Cet article fait suite à
- \mathbb Q (0). Relation d'équivalence sur un ensemble. L'ensemble \mathbb Q
- \mathbb Q (1). Structure de corps de \mathbb Q . Ordre sur \mathbb Q
- \mathbb Q (2). Fractions irréductibles. Aucun rationnel n'a 2 pour carré.
- \mathbb Q (3). Valeur absolue. Suites de rationnels. Suites de Cauchy.
- \mathbb Q (4). Continuité dans \mathbb Q
Nous savons maintenant que les suites convergentes de \mathbb Q sont des suites de Cauchy. Dans cet article, nous voyons que toutes les suites de Cauchy de nombres rationnels (d'éléments de \mathbb Q) ne sont pas convergentes.
C'est une lacune de \mathbb Q. On dira pour cette raison que l'ensemble des rationnels est non complet.
Nous allons pour cela considérer la suite de Héron qui se trouve être un contre-exemple classique de suite rationnelle de Cauchy qui ne converge pas (dans le sens rationnel).
La suite de Héron
Considérons la suite (x_n) donnée par
\left\{\begin{array}{rclr} x_0 & = & 2 &\\ x_{n+1} & = & \frac{x_n}{2}+\frac{1}{x_n} & \ \ \ \ (n\geq 0) \end{array}\right.
On va montrer par différentes étapes que la relation précédente définit une suite x=(x_n) qui est de Cauchy et qui ne converge pas.
C'est la suite de Héron.
Voici les étapes :
- La suite x est bien définie et ses termes sont strictement positifs.
- La suite x ne converge pas.
- Montrer que x est une suite de Cauchy :
La suite x est bien définie
0) x_0 étant défini, il suffit de vérifier que si pour un certain l'existence de x_k implique que x_{k+1} peut-être défini par la relation x_{k+1} = \frac{x_k}{2}+\frac{1}{x_k}. Il suffit pour cela que x_k soit non-nul.
Supposons que x_n existe et que x_n>0. Alors \frac{x_n}{2}+\frac{1}{x_n} existe et comme \frac{x_n}{2} et \frac{1}{x_n} sont strictement positifs, leur somme l'est aussi. Ainsi on peut définir x_{n+1}=\frac{x_n}{2}+\frac{1}{x_n}.
La suite x ne converge pas
La fonction x\mapsto \frac{x}{2} est continue en tout rationnel t>0 d'après la propriété 1, article \mathbb Q (4).
La fonction x\mapsto \frac{1}{x} est continue en tout rationnel t>0 d'après la propriété 2, article \mathbb Q (4).
Ainsi la fonction f, somme de ces deux fonctions, est d'après la propriété 3, article \mathbb Q (4) continue en tout rationnel t>0.
Supposons (par l'absurde) que \lim x=\ell pour n certain rationnel \ell.
D'après la propriété 4 de l'article \mathbb Q (4), puisque f est continue en tout t>0, f(\ell)=\ell.
On a donc \ell=\frac{\ell}{2}+\frac{1}{\ell} d'où \frac{\ell}{2}=\frac{1}{\ell} puis \ell^2=2 .
On aboutit à une contradiction car aucun rationnel n'a pour carré 2 (voir \mathbb Q (2)).
La suite x est une suite de Cauchy
Nous allons maintenant montrer que cette suite (x_n) est une suite de Cauchy.
On sait que pour tout n, x_n>0, ainsi d'après la propriété 2 de l'article \mathbb Q (3) de l'article ?, il suffit de démontrer que x est décroissante.
On a pour tout n\in \mathbb N,
x_{n+1}-x_n=\frac{x_n}{2}+\frac{1}{x_n}-x_n=\frac{-x_n}{2}+\frac{1}{x_n}=\frac{2-x_n^2}{2x_n}
Cette expression est du signe de 2-x_n^2 car 2x_n>0.
Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel n, x_n^2>2.
On a x_0=2 d'où x_0^2=4>2 donc la propriété est initialisée.
Supposons que pour un certain k, x_k^2>2.
Alors
\left(x_{k+1}\right)^2=\left(\frac{x_k}{2}+\frac{1}{x_k}\right)^2=\frac{x_k^2}{4}+1+\frac{1}{x_n^2}
Ainsi
\left(x_{k+1}\right)^2>2 \Longleftrightarrow \frac{x_k^2}{4}+\frac{1}{x_n^2}>1
Comme x_k^2>2 , on a \frac{x_k^2}{4} > \frac{2^2}{4}=1 et comme \frac{1}{x_n^2}>0, on a \frac{x_k^2}{4}+\frac{1}{x_n^2}>1. On peut donc en déduire \left(x_{k+1}\right)^2>2.
Ainsi pour tout entier naturel n, on a x_n^2>2, et donc 2-x_n^2<0 . Ceci nous permet de conclure que pour tout entier naturel n,
x_{n+1}-x_n<0
prouvant par là que x est une suite strictement décroissante.
La propriété 2 de l'article \mathbb Q (3) nous permet de montrer que x est une suite de Cauchy.
On a donc une suite de Cauchy qui ne converge pas dans \mathbb Q.
Conclusion et suite
Nous avons donc une suite de Cauchy de rationnels qui ne converge pas. Une des raison pour lesquels elle ne converge pas est ici liée à une autre lacune de \mathbb Q , le fait que l'équation x^2=2 n'ait pas de solution.
La topologie de \mathbb Q n'est pas complète. Nous allons dans un article suivant construire un ensemble contenant \mathbb Q dans lequel toute suite de Cauchy converge.
Ainsi la suite de Héron x aura pour limite dans ce nouvel ensemble un nombre dont le carré sera égal à 2. Un tel nombre n'étant pas rationnel sera alors appelé irrationnel.
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