$\mathbb R$ (1). Relation d'ordre sur l'ensemble $\mathcal R=\mathcal C/\sim $

 Cet article s'inscrit dans une série d'article concernant la construction de l'ensemble des nombres réels $\mathbb R$. Il fait directement suite à 

• $\mathbb R$ (0) : Toute suite de Cauchy de rationnels est bornée. Quotient de l'ensemble des suites rationnelles de Cauchy

dont il reprend les définitions et les notations. 

Dans [$\mathbb R$ (0)], nous avons construits $\mathcal R$ en quotientant l'ensemble  $\mathcal C$ des suites de Cauchy par la relation $\sim$ (où $u\sim v $ si et seulement si $\lim_n u-v=0$). Dans cet ensemble nous avons défini une addition $+$ et un produit $\times$. 

Nous allons maintenant y définir une relation d'ordre $\leq$. 

Définition d'une relation notée $\leq$ sur $\mathcal R$

Soit $\overline u$ et $\overline{v}$ deux éléments de $\mathcal R=\mathcal C/\sim$.

On note $\overline u\leq \overline v$ si et seulement s'il existe un rationnel $r\in\mathbb R$, $r>0$ et un entier $N\in\mathbb N$  tel que pour tout $n\geq N$, 

$v_n-u_n\geq r$.

On notera 

$$(\star)\ \ \ \ \  \exists (r,N) \in\mathbb Q_+^\star\times \mathbb N\ : \ n\geq N \Rightarrow v_n-u_n\geq r$$

Cette définition de la relation $\leq$ sur $\mathcal R$ n'a de sens que si elle ne dépend pas du choix des représentants de $u$ et de $v$. Plus précisément, cela nécessite que si $\overline{u'}=\overline{u}$ et $\overline{v'}=\overline{v}$,   

$$\left[ \exists (r,N) \in\mathbb Q_+^\star\times \mathbb N\ : \ n\geq N \Rightarrow v_n-u_n\geq r\right] \Longleftrightarrow \left[ \exists (r',N') \in\mathbb Q_+^\star\times \mathbb N\ : \   n\geq N' \Rightarrow v'_n-u'_n\geq r'\right]$$

Comme on peut échanger le rôle de $(u,v)$ et celui de $(u',v')$, il suffit de montrer l'implication $$\left[ \exists (r,N) \in\mathbb Q_+^\star\times \mathbb N\ : \ n\geq N \Rightarrow v_n-u_n\geq r\right] \Longrightarrow \left[ \exists (r',N') \in\mathbb Q_+^\star\times \mathbb N\ : \   n\geq N' \Rightarrow v'_n-u'_n\geq r'\right]$$

On part de $\overline{u'}=\overline{u}$ et $\overline{v'}=\overline{v}$.

Alors $\lim_n (u_n-u_n')=0$ et $\lim_n (v_n-v_n')=0$.

Supposons $\star$. 

Comme $\lim_n (u_n-u_n')=0$, existe un entier naturel $N_1$ tel que si $\geq N_1$,

$$(1)\ \ \ \ \ \left|u_n-u'_n \right| \leq \frac{r}{4} $$

Comme $\lim_n (v_n-v_n')=0$, existe un entier naturel $N_2$ tel que si $\geq N_2$,

$$(2)\ \ \ \ \ \left|v_n-v'_n \right| \leq \frac{r}{4} $$

On note $N'=\max(N_1,N_2,N)$. 

On a pour tout entier naturel $n$,

$$v_n'-u_n'=(v_n'-v_n)+(v_n-u_n)+(u_n-u_n') $$

Pour $n\geq N$, on a respectivement d'après $(1)$, $(2)$

$$\ \ \ \ -\frac{r}{4} \leq u'_n-u_n \frac{r}{4} \textrm{et}\ \ \ \ -\frac{r}{4} \leq v'_n-v_n \frac{r}{4} $$

En utilisant les premières parties respectives de ses inégalités, on obtient 

$$-\frac{r}{4}-\frac{r}{4}\leq (v_n'-v_n)+(u_n-u_n') $$

Puis en utilisant $(\star)$, cela donne

$$-\frac{r}{4}-\frac{r}{4}+r \leq (v_n'-v_n)+(u_n-u_n')+(v_n-u_n)=v_n'-u_n' $$

ce qui nous permet de conclure que 

$$ v'_n-u'_n\geq -\frac{r}{4}-\frac{r}{4}+r=\frac r 2 $$

En notant $r'= \frac r 2>0$, on a bien l'implication voulue.

Remarque. 

On a utilisé dans cette démonstration le fait que $\left| x \right|\leq a \Rightarrow -a\leq x \leq a $.

En voici la preuve. Tout d'abord, si $\left| x \right|\leq a$, alors on a deux cas possibles. Si $x>0$, $|x|=x$ et dans ce cas, $-a \leq 0\leq x\leq a$. Si $x\leq 0$, alors $|x|=-x\leq a$ implique $-|x|=x\geq -a$ et comme $x\leq 0 \leq |x| \leq a $, on a $-a\leq x \leq a$.

L'implication réciproque est vraie. Elle se démontre aussi (à lire prochainement) dans le cas réel.

Lorsque $\overline u\leq \overline v $, on a d'après la définition deux possibilités : 

- $\overline u= \overline v $ ou 

- $ \exists (r,N) \in\mathbb Q_+^\star\times \mathbb N\ : \ n\geq N \Rightarrow v_n-u_n\geq r$

Ces deux possibilités sont incompatibles puisque s'il existe $(r,N) \in\mathbb Q_+^\star\times \mathbb N$ tel que $\ n\geq N$ implique $v_n-u_n\geq r$. Dans ce cas, la suite $(u_n-v_n)$ converge donc pas vers $0$.

On notera $\overline u< \overline v $ lorsque $\overline u\leq \overline v $ et $\overline u \neq \overline v$. On dira dans ce cas que $\overline u$ est strictement inférieur à $\overline v$.

La relation $\leq $ sur $\mathcal R $ est une prolongation de $\leq$  définie sur $\mathbb Q $  

Rappelons (Propriété 2 de [$\mathbb R$ (0)] ) qu'il existe une fonction $\varphi:\mathbb Q \rightarrow \mathcal C$ définie par $\varphi(x)=\overline{u(x)}= [x,x,x,\ldots]$ (la classe d'équivalence de la suite dont tous les termes sont égaux à $x$) qui est injective.

Supposons que $x$ et $y$ sont deux nombres rationnels tels que $x \leq y$. 

Si $x=y$, alors $\varphi(x)=\varphi(y)$ donc $\varphi(x)\leq \varphi(y)$. 

Supposons que $x<y$. Dans ce cas notons $r=y-x$. On a $\overline{u}=\varphi(x)$ et $\overline{v}=\varphi(y)$, pour $u$ et $v$ définies pour tout $n\in\mathbb N$ par  $u_n=x$ et $v_n=y$.

En prenant $N=0$, on a clairement $\mathbb (\star)$. Donc  $\varphi(x)\leq \varphi(y)$.

Ainsi en identifiant $\mathbb Q$ et son image $\varphi(\mathbb Q)$, on prolonge la relation d'ordre $\leq$ habituelle de $\mathbb Q$ à l'ensemble $\mathcal R$.

$\leq$ est une relation d'ordre sur $\mathcal R$

Nous allons vérifier que la relation $\leq $ de $\mathcal R$ est réflexive, transitive et antisymétrique. (voir relation d'ordre).

(1) Réflexivité.

Par définition de $\leq $ dans $\mathcal{R}$.

(2) Transitivité.

Supposons $\overline u\leq \overline v$ et $\overline{v}\leq \overline w$.

Dans le cas, où $\overline u=\overline v$ ou $\overline v=\overline w$, il n'y a rien à montrer. 

Supposons que les inégalités sont strictes. 

Il existe $N_1,N_2$ entiers naturels et $r_1,r_2$ rationnels strictement positifs tels que si $n\geq N_1$,

$$v_n-u_n\geq r_1$$

et si $n\geq N_2$,

$$w_n-v_n\geq r_2$$

Dans ce cas, pour $n\geq \max(N_1,N_2)$, on a 

$$w_n-u_n=(w_n-v_n)+(v_n-u_n)\geq r_1+r_2>r_1>0$$

Donc $u\leq w$.

(3) Antisymétrie.

Supposons $\overline u\leq \overline v$ et $\overline v\leq \overline u$. 

Si $\overline u\neq \overline v $, alors $\overline u< \overline v$ et $\overline v< \overline u$.

Il existe dans ce cas des entiers naturels $N_1,N_2$  et $r_1,r_2$ rationnels strictement positifs tels que si $n\geq N_1$,

$$v_n-u_n\geq r_1$$

et si $n\geq N_2$,

$$u_n-v_n\geq r_2$$

d'où $v_n-u_n \leq -r_2 $

Ainsi pour $n\geq\max(N_1,N_2)$, alors $r_1\leq v_n-u_n\leq -r_2 $. En particulier, $r_1\leq -r_2<0$ ce qui est contraire au fait que $r_1$ est strictement positif. 

Il est donc impossible que $\overline u\neq \overline v $ impliquant $\overline u = \overline v $.