Spécialité (Approfondissement) - Exercice 10 (spécial)

Voici un exercice d'approfondissement niveau terminale de la spécialité mathématique.

Des versions téléchargebles (pdf et tex) sont disponibles à la fin de l'article.  

Thèmes. Fonctions exponentielle, continuité, limites, différentiabilité

Niveau Terminale de la spécialité mathématique (approfondissement).

Exercice 10.

Le but de cet exercice est d'étudier la fonction $x\longmapsto\frac{\mathrm{e}^x -1}{x} $.

On note $f$ la foncion définie sur $\mathbb R$ par

$$\left\{ \begin{array}{rclr} f(x)&=& \frac{\mathrm{e}^x -1}{x} & \textrm{si } x\neq 0 \\ f(0)&=& 1  \end{array} \right. $$

Partie 1 : Continuité et limites

1.  Justifier que $f$ est continue sur $\mathbb R$.
2. Déterminer les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$.

Partie 2 : Inégalités

On  note pour tout $x\in\mathbb R$

•  $u(x)=\mathrm{e}^x-x-1 $
•  $v(x)=\frac{x^2}{2}$
•  $w(x)=\frac{x^2}{2}\mathrm{e}^x$

 

On note aussi pour tout $x\in\mathbb R$

• $a(x)=u(x)-v(x)$
• $b(x)=u(x)-w(x)$

1.     
• (a)    Calculer $a''(x)$.
• (b)    En déduire les variations de $a'$ puis celle de $a$.
• (c)    Déterminer le signe de $a(x)$ en fonction de $x$.
2.  De la même façon, déterminer le signe de $b(x)$ en fonction de $x$ sur l'intervalle $[-4;+\infty[$
3. Justifier que pour tout $x\in[-4;0[$,

    $$(1) \ \ \ \ \ \ \ w(x)<u(x)<v(x)$$
    et que pour tout $x\in]0;+\infty[$,
     $$(2) \ \ \ \ \ \ \ v(x)<u(x)<w(x)$$

Partie 3 : Calcul d'une limite et dérivabilité de $f$

1.  Justifier que $f$ est dérivable sur $]-\infty;0[$ et sur $]0;+\infty[$ et exprimer $f'(x)$ en fonction de $x$ sur ces intervalles.
2. 
   
• Montrer que $\lim_{h\rightarrow 0}\frac{e^h-1-h}{h^2}=\frac  1 2$.
• En déduire que $f$ est dérivable en $0$.
3. Justifier que $f$ est croissante sur $\mathbb R$.
4. La fonction $f'$ est-elle continue sur $\mathbb R $ ?

Versions téléchargeables

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La solution

Etant donnée la longueur exceptionnelle de cet exercice, la solution ici sera accessible une semaine après publication de cet article afin de laisser plus de temps au lecteur.

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