Spécialité Ex 12 - Une solution

Voici la solution de l'exercice du dimanche N°12. 

Niveau terminale de la spécialité mathématique.

Des versions téléchargeables (pdf et tex) sont disponibles à la fin de l'article.  

Thèmes. Intégrales, fonctions trigonométriques

Niveau Terminale de la spécialité mathématiques.

Exercice 12.

Calculer

$$I=\int_0^\pi \mathrm{e}^x\cos(x) \mathrm{d}x $$

et

$$J=\int_0^\pi  \mathrm{e}^x\sin(x) \mathrm{d}x  $$

La solution

On pose pour $x\in[0;\pi] $

• $u'(x)=\mathrm{e}^x $
• $v(x)=\cos(x)$
• $w(x)=\sin(x)$

On a comme primitive de $u'(x)$, $u(x)=\mathrm{e}^x $

et

• $v'(x)=-\sin(x)$
• $w'(x)=\cos(x)$

D'après le théorème d'intégration par parties (I.P.P), on a

$$I=\int_0^\pi \mathrm{e^x}\cos(x) \mathrm{d}x = \left[\mathrm{e}^x\cos(x) \right]_0^\pi -\int_0^\pi \mathrm{e^x}(-\sin(x))\mathrm{d}x $$

Ainsi $$I= \left[\mathrm{e}^x\cos(x) \right]_0^\pi+\int_0^\pi \mathrm{e^x}\sin(x)\mathrm{d}x $$

 $$I= \mathrm{e}^\pi \cos(\pi)-\mathrm{e}^0 \cos(0)+J=-\mathrm{e}^\pi-1+J $$

Ainsi $I-J=-\mathrm{e}^\pi-1$, puisque $\cos(0)=1$ et $\cos(\pi)=-1$.

D'après le théorème d'intégration par parties (I.P.P), on a

$$J=\int_0^\pi \mathrm{e^x}\sin(x) \mathrm{d}x = \left[\mathrm{e}^x\sin(x) \right]_0^\pi -\int_0^\pi \mathrm{e^x}\cos(x)\mathrm{d}x $$

Ainsi

$$J= \mathrm{e}^\pi\sin(\pi)-\mathrm{e}^0\sin(0)-I=-I$$

puisque $\sin(0)=\sin(\pi)=0 $

Ainsi $I+J=0$.

On a donc le système suivant

$$\left\{ \begin{array}{rclr} I-J&=&-\mathrm{e}^\pi-1 &(1) \\ I+J&=&0&(2) \end{array} \right. \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{rclr} 2I&=&-\mathrm{e}^\pi-1 &(1)+(2)\rightarrow (1) \\ J&=&-I&(2) \end{array} \right.  \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{rcl} I&=&\frac{-\mathrm{e}^\pi-1}2   \\ J&=&\frac{\mathrm{e}^\pi+1}2 \end{array} \right. $$

\textbf{Conclusion.}

$$I=\int_0^\pi \mathrm{e}^x\cos(x) \mathrm{d}x =-\frac{\textrm{e}^\pi+1}{2}$$

et

$$J=\int_0^\pi  \mathrm{e}^x\sin(x) \mathrm{d}x =\frac{\textrm{e}^\pi+1}{2} $$

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