Exemple de division euclidienne polynomiale posée. Code Python.

 Cette article fait suite aux articles suivants et reprend leurs notations : 

• [P1] Polynômes et fonctions polynomiales
• [P2] Polynômes : degré, racines, division par $X-a$.
• [P3] Division euclidienne polynomiale

Nous y donnons un exemple de division polynomiale avec des coefficients réels.

Il s'agit en fait d'appliquer l'algorithme vu dans [P3].

Exemple. Division de $2X^7-5X^3+X+1$ par $\frac 1 2 X^2+2X-1$.

On pose 

• $n_0=7$

• $P_0=2X^7-5X^3+X+1$

• $D_0=\frac{2}{\frac 1 2}X^{7-2}=4X^5$

• $P_1=2X^7-5X^3+X+1-4X^5\left(\frac 1 2 X^2+2X-1 \right)=-8X^6+4X^5-5X^3+X+1$

• $n_1=6$

Tant que $n_k\geq 2$ calcul de $P_{k+1}$, $D_k$, $n_{k+1}$

• Cas $n_1=6\geq 2$.

$P_2=\left(-8X^6+4X^5-5X^3+X+1\right)+16X^4\left(\frac 1 2 X^2+2X-1 \right)=36X^5-16X^4-5X^3+1$

$H_1=4X^5-16X^4$

$n_2=5$

• Cas $n_2=5\geq 2 $.

$P_3=(36X^5-16X^4-5X^3+X+1)-72X^3\left(\frac 1 2 X^2+2X-1 \right)=-160X^4+67X^3+X+1$

$H_2=4X^5-16X^4+72X^3$

$n_3=4$

• Cas $n_3=4\geq 2$.

$P_4=(-160X^4+67X^3+X+1)+320X^2\left(\frac 1 2 X^2+2X-1 \right)=707X^3-320X^2+X+1$

$H_3=4X^5-16X^4+72X^3-320X^2$

$n_4=3$

• Cas $n_4=3\geq 2$.

$P_5=(707X^3-320X^2+1)-1414X\left(\frac 1 2 X^2+2X-1 \right)=-3148X^2+1415X+1$

$H_4=4X^5-16X^4+72X^3-320X^2+1414X$

$n_5=2$

• Cas $n_5=2\geq 2$.

$P_6=(-2572X^2-3148X+1)+6296\left(\frac 1 2 X^2+2X-1 \right)=14007X-6295$

$H_5=4X^5-16X^4+72X^3-320X^2+1414X-6296$

$n_6=1<2$

• Fin de l'algorithme

On en déduit que $$2X^7-5X^3+X+1=(4X^5-16X^4+72X^3-320X^2+1414X-6296)$$ $$\left(\frac 1 2 X^2+2X-1 \right)+14007X-6295$$

En posant l'opération

Code Python

A titre d'exercice, il est intéressant de coder la division euclidienne polynomiale. Pour ce faire, sans utiliser aucune librairie Python, sauf peut-être Fractions, on peut travailler avec des liste de nombres pour représenter les coefficients des polynômes.

On commence par les opérations d'addtition, de multiplication, etc.

Voir ici.

Et ensuite

Par la suite j'aimerai m'intéresser aux polynôme en général, pas seulement les polynômes à coefficients réels. 

Aussi, bien qu'en se limitant aux polynômes à coefficients réels, les polynômes nous donnent des exemples intéressants d'anneaux et nous permettront de définir les fractions rationnelles.