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mercredi 29 mai 2024

\mathbb R (1). Relation d'ordre sur l'ensemble \mathcal R=\mathcal C/\sim

 Cet article s'inscrit dans une série d'article concernant la construction de l'ensemble des nombres réels \mathbb R. Il fait directement suite à 

  • \mathbb R (0) : Toute suite de Cauchy de rationnels est bornée. Quotient de l'ensemble des suites rationnelles de Cauchy
dont il reprend les définitions et les notations. 

Dans [\mathbb R (0)], nous avons construits \mathcal R en quotientant l'ensemble  \mathcal C des suites de Cauchy par la relation \sim (où u\sim v si et seulement si \lim_n u-v=0). Dans cet ensemble nous avons défini une addition + et un produit \times

Nous allons maintenant y définir une relation d'ordre \leq

Définition d'une relation notée \leq sur \mathcal R


Soit \overline u et \overline{v} deux éléments de \mathcal R=\mathcal C/\sim.

On note \overline u\leq \overline v si et seulement s'il existe un rationnel r\in\mathbb R, r>0 et un entier N\in\mathbb N  tel que pour tout n\geq N
v_n-u_n\geq r.

On notera 

(\star)\ \ \ \ \  \exists (r,N) \in\mathbb Q_+^\star\times \mathbb N\ : \ n\geq N \Rightarrow v_n-u_n\geq r


Cette définition de la relation \leq sur \mathcal R n'a de sens que si elle ne dépend pas du choix des représentants de u et de v. Plus précisément, cela nécessite que si \overline{u'}=\overline{u} et \overline{v'}=\overline{v},   

\left[ \exists (r,N) \in\mathbb Q_+^\star\times \mathbb N\ : \ n\geq N \Rightarrow v_n-u_n\geq r\right] \Longleftrightarrow \left[ \exists (r',N') \in\mathbb Q_+^\star\times \mathbb N\ : \   n\geq N' \Rightarrow v'_n-u'_n\geq r'\right]

Comme on peut échanger le rôle de (u,v) et celui de (u',v'), il suffit de montrer l'implication \left[ \exists (r,N) \in\mathbb Q_+^\star\times \mathbb N\ : \ n\geq N \Rightarrow v_n-u_n\geq r\right] \Longrightarrow \left[ \exists (r',N') \in\mathbb Q_+^\star\times \mathbb N\ : \   n\geq N' \Rightarrow v'_n-u'_n\geq r'\right]

On part de \overline{u'}=\overline{u} et \overline{v'}=\overline{v}.

Alors \lim_n (u_n-u_n')=0 et \lim_n (v_n-v_n')=0.

Supposons \star

Comme \lim_n (u_n-u_n')=0, existe un entier naturel N_1 tel que si \geq N_1,
(1)\ \ \ \ \ \left|u_n-u'_n \right| \leq \frac{r}{4}

Comme \lim_n (v_n-v_n')=0, existe un entier naturel N_2 tel que si \geq N_2,
(2)\ \ \ \ \ \left|v_n-v'_n \right| \leq \frac{r}{4}

On note N'=\max(N_1,N_2,N)

On a pour tout entier naturel n,

v_n'-u_n'=(v_n'-v_n)+(v_n-u_n)+(u_n-u_n')

Pour n\geq N, on a respectivement d'après (1), (2)

\ \ \ \ -\frac{r}{4} \leq u'_n-u_n \frac{r}{4} \textrm{et}\ \ \ \ -\frac{r}{4} \leq v'_n-v_n \frac{r}{4}

En utilisant les premières parties respectives de ses inégalités, on obtient 
-\frac{r}{4}-\frac{r}{4}\leq (v_n'-v_n)+(u_n-u_n')
Puis en utilisant (\star), cela donne
-\frac{r}{4}-\frac{r}{4}+r \leq (v_n'-v_n)+(u_n-u_n')+(v_n-u_n)=v_n'-u_n'
ce qui nous permet de conclure que 
v'_n-u'_n\geq -\frac{r}{4}-\frac{r}{4}+r=\frac r 2

En notant r'= \frac r 2>0, on a bien l'implication voulue.

Remarque. 
On a utilisé dans cette démonstration le fait que \left| x \right|\leq a \Rightarrow -a\leq x \leq a .

En voici la preuve. Tout d'abord, si \left| x \right|\leq a, alors on a deux cas possibles. Si x>0, |x|=x et dans ce cas, -a \leq 0\leq x\leq a. Si x\leq 0, alors |x|=-x\leq a implique -|x|=x\geq -a et comme x\leq 0 \leq |x| \leq a , on a -a\leq x \leq a.

L'implication réciproque est vraie. Elle se démontre aussi (à lire prochainement) dans le cas réel.

Lorsque \overline u\leq \overline v , on a d'après la définition deux possibilités : 
- \overline u= \overline v ou 
- \exists (r,N) \in\mathbb Q_+^\star\times \mathbb N\ : \ n\geq N \Rightarrow v_n-u_n\geq r

Ces deux possibilités sont incompatibles puisque s'il existe (r,N) \in\mathbb Q_+^\star\times \mathbb N tel que \ n\geq N implique v_n-u_n\geq r. Dans ce cas, la suite (u_n-v_n) converge donc pas vers 0.

On notera \overline u< \overline v lorsque \overline u\leq \overline v et \overline u \neq \overline v. On dira dans ce cas que \overline u est strictement inférieur à \overline v.


La relation \leq sur \mathcal R est une prolongation de \leq  définie sur \mathbb Q   

Rappelons (Propriété 2 de [\mathbb R (0)) qu'il existe une fonction \varphi:\mathbb Q \rightarrow \mathcal C définie par \varphi(x)=\overline{u(x)}= [x,x,x,\ldots] (la classe d'équivalence de la suite dont tous les termes sont égaux à x) qui est injective.


Supposons que x et y sont deux nombres rationnels tels que x \leq y

Si x=y, alors \varphi(x)=\varphi(y) donc \varphi(x)\leq \varphi(y)

Supposons que x<y. Dans ce cas notons r=y-x. On a \overline{u}=\varphi(x) et \overline{v}=\varphi(y), pour u et v définies pour tout n\in\mathbb N par  u_n=x et v_n=y.

En prenant N=0, on a clairement \mathbb (\star). Donc  \varphi(x)\leq \varphi(y).

Ainsi en identifiant \mathbb Q et son image \varphi(\mathbb Q), on prolonge la relation d'ordre \leq habituelle de \mathbb Q à l'ensemble \mathcal R.


\leq est une relation d'ordre sur \mathcal R

Nous allons vérifier que la relation \leq de \mathcal R est réflexive, transitive et antisymétrique. (voir relation d'ordre).

(1) Réflexivité.
Par définition de \leq dans \mathcal{R}.

(2) Transitivité.
Supposons \overline u\leq \overline v et \overline{v}\leq \overline w.

Dans le cas, où \overline u=\overline v ou \overline v=\overline w, il n'y a rien à montrer. 

Supposons que les inégalités sont strictes. 

Il existe N_1,N_2 entiers naturels et r_1,r_2 rationnels strictement positifs tels que si n\geq N_1,
v_n-u_n\geq r_1
et si n\geq N_2,
w_n-v_n\geq r_2

Dans ce cas, pour n\geq \max(N_1,N_2), on a 
w_n-u_n=(w_n-v_n)+(v_n-u_n)\geq r_1+r_2>r_1>0

Donc u\leq w.

(3) Antisymétrie.

Supposons \overline u\leq \overline v et \overline v\leq \overline u

Si \overline u\neq \overline v , alors \overline u< \overline v et \overline v< \overline u.

Il existe dans ce cas des entiers naturels N_1,N_2  et r_1,r_2 rationnels strictement positifs tels que si n\geq N_1,
v_n-u_n\geq r_1
et si n\geq N_2,
u_n-v_n\geq r_2
d'où v_n-u_n \leq -r_2
Ainsi pour n\geq\max(N_1,N_2), alors r_1\leq v_n-u_n\leq -r_2 . En particulier, r_1\leq -r_2<0 ce qui est contraire au fait que r_1 est strictement positif. 

Il est donc impossible que \overline u\neq \overline v impliquant \overline u = \overline v .



 

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