartient à l'un des $(r+1)$ ensembles $E_i$, alors $x\in E_{r+1}$ ou $x$ appartient à l'un des $E_i$ pour $i\leq r$. D'après l'hypothèse de récurrence, cela implique que $x\in \cup_{i=1}^r E_i $. Dans tous les cas 

$x\in \left( \cup_{i=1}^r E_i\right)\cup E_{r+1}=\cup_{i=1}^{r+1} E_i $.

Réciproquement si $x\in \cup_{i=1}^{r+1} E_i = \left( \cup_{i=1}^r E_i\right)\cup E_{r+1} $, alors $x\in \cup_{i=1}^r E_i $ ou $x\in E_{r+1}$. Si $x\in \cup_{i=1}^r E_i$, d'après l'hypothèse de récurrence, il existe un $i\leq r$ tel que $x\in E_i$. Dans tous les cas il existe un indice $i\leq r+1$ tel que $x\in E_i$.

Définition. Les $r$ ensembles $E_1,E_2,\ldots,E_r$ sont deux à deux disjoints si pour tout $i,j$ tels que $1\leq i \leq r$ et  $1\leq j \leq r$, avec $i\neq j$, $E_i $ et $E_j$ sont disjoints.

Propriété 3.

$F$ est disjoint de $E_1,E_2,\ldots,E_r$ si et seulement si $F$ est disjoint de $\bigcup_{i=1}^r E_i $.

Preuve. En effet supposons pour commencer que $F$ est disjoint de $E_1,E_2,\ldots,E_r$. Si $x\in \left( \cup_{i=1}^r E_i\right)\cap F$, alors il existe $i\leq r$, tel que $x\in E_i $. Donc $x\in E_i\cap F$ ce qui est impossible. On en déduit que $F$ est disjoints de $\bigcup_{i=1}^r E_i $.

Réciproquement, si $F$ est disjoint de $\bigcup_{i=1}^r E_i $, et s'il existe un $i$ tel que $x\in F\cap E_i$, alors $x\in E_i$, donc $x\in \bigcup_{i=1}^r E_i $. Ainsi $x\in E_i \cap \left( \bigcup_{i=1}^r E_i \right) $ ce qui est impossible. On en déduit qu'il n'existe aucun $x$, et aucun $i$, tel que $x\in E_i\cap F$. Cela revient à dire que pour tout $i$, $E_i\cap F=\emptyset$ ce qui termine la démonstration.   

Propriété 4. (Cardinal d'une réunion finie d'ensembles finis)

Une réunion finie d'ensembles finis est un ensemble fini. De plus si $E_1,E_2,\ldots,E_r$ sont des ensembles finis, on a 

$$ \sharp\left( \bigcup_{i=1}^{k+1}E_i \right) = \sum_{i=1}^{k+1}\sharp\left(E_i\right)$$

Démonstration. Pour $k=2$, la relation est déjà montrée.

Supposons que pour un certain $k$, pour tous ensembles $E_1,\ldots,E_r $ deux à deux disjoints, $ \sharp\left( \bigcup_{i=1}^{k+1}E_i \right) = \sum_{i=1}^{k+1}\sharp\left(E_i\right)$. Considérons alors une famille d'ensembles $F_1,F_2,\ldots,F_{k+1}$ deux à deux disjoints. 

D'après la propriété 3, pour tout $F_{k+1}$ étant disjoint de $F_1,\ldots,F_k$, $F_{k+1}$ est donc disjoint de $\sum_{i=1}^{k}\sharp\left(E_i\right)$. Par le cas où $k=2$, on en déduit que 

$$\sharp\left( \bigcup_{i=1}^{k+1}E_i\right) =\sharp\left( \left(\bigcup_{i=1}^{k}E_i \right)\cup E_{k+1}\right) =\sum_{i=1}^{k}\sharp\left(E_i\right) + \sharp(E_{k+1})=\sum_{i=1}^{k+1}\sharp\left(E_i\right) $$

Propriété 5. 

Si $E$ et $F$ sont deux ensembles finis, alors 

$$\sharp(E\cup F)=\sharp(E)+\sharp(F)-\sharp(E\cap F) $$

Preuve. On note $E\setminus F=\left\{x\in E, x\not \in F\right\}$ et $F\setminus E=\left\{x\in F, x\not \in E\right\}$.

Par construction $E\setminus F$, $F\setminus E$ et $E\cap F$ sont deux à deux disjoints.

De plus $$E\cup F=(E\setminus F) \cup (F\setminus E) \cup (E\cap F)$$

En effet si $x\in E\cup F$, alors $x\in E$ ou $x\in F$. Si $x\not \in E\cap F$, alors $x\in E\setminus F$ ou $x\in F\setminus E$. Donc $E\cup F \subset (E\setminus F) \cup (F\setminus E) \cup (E\cap F)$

Dans l'autre sens si, $x\in (E\setminus F) \cup (F\setminus E) \cup (E\cap F)$, alors $x\in E$ ou $x\in F$ donc $x\in E\cap F$. Donc on a l'inclusion réciproque $E\cup F \supset (E\setminus F) \cup (F\setminus E) \cup (E\cap F)$.

On a donc bien $E\cup F=(E\setminus F) \cup (F\setminus E) \cup (E\cap F)$.

D'après la propriété 4 nous avons donc 

$$\sharp(E \setminus F)+\sharp{F\setminus E}+\sharp{E\cap F} $$

Maintenant par définition de $E\setminus F$, $E\setminus F$ et $E\cap F$ sont deux ensembles disjoints dont la réunion est $E$, donc 

$$\sharp(E\cup F) = \sharp(E\setminus F)+\sharp(E\cap F)=\sharp(E) $$

De même 

$$\sharp(F\setminus E)+\sharp(E\cap F)=\sharp(F) $$

En faisant la somme de ces deux égalité, on obtient 

$$\sharp(E \setminus F)+\sharp{F\setminus E}+2\sharp{E\cap F}=\sharp(E)+\sharp(F)  $$

d'où 

$$\sharp(E \setminus F)+\sharp{F\setminus E}+\sharp{E\cap F}=\sharp(E)+\sharp(F)-\sharp(E\cap F)  $$

Autrement dit, $\sharp(E\cup F) = \sharp(E)+\sharp(F)-\sharp(E\cap F)$.

Et ensuite

Par la suite, j'aimerai par exemple, m'intéresser à la généralisation de propriété 5 dans le cas d'un nombre fini $k$ d'ensembles.