Groupes (0) : Définitions et exemples

Dans ce billet, nous introduisons les groupes à l'aide de quelques exemples simples.

Définitions

Définition 1. 

Soit $E$ un ensemble. Soit $\ast$ une application de $E\times E$ vers $E$, c'est-à-dire telle que $(x,y)\mapsto x\ast y$ avec $x\ast y\in E$.

Alors on dit que $\ast$ est une loi interne sur $E$.

Exemple 1. L'addition $+$ est une  loi interne sur $\mathbb N$ car la somme $x+y$ de deux entiers positifs ou nuls $x$ et $y$ est un entier positif ou nul.

Exemple 2. Si $\overrightarrow u$ et  $\overrightarrow v$ sont des vecteurs de l'espace, c'est-à-dire des élément de $\mathbb R^3$, alors leur produit vectoriel $\overrightarrow u \wedge \overrightarrow v$ est un élément de $\mathbb R^3$ défini par

$$\begin{pmatrix} u_1\\ u_2 \\ u_3  \end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} v_1\\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u_2v_3 -u_3v_2\\ u_3v_1-u_1v_3 \\ u_1v_2-u_2v_1 \end{pmatrix}$$

Le produit vectoriel $\wedge$ définit une loi interne sur $\mathbb R^3$.

Définition 2.

Soit $G$ un ensemble sur lequel il existe une loi interne $\ast$ sur $G$. 

$(G,\ast)$ est appelé groupe si les 3 conditions suivantes sont vérifiées :

1.  [existence de l'élément neutre] Il exite un élément $e$ dans $G$ tel que pour tout élément $g$ de $G$ : $e\ast g = g \ast e = g$. $e$ est appelé un élément neutre de $G$.
2. [existence de l'inverse] Tout élément de $g$ posssède un inverse pour la loi $\ast$ : pour tout $g\in G$, il existe un élément $h$ tel que $gh=hg=e$
3. [associativité] $\ast$ est une loi associative, c'est-à-dire : pour tous $g,h,k$ dans $G$, on a l'égalité $g(hk)=(gh)k$. On notera sans confusion possible $ghk$ ce produit.
   
   Si de plus,
4. [commutativité] Pour tous $g,h$ dans $G$, on a $gh=hg$,

  alors on dit que $G$ est un groupe commutatif.

Remarque. Il ne peut y avoir qu'un seul élément neutre $e$ dans un groupe. 

En effet, pour tout élément neutre $e'$, on a $e'=ee'$ car $e$ est neutre et $ee'=e$ car $e'$ est neutre, donc $e=e'$. 

Exemples simples

Le groupe $\mathbb Z$

$(\mathbb N,+)$ n'est pas un groupe car à part $0$ qui est l'élément neutre, aucun élément n'a d'inverse pour l'opération $+$. Attention, ici l'inverse pour $+$ signifie l'opposé.  

L'axiome (1) et (3) sont vérifiés, mais pas l'axiome (2) donc $\mathbb N$ n'est pas un groupe.

$(\mathbb Z, +)$ est un groupe car maintenant tous les axiomes sont vérifiés. L'axiome (4) en fait un groupe commutatif.

On peut aussi regarder $\mathbb Z$ muni de la loi $\times$. $1$ est l'élément neutre pour la multiplication. Mais par exemple le nombre $2$ n'a pas d'inverse dans $\mathbb Z$ pour la multiplication : il n'existe pas d'entier relatif $a$ tel que $2a=1$. 

Donc $(\mathbb Z,\times)$ n'est pas un groupe. 

$\mathbb Q$

$\mathbb Q$ muni de la loi $+$ est un groupe commutatif.

Muni de la loi $\times$, $\mathbb Q$ n'est pas un groupe car $0$ n'a pas d'inverse.

Si l'on retire de $\mathbb Q$ le seul élément  $0$ non inversible pour $\times$, on obtient l'ensemble que l'on note souvent $\mathbb Q^\ast=\{x\in \mathbb Q | x\neq 0 \}=\mathbb Q\setminus \{0\}$. Alors $(\mathbb Q^\ast,\times)$ est un groupe commutatif.

Rotations de centre $O$

Etant donné un plan orienté et un point $O$, notons $\mathcal R_O$ l'ensemble des rotations de centre $O$.

Un élément de $\mathcal R_O$ est caractérisé par un réel $\theta$ (l'angle de la rotation), on peut le noter $r_\theta$. Ainsi $\mathcal R_O=\left\{r_\theta | \theta\in\mathbb R \right\}$.

La composée de deux rotations $r_\theta$ et $r_\phi$ est la rotation : $r_\theta\circ r_\phi=r_{\theta+\phi}$ est un élément de $\mathcal R_O$ aussi égal à $r_\phi\circ r_\theta$. $\circ$ est donc une loi interne commutative.

La rotation d'angle $0$, $r_0$ est un élément neutre pour $(\mathcal R_O,\circ)$, et tout $r_\theta$, possède un inverse $r_{-\theta}$.

Enfin l'associativité de $(\mathcal R_O,\circ)$ découle de celle de $(\mathbb R,+)$

$$(r_\psi \circ r_\phi) \circ r_\theta=r_{\psi+\phi}\circ r_\theta =r_{(\psi+\phi)+\theta}=r_{\psi+(\phi+\theta)}=r_{\psi}\circ(r_{\phi+\theta})=r_{\psi}\circ(r_{\phi}\circ r_\theta)$$

On en déduit que $(\mathcal R_O,\circ)$ est un groupe commutatif.

$\mathbb U$

Notons $\mathbb U$ l'ensemble des nombres complexes de module 1.

Alors $(\mathbb U,\times)$ est un groupe commutatif. 

Nous utiliseraons la propriété suivante.

Propriété A.

Si $z$ et $w$ sont des nombres complexes, alors $\left| zw \right|=|w| \times |z|$.

Ainsi si deux nombres ont pour module 1, alors leur produit est aussi de module 1.

 $\times$ définit donc une loi interne sur  $\mathbb U$.

Les axiomes (1), (3) et (4) qui sont vrais sur $\mathbb C$ restent vrais sur $\mathbb U$. 

Montrons que l'axiome (2) est vérifié également. Pour commencer, tous les éléments $z$ de $\mathbb U$ possèdent un inverse $\frac 1 z$ dans $\mathbb C$ car le module de 0 est 0 (et seul 0 n'est pas inversible pour la multiplication dans $\mathbb C$). De plus l'inverse d'un élément de module 1 est aussi de module 1. Cela provient aussi de la propriété A avec $w=\frac 1 z$, on a en effet :

$$\left| z \times \frac 1 z\right| =|z|\times  \left| \frac 1 z \right|$$

d'où $1=1\times \left| \frac 1 z \right|$, qui donne $1= \left| \frac 1 z \right|$. 

L'inverse $\frac  1 z$ de $z$ est donc dans  $\mathbb S^1$  si $z$ ets dans $\mathbb S^1$.

$z$ est inversible pour la multiplication dans $\mathbb C$ si $z\neq 0$. 

On peut en déduire que $\left( \mathcal U,\times\right)$ est un groupe. C'est en fait un sous-groupe de $(\mathbb C,\times)$ (nous verrons cette notion plus tard).

 

Le groupe $GL_n$

On notera $GL_n$ l'ensemble des matrices $n\times n$ de déterminant non-nul. C'est le groupe linéaire. On pourra supposer dans cet article que les coeeficients des matrices sont rééls. (Nous parlerons donc du groupe linéaire réel).

Alors si $\cdot$ dénote le produit matriciel, $(GL_n ,\cdot)$ forme un groupe appelé groupe linéaire. Ce groupe n'est pas commutatif.

La démonstration de ce résultat se fait de manière analogue à la démonstration de l'exemple précédent sur $\mathbb S^1$. On peut reprendre exactement la même démonstration en remplaçant le module par le déterminant. 

En effet, on a la propriété suivante :

Propriété B. 

(B1) Une matrice carrée A est inversible si son déterminant est non-nul

(B2) Si A et B sont deux matrices de tailles $n\times n$, alors 

$$\det(A\cdot B)=\det(A)\times \det(B)$$

Une conséquence directe de (B2) est que $\det\left(A\cdot A^{-1}\right)=\det(A)\times \det\left(A^{-1}\right)$.

Comme $A\cdot A^{-1}=I_n$ (la matrice identité $n\times n$), et comme $\det(I_n)=1$, on a $\det\left(A^{-1}\right)\neq 0$ et en particulier

$$(1)\ \ \ \frac{1}{\det A}=\det\left(A^{-1}\right)$$

L'ensemble $O(n)=\left\{A\in GL_n  | \det(A)=1 \textrm{ou}\ -1\right\}$ est appelé groupe orthogonale. C'est un sous-groupe de $GL_n$ pour la loi $\cdot$ autrement dit un groupe inclus dans $GL_n$ (qui est lui-même un groupe pour $\cdot$). 

En effet, il suffit pour cela de vérifier que tout élément de $O(n)$ a son inverse dans $O(n)$. D'après l'égalité (1), c'est clair car 1 et -1 sont leur propres inverses.

Le groupe des bijections 

L'ensemble des bijections d'un ensemble dans lui-même est un groupe. Pour l'ensemble à $n$ élément $\left\{1,2,\ldots,n\right\}$, ce groupe est l'ensemble des permutations de $n$ éléments. 

Ensuite

Pour continuer la série d'articles sur les groupes, on pourra lire [(G1) : Sous-groupes (Définitions et exemples)].