Spécialité Maths - Exercice 11 - Une solution

Voici la solution de l'exercice du dimanche N°11. 

Niveau terminale de la spécialité mathématique.

Des versions téléchargeables (pdf et tex) sont disponibles à la fin de l'article.  

Thèmes. Equations différentielles, fonctions trigonométriques

Niveau Terminale de la spécialité mathématiques.

Exercice 11.

On veut trouver les solutions de l'équation différentielle

$$(E)\ \ \ \ \ \ \ y'=3y+\cos(x) $$

1. Trouver des réels $a$ et $b$ de sorte que la fonction $f$ définie sur $\mathbb R  $ par $f(x)=a\cos(x)+b\sin(x)$ soit une solution particulière de $(E)$
2. Résoudre $(E)$.

La solution

Question 1.
Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb R $ par $f(x)=a\cos(x)+b\sin(x)$, avec $a$ et $b$ réels.

 $f$ est dérivable comme combinaison linéaire de fonctions dérivables $\cos $ et $\sin $. Puisque $\cos'=-\sin $ et $\sin'=\cos $, on a

 $$f'(x)=-a\sin(x)+b\cos(x) $$

 Ainsi $f$ est solution de $(E)$ si $a$ et $b$ vérifient pour tout $x$ réel,

 $$-a\sin(x)+b\cos(x)=3a\cos(x)+3b\sin(x) +\cos(x)$$

 ou encore

 $$b\cos(x)+(-a)\sin(x)=(3a+1)\cos(x)+3b\sin(x) $$

 Il suffit pour cela que $a$ et $b$ soient solutions du système

 $$(S)\ \ \ \left\{\begin{array}{rcl}  b&=&3a+1\\  -a&=&3b \\  \end{array} \right. $$

 Résolvons $(S)$ pour trouver une solution en utilisant des combinaisons linéaires des lignes $L_1$ et $L_2$.

 $$(S)\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{rclr} -3a+b&=&1&(L_1)\\  -a-3b&=&0&(L_2) \\  \end{array} \right. \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{rclr} -9a+3b&=&3&(3L_1\rightarrow L_1)\\  -a-3b&=&0&(L_2) \\  \end{array} \right. \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{rclr} -10a&=&3&(L_1+L_2\rightarrow L_1)\\  -a-3b&=&0&(L_2) \\  \end{array} \right. $$

 On a finalement une solution unique de $(S)$

 $$(S)\ \ \ \ \left\{\begin{array}{rcl} a&=&-\frac{3}{10}\\  -\left(-\frac{3}{10} \right)-3b&=&0 \\  \end{array} \right. \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{rcl} a&=&-\frac{3}{10}\\  \frac{3}{10}&=&3b \\  \end{array} \right. \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{rcl} a&=&-\frac{3}{10}\\  \frac{1}{10}&=&b\\  \end{array} \right. $$

Ainsi $(a;b)=\left(-\frac 3{10};\frac 1{10} \right) $ est la seule solution de $(S)$.

Posons $f(x)=-\frac 3{10}\cos(x)+\frac 1{10}\sin(x) $ et vérifions que $f'=3f+\cos(x) $.

On a

$$f'(x)=\frac 3{10}\sin(x)+\frac 1{10}\cos(x)$$

et

$$3f(x)+\cos(x)=-\frac 9{10}\cos(x)+\frac 3{10}\sin(x)+\cos(x)=\frac 1{10}\cos(x)+\frac 3{10}\sin(x)=f'(x) $$

Donc $f$ ainsi définie est bien une solution particulière de $(E)$.

Question 2.
Résoudre $(E)$.

Comme $f$ est solution de $(E)$, on a $f'=3f+\cos(x)$, d'où $\cos(x)=f'-3f$.

On considère l'équation

$$(E_h)\ \ \ \ y'=3y $$

appelée équation homogène associée à $(E)$.

Résolvons $(E)$.

$$\begin{array}{rclcrcl} y & \textrm{est solution de} & (E) &\Longleftrightarrow & y'&=&3y+\cos(x) \\                              &  &  &\Longleftrightarrow & y'-3y&=&\cos(x) \\ &  &  &\Longleftrightarrow & y'-3y&=&f'-3f \\ &  &  &\Longleftrightarrow & y'-f'&=&3y-3f \\ &  &  &\Longleftrightarrow & (y-f)' &=&3(y-f) \\  &  &  &\Longleftrightarrow & (y-f) & \textrm{est solution de} & (E_h)\\ \end{array}$$

Or les solutions de $(E_h)$ sont les fonctions $x\longmapsto C\mathrm{e}^{3x} $ où $C\in\mathbb R$.

Autrement dit

$$\begin{array}{rclcrclr} y & \textrm{est solution de} & (E) &\Longleftrightarrow & y-f&=&C\mathrm{e}^{3x} & (C\in\mathbb R) \\  &   &  &\Longleftrightarrow & y&=&C\mathrm{e}^{3x}+f & (C\in\mathbb R) \\ \end{array}$$

Conclusion.

Les solutions de $(E)$ sont les fonctions $y=C\mathrm{e}^{3x}-\frac 3{10}\cos(x)+\frac 1{10}\sin(x) $, avec $C\in \mathbb R$.

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D'autres exercices

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Spécialité - Exercice 11

Voici un exercice d'approfondissement niveau terminale de la spécialité mathématique.

Des versions téléchargeables (pdf et tex) sont disponibles à la fin de l'article.  

Thèmes. Equations différentielles, fonctions trigonométriques

Niveau Terminale de la spécialité mathématiques.

Exercice 11.

On veut trouver les solutions de l'équation différentielle

$$(E)\ \ \ \ \ \ \ y'=3y+\cos(x) $$

1. Trouver des réels $a$ et $b$ de sorte que la fonction $f$ définie sur $\mathbb R  $ par $f(x)=a\cos(x)+b\sin(x)$ soit une solution particulière de $(E)$
2. Résoudre $(E)$.

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La solution

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Fonction puissance et fonction exposant (Approfondissement spécialité maths)

Voici un approfondissement du programme de spécialité maths.

Thème. Fonction exponentielle, étude de fonctions.

Niveau. Terminale spécialité maths. Approfondissement.

Cet article s'intéresse tout d'abord aux fonctions de la forme $x\longmapsto x^a $ (fonctions puissances) puis aux fonctions du type $x\longmapsto \alpha^x $ (fonction exposant).

Fonctions puissance

Pour un nombre entier naturel $a$, ${\mathrm e}^ {a\ln x}={\mathrm e}^{\ln(x^a)}=x^a$. 

Pour un nombre entier négatif $b=-a$, avec $a$ positif, on a donc $x^b=\frac{1}{x^a}=\frac{1}{ {\mathrm e}^ {a\ln x}}={\mathrm e}^{-a\ln x}={\mathrm e}^{b\ln x}$.

Cela nous donne envie pour un nombre réel quelconque $\alpha$ de définir

$$(\star)\ \ \ \ \ x^\alpha= {\mathrm e}^ {\alpha\ln x}$$

Tant que $x>0$, cette définition a du sens.

Ainsi on définit pour tout $x>0$, et pour tout réel $\alpha$,

$$x^\alpha= {\mathrm e}^ {\alpha\ln x}$$

La fonction $p_\alpha:x\longmapsto x^\alpha$ est appelée fonction puissance $\alpha$-ième.

Propriété 0.

Pour tout $\alpha$ réel, pour tout réel $x>0$,

$$\ln\left(x^\alpha\right)=\alpha \ln x$$

Preuve. 

$$\ln\left(x^\alpha\right)=\ln \left({\mathrm e}^{\alpha \ln x}\right)=\alpha \ln x$$

Propriété 1.

On a pour $\alpha$ et $\beta$ réels, pour tout $x$ strictement positif,

$$x^\alpha x^\beta=x^{\alpha+\beta}$$

Démonstration.

$x^\alpha x^\beta={\mathrm e}^ {\alpha\ln x}{\mathrm e}^ {\beta\ln x} ={\mathrm e}^ {(\alpha+\beta)\ln x} = x^{\alpha+\beta}$.

Propriété 2.

Pour tout $\alpha$ et $\beta$ réels, pour tout réel $x>0$,

$$\left(x^\alpha\right)^\beta=x^{\alpha \beta } $$

Preuve.

On a d'après la définition $(\star)$ puis la propriété 1, puis à nouveau $(\star)$,

$$\left(x^\alpha\right)^\beta={\mathrm e}^{\beta\ln\left(x^\alpha\right)}={\mathrm e}^{\beta\alpha\ln\left(x\right)} =x^{\alpha \beta}$$

Propriété 3.

Pour tout réel $\alpha$, la fonction $p_\alpha:x\longmapsto x^\alpha$ est continue et dérivable sur $]0;+\infty[$.

De plus si $\alpha\neq 0$, $p_{\alpha}'(x)=\alpha x^{\alpha-1}$.

Preuve. 

$p_\alpha$ est dérivable car c'est une composée de fonctions dérivables. Elle est en particulier continue.

On a en effet $p_\alpha={\mathrm e}^p \circ u$

où $u$ est définie sur $]0;+\infty[$ par $u(x)=\alpha \ln x$. 

Ainsi $$p_{\alpha}'=u'\cdot {\exp}'\circ u=u'\cdot\exp \circ u=u'\cdot p_{\alpha}$$ 

Comme $u'(x)=\frac{\alpha}{x}=\alpha x^{-1}$, on a $$p_\alpha'(x)=\alpha x^{-1}x^\alpha=\alpha x^{\alpha-1}$$

Ci-dessous quelques fonctions puissances

 

Limite

Soit $\alpha$ un nombre réel, est-ce que $\lim_{x\rightarrow 0} x^\alpha$ existe ?

On a $x^\alpha=\mathrm e^{\alpha \ln x}$. Lorsque $x$ tend vers zéro, $\ln x$ tend vers $-\infty$. Il y trois cas possibles :

(1) $\alpha<0$. Comme $\alpha \ln x$ tend vers $+\infty$, $x^\alpha=\mathrm e^{\alpha \ln x}$ tend vers $+\infty$.

(2) $\alpha=0$. Comme pour tout $x>0$ $\mathrm e^{0 \ln x}=1$, on a $\lim_{x\rightarrow 0} x^\alpha=1$.

(3) $\alpha>0$. Comme $\alpha \ln x$ tend vers $+\infty$, $x^\alpha=\mathrm e^{\alpha \ln x}$ tend vers $0$.

Ainsi on peut prolonger la fonction $x\longmapsto x^\alpha$ en zéro par continuité en posant : 

$0^\alpha=1$, si $\alpha=0$, autrement dit $0^0=1$

$0^\alpha=0$, si $\alpha>0$.

Fonctions exposant 

 

Pour tout réel strictement positif $a$, on considère la fonction $e_a:x\longmapsto a^x$.

C'est une  fonction exposant.

Propriété 4. 

Pour tout réel strictement positif $a$, la fonction $e_a:x\longmapsto a^x$ est dérivable (et donc continue).

De plus $e_a'=\ln(a)\cdot e_a$

Preuve.

$e_a(x)={\mathrm e}^{x\ln a}$ donc $e_a$ est dérivable de dérivée $e_a'(x)=(\ln a){\mathrm e}^{x\ln a}$.

En fonction de $a$, on en déduit l'allure de la fonction $e_a$. Plus précisément : $e_a$ est strictement croissante si et seulement si $a>1$

• $e_a$ est strictement décroissante si et seulement si $a<1$
• $e_a$ est strictement décroissante si et seulement si $a=1$

En effet par propriété de la fonction $\ln$ (voir graphe ci-dessous)

• $\ln(a)<0 $ si $0<a<1$
• $\ln(a)=0 $ si $a=1$
• $\ln(a)>0 $ si $a>1$

Spécialité Maths - (Terminale). Exercice 6 - solution

Voici un exercice niveau 1ère de la spécialité mathématique.

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Thème. Suites, suites géométriques.

Niveau 1ère de la spécialité mathématique.

Exercice 6.

1. Trouver une fonction $p$ polynomiale de dégré 2, $p(x)=ax^2+bx+c $ telle que
    $$(1)\ \ \ \ p'=2p+x^2-x $$
2. En déduire les solutions de l'équation différentielle
    $$(2)\ \ \ \ y'=2y+x^2-x $$

La solution

1. Soit $p$ une fonction de la forme $p(x)=ax^2+bx+c$. $p$ est polynomiale et sa dérivée $p'$ est donnée par $p'(x)=2ax+b $. 
   $p$ est solution de $(1)$ si et seulement si pour tout $x\in\mathbb R$, $$2ax+b=2(ax^2+bx+c)+x^2-x $$
   ce qui équivaut à pour tout $x\in\mathbb R$, $$0=(2a+1)x^2+(b-2a-1)x+(c-b)$$
   Pour que $p$ soit solution, il suffit que la fonction polynomiale $x\longmapsto (2a+1)x^2+(b-2a-1)x+(c-b) $ soit nulle.
   Ainsi il suffit que $a,b,c$ soient solution du système
   $$(S)\ \ \ \ \left\{\begin{array}{rcl} 2a+1&=&0 \\ b-2a-1&=&0\\ c-b&=&\\ \end{array} \right. $$ Résolvons $(S)$.
   $$(S) \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{rcl} a&=&-\frac 1 2\\ b&=&0\\ c&=&0\\ \end{array} \right. $$
   Ainsi $p$ définie par $p(x)=-\frac 1 2x^2 $ convient. 
2. On va maintenant résoudre $(2)$. Remarquons d'abord que $ p'=2p+x^2-x$ implique $p'-2p=x^2-x$.
   $$\begin{array}{rclr} y'=2y+x^2-x & \Leftrightarrow & y'=2y+p'-2p \\ & \Leftrightarrow & y'-p'=2y-2p & \\  & \Leftrightarrow & (y-p)'=2(y-p)& \\ &\Leftrightarrow & y-p=C\mathrm{e}^{2x} & \\ &\Leftrightarrow & y=C\mathrm{e}^{2x}+p& \textrm{avec } C\in\mathbb R  \\ \end{array} $$
   Ainsi les soltuions de l'équations sont de la forme $y=C\mathrm{e}^{2x}-\frac 1 2 x^2 $.

 

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La solution

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Spécialité Maths - (Première/Terminale). Exercice 4 - solution

 Voici un exercice niveau 1ère/Teminale de la spécialité mathématique.

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Thème. Suites, suites géométriques.

Niveau 1ère/Teminale de la spécialité mathématique.

Exercice 4.

Le but de cet exercice est de trouver le terme général de la suite

$$\left\{\begin{array}{rclr} u_0&=&2 \\ u_{n+1}&=&5u_n-3\times 2^n & (n\in\mathbb N) \\  \end{array}  \right. $$

 

1.   La suite $(u_n)$ est-elle arithmétique ? géométrique ?
2.  Soit $(t_n)$ une suite telle que $t_n=k2^n$, où $k$ est un nombre réel.
   (2.a) Déterminer la valeur de $k$ pour que pour tout entier naturel $n$ $t_{n+1}=5t_n-3\times 2^n$. On pose $(w_n)$ la suite définie pour tout $n\in\mathbb N$ par $w_n=u_n-t_n$.
   (2.b) Quelle est la nature de $(w_n) $ ?  
3. En déduire le terme général de $(u_n)$.
   Vérifier la cohérence du résultat obtenu.

 

La solution

 

 1. On peut commencer par calculer les premiers termes de la suite $(u_n)$.

 On a

•   $u_1=5u_0-3\times 2^{0}=5\times 2 - 3=7 $
•  $u_2=5u_1-3\times 2^1=5\times 7 -3\times 2 = 29 $

 

 On a $u_1-u_0= 7-2=5$ et $u_2-u_1=29-7=22 $ donc $(u_n)$ n'est pas arithmétique.

 On a $\frac{u_1}{u_0}=\frac{5}{2}$ et $\frac{u_2}{u_1}=\frac{29}{7}$ donc $(u_n)$ n'est pas géométrique ($\frac 5 2 \neq \frac {29}{7} $ puisque $2\times 29 \neq 5\times 7 $).

 

2.(a). Soit $n\in \mathbb N$. On a

 $$t_{n+1}=5t_n-3\times 2^n\Longleftrightarrow k\times 2^{n+1}=5k\times 2^n -3\times 2^n \Longleftrightarrow 2k=5k-3 \Longleftrightarrow 3=3k \Longleftrightarrow k=1 $$

 Ainsi la suite  $(t_n)$ définie par $t_n=2^n $ vérifie pour tout $n$ : $t_{n+1}=5t_n-3\times 2^n $.

2.(b).On pose  pour tout $n\in\mathbb N$, $w_n=u_n-t_n=u_n-2^n$.

•  $w_0=u_0-2^0=2-1=1 $
•  $w_1=u_1-2^1=7-2=5 $
•  $w_2=u_2-2^2=29-4=25$

Il semblerait que $(w_n)$ soit une suite géométrique de raison $5$.

Exprimons pour un entier naturel $n$ quelconque $w_{n+1}$ en fonction de $w_n$ :

$$w_{n+1}=u_{n+1}-t_{n+1}=5u_n-3\times 2^n-(5t_n-3\times 2^n) =5(u_n-t_n)=5w_n$$

On a bien une suite géométrique $(w_n)$ de raison $5$ et de terme initial $w_0=1$.

3. D'après la question précédente, pour tout entier naturel $n$, $w_n=5^n$.

Comme pour tout entier naturel $n$, on a $w_n=u_n-t_n $, on en déduit que $w_n+t_n=u_n $.

Ainsi pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=5^n+2^n$.

D'après cette formule : $u_0=1+1=2$, $u_1=5+2=7$, $u_2=25+4=29 $ ce qui correspond bien aux calculs déjà effectués.

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Spécialité Maths - (Première/Terminale). Exercice 4

 Voici un exercice niveau 1ère/Teminale de la spécialité mathématique.

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Thème. Suites, suites géométriques.

Niveau 1ère/Teminale de la spécialité mathématique.

Exercice 4.

Le but de cet exercice est de trouver le terme général de la suite

$$\left\{\begin{array}{rclr} u_0&=&2 \\ u_{n+1}&=&5u_n-3\times 2^n & (n\in\mathbb N) \\  \end{array}  \right. $$

 

1.   La suite $(u_n)$ est-elle arithmétique ? géométrique ?
2.  Soit $(t_n)$ une suite telle que $t_n=k2^n$, où $k$ est un nombre réel.
   (2.a) Déterminer la valeur de $k$ pour que pour tout entier naturel $n$ $$t_{n+1}=5t_n-3\times 2^n$. On pose $(w_n)$ la suite définie pour tout $n\in\mathbb N$ par $w_n=u_n-t_n$.
   (2.b) Quelle est la nature de $(w_n)$ ?  
3. En déduire le terme général de $(u_n)$.
   Vérifier la cohérence du résultat obtenu.

 

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Spécialité Maths (1ere/Terminale). Exercice 3 - solution

Voici la solution de l'exerice du dimanche N° 3. 

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Thème. Fonctions, équations du second degré.

Niveau 1ère/Teminale de la spécialité mathématique.

Exercice 3.

La courbe de la fonction $x\mapsto x^3-x$ tracée dans un repère orthonormé, a-t-elle des tangentes parallèles entre elles ? A-t-elle des tangentes perpendiculaires entre elles ?

Solution

Tangentes parallèles

La fonction  $f:x\mapsto x^3-x$ est définie sur $\mathbb R$ où elle y est dérivable en tant que fonction polynomiale. Pour cette raison, elle admet des tangente en tout $t\in \mathbb R$.

Deux tangentes en $a$ et $b$ notées respectivement $\mathcal T_a$ et $\mathcal T_b$ sont parralèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur, c'est-à-dire si et seulement si $f'(a)=f'(b)$.

Comme $f'(x)=3x^2-1$ pour tout $x\in\mathbb R$, $\mathcal T_a$ et $\mathcal T_b$ sont parralèles si et seulement si $3a^2-1=3b^2-1 $ ou encore si et seulement si $a^2=b^2$.

On peut en déduire que $\mathcal T_a$ et $\mathcal T_b$ sont parralèles si et seulement si $a=\pm b$.

Donc pour tout réel $a$ non nul, $\mathcal T_a$ est parallèle à la tangente distincte $\mathcal T_{-a}$.

Comme $0$ est le seul réel $a$ tel que $a=-a$, $\mathcal T_0$ est la seule tangente qui n'est pas parallèle à une autre tangente.

Tangentes perpendiculaires

Remarquons pour commencer qu'un vecteur directeur d'une droite $\mathcal D$ d'équation cartésienne $y=mx+p$ est $\overrightarrow u\ \binom 1 m$. En effet il suffit de prendre $\overrightarrow u=\overrightarrow{AB}$ où $A$ et $B$ sont les points de $\mathcal D$ d'abscisses respectives $0$ et $1$ : $A\ (0;p)$ et $B\ (1;m+p)$ (d'où $\overrightarrow AB\ \binom 1 m $.

Deux droites $\mathcal D$ et $\mathcal D'$ de coefficient directueurs $m$ et $m'$ non nuls, admettent pour vecteurs directeurs $\overrightarrow u\ \binom 1 m$ et $\overrightarrow {u'}\ \binom 1 {m'}$ sont donc perpendiculaires si et seulement si le produit scalaire $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{u'}=1\times 1 +mm'=0 $, ce qui est équivalent à $mm'=-1$.

Soient $a$ et $b$ deux réels. Comme par définition aucune tangente n'est verticale, aucune tangente horizontale (de coefficient directeur 0) ne peut être perpendiculaire à une autre tangente, on ne s'intéresse qu'aux tangente dont les coefficients directeurs sont non nuls.

Ici comme $f'(x)=3x^2-1$, une tangente est horizontale si et seulement si $3a^2=1$, c'est-à-dire si et seulement si $a=\pm\sqrt{\frac 1 3}=\pm \frac 1 {\sqrt 3}$.

On suppose dans la suite que $a$ et $b$ sont distincts de $\pm\sqrt{\frac 1 3}$. Les tangentes $T_a$ et $T_b$ de coefficient directeurs respectifs $f'(a)=3a^2-1$ et  $f'(b)=3b^2-1$ non nuls sont perpendiculaires si et seulement si $(3a^2-1)(3b^2-1)=-1$.

Soit $a\neq \pm\sqrt{\frac 1 3}$. Posons pour tout réel $t$, $g_a(t)=(3a^2-1)(3t^2-1) $.

On a pour tout réel $t$, $$g_a(t)=9a^2t^2-3t^2-3a^2+1=\left(9a^2-3\right)t^2+1-3a^2$$

Pour $a$ donné, le nombre de solution de l'équation $g_a(t)=-1 $ correspond donc au nombre de tangentes perpendiculaires à $\mathcal T_a $.

Supposons $t\not\in \left\{- \frac 1 {\sqrt 3};\frac 1 {\sqrt 3} \right\}$.

Alors $9a^2-3\neq 0$ et

$$g_a(t)=-1\Longleftrightarrow \left(9a^2-3\right)t^2+2-3a^2=0 \Longleftrightarrow t^2=\frac{3a^2-2}{9a^2-3} $$

Cette équation a une (des) solution(s) si et seulement si $\frac{3a^2-2}{9a^2-3} \geq 0 $.

Etudions le signe de cette expression en fonction de $a$.

On peut en tirer les conclusions suivantes :

• Si $a\in \left\{- {\sqrt {\frac 2 3}};{\sqrt {\frac 2 3}} \right\} $, cette équation a une solution $0$.
•   Si $a<- {\sqrt {\frac 2 3}} $  ou $a> {\sqrt {\frac 2 3}} $ ou $-\frac 1 {\sqrt 3}< a<\frac 1 {\sqrt 3} $, cette équation a deux solutions $\pm\sqrt{\frac{3a^2-2}{9a^2-3}} $
•  Sinon l'équation n'a pas de solutions.

 

Pour résumer les différents cas possibles et pour répondre au problème, voici un tableau donnant pour un réel $a$ donné, le nombre de tangentes $n_a $ à la courbe de $x\mapsto x^3-x $ perpendiculaires à $\mathcal{T}_a $ :

Illustrations des différents cas

Cas où $a<- {\sqrt {\frac 2 3}} $  ou $a> {\sqrt {\frac 2 3}} $ ou $-\frac 1 {\sqrt 3}< a<\frac 1 {\sqrt 3} $

Cas où $- {\sqrt {\frac 2 3}}<a<-\frac 1 {\sqrt 3} $  ou $\frac 1 {\sqrt 3}<a< {\sqrt {\frac 2 3}} $

Cas où  $a=-\frac 1 {\sqrt 3} $  ou $a=\frac 1 {\sqrt 3}$

Cas où $a=- {\sqrt {\frac 2 3}}$  ou $a= {\sqrt {\frac 2 3}} $

Remarque. 

Dans les cas où $a=\pm \sqrt{\frac 2 3}$,  $g_a(t)=-1\Longleftrightarrow t^2=0  \Longleftrightarrow t=0$. Donc seule la tangente $\mathcal T_0 $ est perpendiculaire à $\mathcal T_a $.

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Exercice suivant (parution six jours après cet article)

Spécialité Maths (1ere/Terminale). Exercice 3

Voici un exercice niveau 1ère/Teminale de la spécialité mathématique.

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Thème. Fonctions, équations du second degré.

Niveau 1ère/Teminale de la spécialité mathématique.

Exercice 3.

La courbe de la fonction $x\mapsto x^3-x$ tracée dans un repère orthonormé, a-t-elle des tangentes parallèles entre elles ? A-t-elle des tangentes perpendiculaires entre elles ?

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Spécialité Maths (Terminale). Exercice 2

Voici un exercice niveau 1ère/Teminale de la spécialité mathématique.

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Thème. Suites, suites géométriques.

Exercice 2.

Ecrire le nombre suivant sous forme de fraction

$$S=0,2024\ 2024\ 2024\ \ldots\ldots  $$

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En attendant, je vous propose cet article sur le même sujet.

Spécialité Maths 1ère/Terminale - Exercice 1 : trouver le terme général d'une suite

Voici un exercice niveau 1ère/Teminale de la spécialité mathématique.

Des version téléchargebles (pdf et tex) sont disponibles à la fin de l'article.  

Thème. Suites, suites géométriques.

Exercice 1.

Le but de cet exercice est de trouver le terme général de la suite

$$\left\{\begin{array}{rclr} u_0&=&4 \\ u_{n+1}&=&2u_n+n^2-n+1 & (n\in\mathbb N) \\  \end{array}  \right. $$

1. La suite $(u_n)$ est-elle arithmétique ? géométrique ? 
2. Soit $(p_n)$ une suite telle que $p_n=an^2+bn+b$, où $a,b,c$ sont des réels.
   (a) Déterminer les valeurs de $a,b,c$ pour que pour tout entier naturel $n$,  $$p_{n+1}=2p_n+n^2-n+1$$ On pose $(w_n)$ la suite définie pour tout $n\in\mathbb N$ par $w_n=u_n-p_n$.
   (b) Quelle est la nature de $(w_n)$ ? 
3. En déduire le terme général de $(u_n)$. Vérifier la cohérence du résultat obtenu.

Versions téléchargeables

• version pdf 
• version source à intégrer dans un document tex

La solution

La solution sera accessible un jour après publication de cet article.

D'autres exercices

Je compte publier chaque dimanche un nouvel exercice niveau Première ou Terminale de la spécialité maths.

En attendant, je vous proporse cet article qui contient d'autres exercices de niveau spécialité maths sur les suites (avec pdf et sources tex).

Des compléments

En complément sur le même thème, je vous propose de consulter ces articles sur les suites :

• Suites du type $u_{n+1}=au_n+b(n) $ (1) - un exemple 
• Suites du type $u_{n+1}=au_n+b(n) $ (2) - cas où $b$ est polynomiale 

Suites arithmético-géométriques ($\alpha$) : Quelques exercices

Dans cet article, je vais présenter des exemples d'exercices de niveau spécialité terminale sur les suites arithmético-géométriques en les classant par types, par compétences, et par difficulté. 

On pourra consulter au préalable les articles suivants : 

• (1) Définitions et exemple
• (2) Etude complète d'un exemple
• (3) Créer des exercices sur les suites arithmético-géométriques
• (4) Suites arithmético-géométriques : encore une autre façon de trouver le terme général et somme des termes
• (A) Suites arithmético-géométriques  : Unicité de $a$ et $b$ tels que $u_{n+1}=au_n+b $

Trouver le terme général : Classique du bac

Principe. On part d'une relation $u_{n+1}=au_n+b$, avec $u_0$ donné.  

1) Fabriquer une suite auxiliaire $(w_n)$ donnée par $w_n=u_n-s$ et montrer qu'elle est géométrique de raison $a$.

2) Déterminer le terme général de la suite auxiliaire.

3) En déduire le terme général de la suite $(u_n)$.

Compétences visées. 

1) Montrer qu'une suite est géométrique, utiliser le terme général d'une suite géométrique

2) Travailler sur les manipulations algébriques (factorisation, simmplification, changement d'indice, utilser une relation)

En enlevant/ajoutant des questions, des données (la raison de la suite géométrique, la nature de la suite auxiliaire), on peut élaborer des parcours d'apprentissage différents pour les élèves.

Enoncé type.

Soit $(u_n)$ une suite telle que pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}=100u_n -198$, où $u_0=40$.

1) On définit la suite $(w_n)$ par $w_n=u_n-2$. Montrer que $(w_n)$ est géométrique de raison $100$.

2) En déduire le terme général de $(w_n)$.

3) En déduire le terme général de $(u_n)$.

Solution type. 

1) Pour tout entier naturel $n$, on a $$w_{n+1}=u_{n+1}-2=100u_n-198-2=100u_n-200=100(u_n-2)=100w_n $$

$(w_n)$ est donc une suite géométrique de raison $2$.

2) Comme $(w_n)$ est une suite géométrique de raison $100$, on a pour tout entier naturel $n$, $w_n=100^n w_0$. Or $w_0=u_0-2=40-2=38$, donc pour tout entier naturel $n$, on a $$w_n=38\times 100^n $$

3) La relation $w_n=u_n-2$ donne $w_n+2=u_n$, ainsi pour tout entier naturel $n$, on a 

$$u_n=38\times 100^n +2 $$

Variante avec récurrence

Principe. On part d'une relation $u_{n+1}=au_n+b$, avec $u_0$ donné.  

Démontrer que le terme général de la suite $u_n$ a pour expression$u_n=a^n\left(u_0-\frac 1{b-a}\right)+\frac 1{b-a}$.

Compétence visée.

Utiliser le théorème de récurrence 

Enoncé type.

Soit $(u_n)$ une suite telle que pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}=-u_n +5$, où $u_0=1$.

Démontrer que pour tout entier naturel $n$, on a 

$$u_n=(-1)^{n+1}\times\frac{3}{2} +\frac 5 2  $$

Solution type. 

On définit pour tout entier naturel $n$, la propriété 

$$\mathcal P_n\ : \ u_n=(-1)^{n+1}\times\frac{3}{2} +\frac 5 2$$

1) Initialisation. $(-1)^{0+1}\times\frac{3}{2} +\frac 5 2=\frac{-3}{2}+\frac 5 2 = 1 = u_0=$ donc $\mathcal P_0$.

2) Hérédité. Soit $k$ un entier naturel tel que 

$$\mathcal P_k\ : \ u_k=(-1)^{k+1}\times\frac{3}{2} +\frac 5 2$$

On veut montrer que cela implique : $\mathcal P_{k+1}$, c'est-à-dire $ u_{k+1}=(-1)^{k+2}\times\frac{3}{2} +\frac 5 2$ 

On a $$u_{k+1}=-u_k+5=-\left((-1)^{k+1}\times\frac{3}{2} +\frac 5 2\right)+5=(-1)\times(-1)^{k+1}\times\frac{3}{2} -\frac 5 2+5=(-1)^{k+2}\times\frac{3}{2}+\frac 5 2$$

On a donc $\mathcal P_k\Rightarrow P_{k+1}$.

3) Conclusion. Par initialisation et hérédité, d'après le théorème de récurrence, pour tout $n$, $\mathcal P_n$. Autrement dit pour tout entier naturel $n$, $$u_n=(-1)^{n+1}\times\frac{3}{2} +\frac 5 2$$

Avec télescopage

Principe. On part d'une relation $u_{n+1}=au_n+b$, avec $u_0$ donné.  

On définit la suite $(d_n)$ des différences de termes successives par $d_n=u_{n+1}-u_n$. 

1) On montre que cette suite est géométrique de raison $a$.

2) On démontrer par récurrence que 

$$d_0+d_1+\ldots+d_{n}=u_{n+1}-u_0 $$

3) On en déduit le terme général de $(u_n)$.

Compétences visées. 

1) Manipulations algébriques

2) Utiliser le théorème de récurrence

3) Utiliser la somme des termes d'une suite géométrique

Enoncé type.

Soit $(u_n)$ une suite telle que pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}=2u_n -9$, où $u_0=1$. 

Pour tout entier naturel $n$, on note $d_n=u_{n+1}-u_n$.

1) Démontrer que $(d_n)$ est une suite géométrique. En déduire son terme général.

2) Démontrer que pour tout entier naturel $n$, 

$$d_0+d_1+\ldots + d_{n}=u_{n+1}-u_0 $$

3) Déterminer le terme général de la suite $(u_n)$.

Solution type. 

1) Soit $n$ un entier naturel. On a 

$$d_{n+1}=u_{n+2}-u_{n+1}=2u_{n+1}-9-\left(2u_n-9\right)=2u_{n+1}-2u_n=2(u_{n+1}-u_n)=2d_n$$

Ainsi $(d_n)$ est une suite géométrique de raison $2$.

2) Pour tout entier naturel $n$, on définit la propriété 

$$\mathcal P_n\ : \ \ \ d_0+d_1+\ldots + d_{n}=u_{n+1}-u_0 $$

On va montrer que pour tout entier naturel $n$, on a $\mathcal P_n$.

a) Initialisation. $d_0=u_1-u_0$ donc $\mathcal P_0$.

b) Hérédité. Supposons que l'on a pour un certain entier naturel $k$ :

$$\mathcal P_k\ : \ \ \ d_0+d_1+\ldots + d_{k}=u_{k+1}-u_0 $$

Nous voulons montrer que cela implique $\mathcal P_{k+1}\ : \ \ \ d_0+d_1+\ldots + d_{k}+d_{k+1}=u_{k+2}-u_0 $.

On a d'après $\mathcal P_k$, et par définition de $(d_n)$,

$$d_0+d_1+\ldots + d_{k}+d_{k+1}= u_{k+1}-u_0+u_{k+2}-u_{k+1}=u_{k+2}-u_0$$

Ainsi $\mathcal P_k\Rightarrow P_{k+1}$

c) Conclusion. Par initialisation et hérédité, on a pour tout entier naturel $n$, 

$$\mathcal P_n\ : \ \ \ d_0+d_1+\ldots + d_{n}=u_{n+1}-u_0 $$

3) Comme $(d_n)$ est une suite géométrique de raison $2$ et que $$d_0=u_1-u_0=2u_0-9-u_0=u_0-9=1-9=-8$$ nous avons pour tout entier naturel $n$, 

$$d_n=u_0\times 2^n =-8\times2^n $$

Ainsi en utilisant la formule donnant la somme des termes d'une suite géoémtrique, on a 

$$d_0+d_1+\ldots+d_n=-8\times\frac{1-2^{n+1}}{1-2}=8\left(1-2^{n+1}\right)=8-8\times 2^{n+1} $$

D'après la question 2), on en déduit que pour tout  entier naturel $n$, $u_{n+1}-u_0=8-8\times 2^{n+1} $, d'où 

$$u_{n+1}=8-8\times 2^{n+1}+u_0=8-8\times 2^{n+1}+1=9-8\times 2^{n+1} $$

Ainsi pour tout entier $n\geq 1$, en faisant un décalage d'indice, on obtient $u_n=9-8\times 2^{n} $. 

En remplaçant $n$ par $0$, dans $9-8\times 2^{n}$, on obtient $1=u_0$, donc cette expression est valable aussi pour $n=0$.

Ainsi pour tout entier naturel $n$, on a $$u_n=9-8\times 2^{n} $$

Variante. 

On peut détailler davantage la question 3), en demandant le terme général de $(d_n)$.

Sans indication

Principe. On part d'une relation $u_{n+1}=au_n+b$, avec $u_0$ donné.

On cherche le terme général de $(u_n)$ sans indication.

Compétences visées. 

1) Chercher, manipuler, utiliser des outils 

2) Conjecturer

3) Démontrer

( 4) Travailler en groupe)

Exemple d'énoncé.

On considère $(u_n)$ une suite telle que pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}=3u_n -10$, où $u_0=1$.

Trouver le terme général de la suite $(u_n)$. 

On pourra utiliser un tableur, Python, dessiner, etc. pour établir une conjecture que l'on démontrera par la suite.

Remarque. Pour ce genre de travail, on pourrait faire travailler les élèves en binome.

Pistes pour les élèves. 

• Calculer les premiers termes à l'aide d'un tableur et essayer de trouver l'expression du terme générale de $(u_n)$
• Exprimer $u_1 $ à partir de $u_0$, puis $u_2$ à partir de $u_0$, puis $u_3$ à partir de $u_0$ etc. comme dans (4)
• Trouver une suite auxiliaire géométrique
• Utiliser la suite $(d_n)$ avec $d_n=u_{n+1}-u_n$.

Questions supplémentaires

Les questions supplémentaires permettant de prolonger les exercices peuvent consister en un calcul de limite ou en le calcul de la somme des termes.

Sources et pdf

A télécharger : 

• une liste d'exercices : pdf, source tex
• La correction : pdf, source tex

Ensuite

Pour sortir des suites arithmético-géométriques, d'autres suites définies par récurrence, qui sont solutions d'équations aux différences peuvent être utilisées. Elles feront l'objets de futurs articles.

Suites arithmético-géométriques (3) : créer des exercices sur les suites arithmético-géométriques

 Ce billet fait suite à :

• Suite arithmético-géométrique (1) : définitions et exemples
• Suite arithmético-géométrique (2) : étude complète de l'exemple

Nous allons voir le cas général des suites arithmético-géométriques dans le cas réel (ou complexe). Cela nous permettra d'obtenir un algorithme de construction d'exercices et de corrigés. 

Des scripts python permettant d'automatiser cette tâche en générant du code $\LaTeX$ sont disponibles sur cette page. 

La propriété qui assure que tout va fonctionner

Propriété 1. 

Soit une suite arithmético-géométrique définie par $u_0=c $ et pour tout $n\in\mathbb N$, $u_{n+1}=au_n+b$

 

$$(\star) \ \ \left\{\begin{array}{rclr}u_0&=&c\\u_{n+1}&=&au_n+b& (n\in\mathbb N)\\ \end{array}\right. $$

avec $a,b,c $ réels (ou complexes, ou dans un corps $K$...).

Alors si $a\neq 1$, la suite $(w_n) $ définie par $w_{n}=\frac{b}{1-a}-u_n$ est une suite géométrique de raison $a$.

Remarque 1. Si $a=1$, $u_{n+1}=u_n+b $ est simplement une suite arithmétique. Son terme général est donné par $u_n=u_0+nb$.

Remarque 2. Si $a\neq 1$, $w_n=\frac{b}{1-a}-u_n $ implique que $ u_n=\frac{b}{1-a}-w_n$.

Mais puisque $(w_n)$ est géométrique de raison $a$, on obtient $$w_n=w_0a^n=\left(\frac{b}{1-a}-u_0\right)a^n$$

Donc

$$u_n=\frac{b}{1-a}-\left(\frac{b}{1-a}-u_0\right)a^n=u_0a^n+b\frac{1-a^n}{1-a} $$

Pour résumer nous avons la propriété

Propriété 2. Soit (u_n) une suite arithmético-géométrique définie  comme dans $(\star)$, avec $a\neq 1$.

Alors nous avons :

$$u_n=ca^n+b\frac{1-a^n}{1-a}$$

Remarque 3.  Si on fait tendre $a$ vers $1$ dans l'expression précédente qu'obtient-on ?

Tout d'abord, le calccul de limite pose problème car $1-a^n $ et $1-a $ tendent tous deux vers $0$ lorsque $a\rightarrow +\infty$.

Mais, pour $n\geq 1$, on a pour $a\neq 1$,

$$\frac{1-a^n}{1-a}=1+a+\ldots+a^{n-1}$$

D'où

$$\lim_{a\rightarrow 1} \frac{1-a^n}{1-a}=\lim_{a\rightarrow 1}  1+a+\ldots+a^{n-1}=\underbrace{1+1+\ldots+1}_{n\ \mathrm{termes}}=n $$

Ainsi

$$\lim_{a\rightarrow 1} u_0a^n+b\frac{1-a^n}{1-a} = u_0+nb$$

On retrouve donc le cas particulier où $a=1$.

Remarque 4. D'après le billet Suites arithmético-géométriques (2) : étude complète de l'exemple, la limite de $(u_n)$ est un point fixe de $f$ définie par $f(x)=ax+b $.

Or $ax+b=x $ n'a qu'une seule solution $s=\frac{b}{1-a}$. 

Au regard de la propriété à démontrer on voit que $(u_n)$ converge si et seulement si $(w_n)$ converge. De plus puisque $(w_n)$ est une suite géométrique de raison $\neq 1 $, celle-ci ne peut  converger que vers 0, et cela si et seulement si $-1<a<1$.

Dans ce cas, on a

$$\lim_n u_n = \lim_n \frac{b}{1-a}-w_n=\frac{b}{1-a}$$

On retrouve le point fixe de la fonction $f$. 

Démonstration. Notons $s=\frac{b}{1-a}$. D'après les remarques précédentes, on a $f(s)=as+b=s $.

On a $w_n=s-u_n $.

Ainsi pour tout $n\in \mathbb N $,

$$w_{n+1}=s-u_{n+1}=s-(au_n+b)=as+b-(au_n+b)=a(s-u_n)=aw_n $$

Ainsi $(w_n) $ est une suite géométrique de raison $a$.

On peut créer une fonction Python permettant d'obtenir $s$ en fonction de $a$ et $b$. Elle peut permettre dans un premier temps de créer pour une suite arithmético-géométrique donnée, la suite auxiliaires $(w_n)$ $ correspondante.

from fractions import Fraction


def suiteAG(a, b):  # u_{n+1}=au_n+b, a doit être différent de 1
    # retourne le point fixe de f où f(x)=ax+b
    if a == 1:
        raise Exception("a doit être différent de 1")
    else:
        return (Fraction(b, 1 - a))

Pour appliquer cette fonction à notre exemple, (voir article Suites arithmético-géométriques (2) : étude complète de l'exemple) ajoutons  $\verb|print(suiteAG(Fraction(1,3),2))|$ à la suite du code. L'interpretteur affiche alors $3$. 

On a donc ici un moyen rapide de fabriquer un exercice dont l'énoncé serait le suivant :

Enoncé. 

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=\frac 1 2 $ et telle que $u_{n+1}=\frac 1 3 u_n+2 $.

1. On pose pour tout $n\in\mathbb N$, $w_n=3-u_n$. Montrer que $(w_n) $ est une suite géométrique de raison $\frac 1 3$. 
2. Soit $n\in\mathbb N$. Exprimer $w_n$ en fonction de $n$. En déduire $u_n $ en fonction de $n$.
3. La suite $(u_n)$ converge-t-elle ? Si oui, déterminer sa limite.

En changeant les paramètres $a,b$ de cet énoncé (où $u_{n+1}=au_n+b $), ainsi que la valeur de $s$ calculée par le programme, on obtient un énoncé similaire. 

L'intérêt d'utiliser la fonction Python ci-dessus est qu'elle permet de générer beaucoup d'exercices, éventuellement de manière aléatoire, tout en travaillant avec des rationnels grâce au type $\verb|Fraction|$ du module $\verb|fractions|$.

Pour obtenir ces exercices, on peut ensuite soit travailler à la main, en remplaçant chaque valeur à modifier, soit créer un script pour le faire à notre place, par exemple en modifiant du code $\LaTeX $.

De même, on peut adapter ou générer des corrigés type pour chaque exercice créé.

Exercice classique de type niveau 1ère, terminale 

Enoncé type

Ci-dessous un énoncé type où les données aaa, bbb, ccc sont à modifier et la valeur intermédiaire sss sont à calculer.

Voici le code $\LaTeX $ permettant de l'obtenir

J'ai nommé le fichier  contenant ce code entree.tex dans un répertoire  m_tex/t1/e/ à l'intérieur du répertoire contenant mon code Python (voir ci-dessous). 

Voici le code Python permettant de modifier le code $\LaTeX$ pour obtenir un énoncé faisable en classe.

from fractions import Fraction def suite_AG(a, b): # u_{n+1}=au_n+b, a doit être différent de 1 # retourne le point fixe de f où f(x)=ax+b if a == 1: raise Exception("a doit être différent de 1") else: return (Fraction(b, 1 - a)) def frac_en_tex(frac): num, den = frac.numerator, frac.denominator if den == 1: return (str(num)) else: return ("\\" + "frac{" + str(num) + "}{" + str(den) + "}") def enonce_exo_type_1(a, b, c): s = suite_AG(a, b) s = frac_en_tex(s) a,c = frac_en_tex(a), frac_en_tex(c) if b >= 0: b="+"+frac_en_tex(b) else: b="-"+frac_en_tex(-b) kv = {"aaa": a, "+ bbb": b, "ccc": c, "sss": s} with open('m_tex/t1/e/entree.tex', 'r') as myfile: text = myfile.read() for key, value in kv.items(): text = text.replace(key, value) with open('m_tex/t1/e/sortie.tex', 'w') as output: output.write(text) enonce_exo_type_1(Fraction(2,5),Fraction(-7,2),-1)

Résultat

En executant ce script, on obtient le code $\LaTeX$ suivant

dont la compilation donne ceci 

Etc.

De la même façon, on peut générer un corrigé type correspondant à cet énoncé.

Je mettrai sur une page quelques exemple d'énoncés et les corrigés correspondants.

Et après

Tout ça est assez satisfaisant, mais les exercices créés manquent un peu d'originalité. Dans de prochains articles, j'aimerai m'intéresser aux suites telles $u_{n+1}=au_n+b(n) $ où $b$ est un polynome.

En attendant le lecteur intéressé par le sujet pourra lire la suite directe de ce présent billet : Suites arithmético-géométriques (4) : encore une autre façon de trouver le terme général.