Cet article fait suite à
- $\mathbb Q$ (0). Relation d'équivalence sur un ensemble. L'ensemble $\mathbb Q$
- $\mathbb Q$ (1). Structure de corps de $\mathbb Q $. Ordre sur $\mathbb Q$
- $\mathbb Q$ (2). Fractions irréductibles. Aucun rationnel n'a 2 pour carré.
- $\mathbb Q$ (3). Valeur absolue. Suites de rationnels. Suites de Cauchy.
- $\mathbb Q$ (4). Continuité dans $\mathbb Q$
- $\mathbb Q$ (5). La suite de Héron, une suite de Cauchy qui ne converge pas.
Dans la série d'article nous allons construire l'ensemble des nombres réels à partir des nombres rationnels en utilisant les suites de Cauchy.
Inutile tout d'abord de rappeler que nous ne commençons pour le moment que les nombres rationnels. Ainsi certains résultats de ces séries d'articles, même s'ils peuvent être bien connus de certains lecteurs sont repris entièrement et de manière similaire aux résultats similaires pour les nombres réels, comme par exemple, dans cet article, le fait que toute suite de Cauchy est bornée.
Nous définissons ensuite une relation d'équivalence sur l'ensemble $\mathcal C $ des suites de Cauchy de rationnels. Nous obtenons enfin un ensemble $\mathcal R$ comme quotient de $\mathcal C$ par cette relation d'équivalence.
Toute suite de Cauchy est bornée
On dit qu'une suite $u$ de nombres rationnels est bornée s'il existe des nombres rationnels $\alpha$ et $\beta$ tel que pour tout entier naturel $n$, $\alpha\leq u_n \leq \beta$.
$\alpha$ et $\beta$ sont respectivement nommés des minorants et majorants de $u$.
Propriété 1.
Si $u$ est une suite de Cauchy de rationnels, alors $u$ est bornée.
Démonstration.
Notons $\varepsilon=1$. Par définition d'une suite de Cauchy, il existe un entier $N$ tel que si $m,k$ sont supérieurs ou égaux à $N$, alors $|u_m-u_p|<\varepsilon =1$.
Notons $\gamma$ le maximum respectif de l'ensemble fini
$$S_1=\left\{|u_k| \ | \ 0\leq k\leq N \right\} $$
qui est de cardinal $N+1$.
Alors pour tout entier naturel $n$, on a
$$-2\gamma -1 \leq u_n \leq 2\gamma +1 $$
En effet pour tout entier $n$ compris entre $1$ et $N$, on a $ |u_n| \leq \gamma $ d'où $-\gamma \leq u_n \leq \gamma $. Il existe un entier $t$ compris entre $1$ et $N$ tel que $|u_t|=\gamma$.
Pour tout $n\geq N$, on a
$$|u_n|=|u_n-u_t+u_t|\leq |u_n-u_t|+|u_t|= |u_n-u_N+u_N-u_t|+|u_t|$$
Ainsi
$$|u_n|\leq |u_n-u_N|+|u_N-u_t|+|u_t| \leq 1+|u_N|+|u_t|\leq 1+|u_t|+|u_t|\leq 1+2\gamma$$
Cette inégalité est aussi vraie pour $n\leq N$ car $1\leq 2\gamma +1$.
On en déduit que pour tout entier naturel $n$,
$$-2\gamma -1 \leq u_n \leq 2\gamma +1 $$
Somme et produit de suites
Sommes et différences de suites
Si $u$ et $v$ sont des suites, on définit
$u+v$ comme la suite définie pour tout $n$ par $(u+v)_n=u_n+v_n$
$-v$ comme la suite définie pour tout $n$ par $(-v)_n=-v_n$
$u-v=u+(-v)$
Produits de suites
Si $u$ et $v$ sont des suites, nous définirons dans cet article le produit de $u$ et de $v$ noté $u\times v$ ou $uv$ par
$$ (u\times v)_n=u_n\times v_n $$
Une relation d'équivalence sur l'ensemble des suites de Cauchy
On note $\mathcal{C}$ l'ensemble des suites rationnelles de Cauchy.
Relation $\sim$
On définit sur l'ensemble $\mathcal C$, la relation suivante. Étant données $u,v$ dans $C$, on note $u\sim v$ si et seulement si $u-v$ converge vers $0$.
Propriété.
La relation $\sim$ est une relation d'équivalence.
Démonstration.
(1) Symétrie.
D'après la définition de convergence vers $0$ (voir plus haut), puisque $|u_n-v_n|=|v_n-u_n|$, il est clair que la relation $\sim$ est symétrique.
(2) Transitivité.
Supposons que $u\sim v$ et que $v\sim w$. Soit $\varepsilon>0$. Il existe $m$ et $k$ tels que $n\geq k$ implique $|u_n-v_n|\leq \frac \varepsilon 2$, et $n\geq m$ implique $|v_n-w_n|\leq \frac \varepsilon 2$.
En prenant, $n\geq \max(m,k)$, on a d'après l'inégalité triangulaire :
$$ |u_n-w_n|=|u_n-v_n+v_n-w_n|\leq |u_n-v_n|+|v_n-w_n|\leq \frac \varepsilon 2=\varepsilon$$
Donc $u-w$ converge vers $0$, d'où $u\sim w$.
(3) Réflexivité.
La suite $u-u$ ayant tous ses termes nuls converge vers 0. Ainsi $u\sim u$.
Quotient $\mathcal C / \sim$
On note $\mathcal{R}$ l'ensemble quotient $\mathcal C/\sim$.
Les éléments de $\mathcal{R}$ sont les classes d'équivalence de la relation $\sim$.
Le lecteur non aguerri avec les notions de relation d'équivalence et de classe d'équivalence pourra consulter $\mathbb Q (0)$.
Dans la suite, une suite de Cauchy de rationnels, c'est-à-dire un élément de $\mathcal C$ sera noté $u$, $(u_n)$ ou $(u_0,u_1,u,_2,\ldots)$.
Sa classe d'équivalence pour la relation $\sim$ sera notée $\overline u$, $[u_n]$ ou $[u_0,u_1,u_2,\ldots]$.
Ainsi
$$\lim_n u_n-v_n=0\Leftrightarrow u\sim v \Leftrightarrow \overline u=\overline v$$
Si $x$ et $y$ sont deux rationnels, notons $u(x)=(x,x,x,\ldots) $ et $u(y)=(y,y,y,\ldots) $.
Addition et produit dans $\mathcal R$
Addition
Pour toutes suites de Cauchy de rationnels $u$ et $v$, on voudrait définir
$$(+) \ \ \ \ \ \overline{u}+\overline{v}=\overline{u+v} $$
$(+)$ n'a de sens que si $\overline{u+v} $ ne dépend pas du choix des représentants de $\overline{u}$ et de $\overline{v}$.
Prenons $u'$ et $v'$ tels que $\overline{u}=\overline{u'}$ et $\overline{v}=\overline{v'}$.
Cela signifie que
$$(1) \ \ \ \ \ \lim_n(u_n-u'_n)=0 $$
et que
$$(2) \ \ \ \ \ \lim_n(v_n-v'_n)=0 $$
On veut montrer que $\overline{u'+v'}=\overline{u+v} $, c'est-à-dire que
$$\lim_n \left(u'_n+v'_n-(u_n+v_n)\right)=0 $$
Soit $\varepsilon>0$.
D'après $(1)$, il existe $N>0$, tel que pour tout $n\geq N$,
$$\left|u_n-u'_n \right|\leq \frac{\varepsilon}{2} $$
D'après $(2)$, il existe $M>0$, tel que pour tout $n\geq M$,
$$\left|v_n-v'_n \right|\leq \frac{\varepsilon}{2} $$
Ainsi pour tout $n\geq \max(N,M)$, on a d'après l'inégalité triangulaire
$$\left|u'_n+v'_n-(u_n+v_n)\right|\leq \left|u_n-u'_n \right|+\left|v_n-v'_n \right|\leq \frac{\varepsilon}{2} +\frac{\varepsilon}{2} =\varepsilon $$
On en déduit que $\lim_n \left(u'_n+v'_n-(u_n+v_n)\right)=0 $.
$(+)$ a du sens car $\overline{u+v} $ ne dépend pas du choix des représentants de $\overline{u}$ et de $\overline{v}$.
On a donc définit sur $\mathcal C/\sim $ une opération $+$ par la règle $(+)$ précédemment énoncée.
Propriété 2.
La fonction $\varphi:\mathbb Q \rightarrow \mathcal C$ définie par
$\varphi(x)=\overline{u(x)}= [x,x,x,\ldots]$ (la classe d'équivalence de la suite dont tous les termes sont égaux à $x$) est injective.
De plus, pour tous rationnels $x,y$, $\varphi(x+y)=\varphi(x)+\varphi(y)$.
Preuve.
Notons $u(x)=(u_n)$ et $u(y)=(v_n)$.
$[x,x,x,\ldots]=[y,y,y,\ldots]$ implique que pour tout $\varepsilon>0$, il existe un entier $N=N_\varepsilon\geq 0$ tel que $n\geq N$ implique $|u_n-v_n|\leq \varepsilon$, c'est à dire $|x-y|\leq \varepsilon$.
Si $x\neq y$, on a une contradiction en prenant $\varepsilon=\frac {|x-y|} 2<|x-y|$.
Ainsi $x=y$.
$$\varphi(x+y)= [x+y,x+y,x+y,\ldots]=\overline{(x+y,x+y,x+y,\ldots)}=\overline{(x,x,x,\ldots)}+\overline{(y,y,y,\ldots)}$$
Donc
$$\varphi(x+y)=[x,x,x,\ldots]+[y,y,y,\ldots]=\varphi(x)+\varphi(y)$$
L'injection $\varphi$ nous permet de considérer $\mathbb Q$ comme un sous ensemble de $\mathcal R=\mathcal C /\sim $
Multiplication dans $\mathcal R$
On va maintenant comme pour $+$ définir $\times$ sur $\mathcal C/\sim $.
On va démontrer que $\overline{u \times v}$ ne dépend pas du choix des représentants de $\overline{u}$ et de $\overline{v}$.
Pour cela, on considère $u,u'$ et $v,v'$ des suites de Cauchy tels que $u\sim u'$ et $v\sim v'$.
Cela signifie que
$$(1) \ \ \ \ \ \lim_n(u_n-u'_n)=0 $$
et que
$$(2) \ \ \ \ \ \lim_n(v_n-v'_n)=0 $$
On veut montrer que $\lim_n (u_nv_n-u'_nv'_n)=0$.
On a pour tout entier naturel $n$,
$$|u_nv_n-u'_nv'_n|\leq |u_nv_n-u_nv'_n|+|u_nv'_n-u'_nv'_n |$$
Or d'après la propriété 2 de l'article $\mathbb Q$ (3), le membre de droite est égal à $|u_n|\times |v_n-v'_n |+|v'_n|\times |u_n-u'_n|$.
Toute suite de Cauchy étant bornée, il existe deux rationnels $A>0$ et $B>0$ tels que pour tout $n\in\mathbb N$,
$|u_n|\leq A $ et $|v'_n|\leq B$.
On a donc pour tout entier naturel $n$,
$$|u_nv_n-u'_nv'_n|\leq A |v_n-v'_n | +B|u_n-u'_n|$$
Soit $\varepsilon$ un rationnel strictement positif.
D'après (1), il existe un entier naturel $N$ tel que pour tout $n\geq N$, $|u_n-u'_n|\leq \frac{\varepsilon}{4A}$.
D'après (2), il existe un entier naturel $M$ tel que pour tout $n\geq M$, $|v_n-v'_n|\leq \frac{\varepsilon}{4B}$.
Ainsi pour tout $n\geq \max(N,M)$, on a
$$|u_nv_n-u'_nv'_n|\leq A\times \frac{\varepsilon}{4A} +B\times \frac{\varepsilon}{4B}=\frac{\varepsilon}2<\varepsilon $$
On a donc bien $$\lim_n (u_nv_n-u'_nv'_n)=0$$
On peut maintenant définir le produit de deux éléments de $\mathcal R= \mathcal C/\sim$ par
$$(\times) \ \ \ \ \ \overline{u}\times \overline{v}=\overline{u \times v} $$
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