$\mathbb Q$ (5). la suite de Héron, une suite de Cauchy qui ne converge pas.

 Cet article fait suite à 

• $\mathbb Q$ (0). Relation d'équivalence sur un ensemble. L'ensemble $\mathbb Q$
• $\mathbb Q$ (1). Structure de  corps de $\mathbb Q$. Ordre sur $\mathbb Q$
• $\mathbb Q$ (2). Fractions irréductibles. Aucun rationnel n'a 2 pour carré.
• $\mathbb Q$ (3). Valeur absolue. Suites de rationnels. Suites de Cauchy.
• $\mathbb Q$ (4). Continuité dans $\mathbb Q$

Nous savons maintenant que les suites convergentes de $\mathbb Q$ sont des suites de Cauchy. Dans cet article, nous voyons que toutes les suites de Cauchy de nombres rationnels (d'éléments de $\mathbb Q$) ne sont pas convergentes. 

C'est une lacune de $\mathbb Q$. On dira pour cette raison que l'ensemble des rationnels est non complet. 

Nous allons pour cela considérer la suite de Héron qui se trouve être un contre-exemple classique de suite rationnelle de Cauchy qui ne converge pas (dans le sens rationnel).

La suite de Héron

Considérons la suite $(x_n)$ donnée par

$$\left\{\begin{array}{rclr} x_0 & = & 2 &\\ x_{n+1} & = &  \frac{x_n}{2}+\frac{1}{x_n} &  \ \ \ \ (n\geq 0) \end{array}\right.$$

On va montrer par différentes étapes que la relation précédente définit une suite $x=(x_n)$ qui est de Cauchy et qui ne converge pas.

C'est la suite de Héron.

Voici les étapes :

• La suite $x$ est bien définie et ses termes sont strictement positifs. 
• La suite $x$ ne converge pas. 
• Montrer que $x$ est une suite de Cauchy :

La suite $x$ est bien définie

0) $x_0$ étant défini, il suffit de vérifier que si pour un certain l'existence de $x_k$ implique que $x_{k+1}$ peut-être défini par la relation $x_{k+1}  =   \frac{x_k}{2}+\frac{1}{x_k}$. Il suffit pour cela que $x_k$ soit non-nul. 

Supposons que $x_n$ existe et que $x_n>0$. Alors $\frac{x_n}{2}+\frac{1}{x_n}$ existe et comme $\frac{x_n}{2}$ et $\frac{1}{x_n}$ sont strictement positifs, leur somme l'est aussi. Ainsi on peut définir $x_{n+1}=\frac{x_n}{2}+\frac{1}{x_n}$. 

La suite $x$ ne converge pas

La fonction $x\mapsto \frac{x}{2}$ est continue en tout rationnel $t>0$ d'après la propriété 1, article $\mathbb Q$ (4).

La fonction $x\mapsto \frac{1}{x}$ est continue en tout rationnel $t>0$ d'après la propriété 2, article $\mathbb Q$ (4).

Ainsi la fonction $f$, somme de ces deux fonctions, est d'après la propriété 3, article $\mathbb Q$ (4) continue en tout rationnel $t>0$.

Supposons (par l'absurde) que $\lim x=\ell$ pour n certain rationnel $\ell$.  

D'après la propriété 4 de l'article $\mathbb Q$ (4), puisque $f$ est continue en tout $t>0$, $f(\ell)=\ell$.

On a donc $\ell=\frac{\ell}{2}+\frac{1}{\ell}$ d'où $\frac{\ell}{2}=\frac{1}{\ell}$ puis $\ell^2=2$.

On aboutit à une contradiction car aucun rationnel n'a pour carré 2 (voir $\mathbb Q$ (2)).

La suite $x$ est une suite de Cauchy

Nous allons maintenant montrer que cette suite $(x_n)$ est une suite de Cauchy.

On sait que pour tout $n$, $x_n>0$, ainsi d'après la propriété  2 de l'article $\mathbb Q$ (3)  de l'article ?, il suffit de démontrer que $x$ est décroissante.

On a pour tout $n\in \mathbb N$, 

$$x_{n+1}-x_n=\frac{x_n}{2}+\frac{1}{x_n}-x_n=\frac{-x_n}{2}+\frac{1}{x_n}=\frac{2-x_n^2}{2x_n}$$

Cette expression est du signe de $2-x_n^2$ car $2x_n>0$. 

Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $x_n^2>2$.

On a $x_0=2$ d'où $x_0^2=4>2$ donc la propriété est initialisée.

Supposons que pour un certain $k$, $x_k^2>2$.

Alors 

$$\left(x_{k+1}\right)^2=\left(\frac{x_k}{2}+\frac{1}{x_k}\right)^2=\frac{x_k^2}{4}+1+\frac{1}{x_n^2}$$

Ainsi 

$$\left(x_{k+1}\right)^2>2 \Longleftrightarrow \frac{x_k^2}{4}+\frac{1}{x_n^2}>1$$

Comme $x_k^2>2$, on a $\frac{x_k^2}{4} > \frac{2^2}{4}=1$ et comme $\frac{1}{x_n^2}>0$, on a $\frac{x_k^2}{4}+\frac{1}{x_n^2}>1$. On peut donc en déduire $\left(x_{k+1}\right)^2>2$.

Ainsi pour tout entier naturel $n$, on a $x_n^2>2$, et donc $2-x_n^2<0$. Ceci nous permet de conclure que pour tout entier naturel $n$, 

$$x_{n+1}-x_n<0$$

prouvant par là que $x$ est une suite strictement décroissante.

La propriété 2 de l'article $\mathbb Q$ (3) nous permet de montrer que $x$ est une suite de Cauchy.

On a donc une suite de Cauchy qui ne converge pas dans $\mathbb Q$. 

Conclusion et suite

Nous avons donc une suite de Cauchy de rationnels qui ne converge pas. Une des raison pour lesquels elle ne converge pas est ici liée à une autre lacune de $\mathbb Q$, le fait que l'équation $x^2=2$ n'ait pas de solution. 

La topologie de $\mathbb Q$ n'est pas complète. Nous allons dans un article suivant construire un ensemble contenant $\mathbb Q$ dans lequel toute suite de Cauchy converge. 

Ainsi la suite de Héron $x$ aura pour limite dans ce nouvel ensemble un nombre dont le carré sera égal à 2. Un tel nombre n'étant pas rationnel sera alors appelé irrationnel.