Voici la solution de l'exercice du dimanche N°12.
Niveau terminale de la spécialité mathématique.
Des versions téléchargeables (pdf et tex) sont disponibles à la fin de l'article.
Thèmes. Intégrales, fonctions trigonométriques
Niveau Terminale de la spécialité mathématiques.
Exercice 12.
Calculer
I=\int_0^\pi \mathrm{e}^x\cos(x) \mathrm{d}x
et
J=\int_0^\pi \mathrm{e}^x\sin(x) \mathrm{d}x
La solution
On pose pour x\in[0;\pi]
- u'(x)=\mathrm{e}^x
- v(x)=\cos(x)
- w(x)=\sin(x)
On a comme primitive de u'(x), u(x)=\mathrm{e}^x
et
- v'(x)=-\sin(x)
- w'(x)=\cos(x)
D'après le théorème d'intégration par parties (I.P.P), on a
I=\int_0^\pi \mathrm{e^x}\cos(x) \mathrm{d}x = \left[\mathrm{e}^x\cos(x) \right]_0^\pi -\int_0^\pi \mathrm{e^x}(-\sin(x))\mathrm{d}x
Ainsi I= \left[\mathrm{e}^x\cos(x) \right]_0^\pi+\int_0^\pi \mathrm{e^x}\sin(x)\mathrm{d}x
I= \mathrm{e}^\pi \cos(\pi)-\mathrm{e}^0 \cos(0)+J=-\mathrm{e}^\pi-1+J
Ainsi I-J=-\mathrm{e}^\pi-1, puisque \cos(0)=1 et \cos(\pi)=-1.
D'après le théorème d'intégration par parties (I.P.P), on a
J=\int_0^\pi \mathrm{e^x}\sin(x) \mathrm{d}x = \left[\mathrm{e}^x\sin(x) \right]_0^\pi -\int_0^\pi \mathrm{e^x}\cos(x)\mathrm{d}x
Ainsi
J= \mathrm{e}^\pi\sin(\pi)-\mathrm{e}^0\sin(0)-I=-I
puisque \sin(0)=\sin(\pi)=0
Ainsi I+J=0.
On a donc le système suivant
\left\{ \begin{array}{rclr} I-J&=&-\mathrm{e}^\pi-1 &(1) \\ I+J&=&0&(2) \end{array} \right. \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{rclr} 2I&=&-\mathrm{e}^\pi-1 &(1)+(2)\rightarrow (1) \\ J&=&-I&(2) \end{array} \right. \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{rcl} I&=&\frac{-\mathrm{e}^\pi-1}2 \\ J&=&\frac{\mathrm{e}^\pi+1}2 \end{array} \right.
\textbf{Conclusion.}
I=\int_0^\pi \mathrm{e}^x\cos(x) \mathrm{d}x =-\frac{\textrm{e}^\pi+1}{2}
et
J=\int_0^\pi \mathrm{e}^x\sin(x) \mathrm{d}x =\frac{\textrm{e}^\pi+1}{2}
D'autres exercices
Je publie chaque dimanche un nouvel exercice niveau Première ou Terminale de la spécialité maths.
En attendant, voici la page regroupant tous les exercices du dimanche.
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