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Mathjax

jeudi 29 juin 2023

Suites arithmétiques

Une suite (u_n) est dite arithmétique s'il existe un nombre b tel que pour tout n\in\mathbb N : u_{n+1}=u_n+b .


b est appelé la raison de la suite.


En calculant de proche en proche les premiers termes, on a

  • u_1=u_0+b
  • u_2=u_1+b=u_0+b+b=u_0+2b
  • u_3=u_2+b=u_0+3b
  • u_4=u_3+b=u_0+4b
  • et ainsi de suite


En fait, nous avons la propriété suivante


Propriété 1. 

Soit (u_n) une arithmétique de raison b.

Pour tout n\in\mathbb N, on a u_n=u_0+bn.


Démonstration. Nous allons montrer par récurrence que pour tout entier naturel n :

(\mathcal P_n)\ \ : \ \ u_n=u_0+nb

(1) Initialisation. u_0=u_0+0b donc (\mathcal P_0)

(2) Hérédité. Supposons (\mathcal P_n)\ \ : \ \ u_n=u_0+nb pour un certain entier naturel n.


Nous avons u_{n+1}=u_n+b donc d'après l'hypothèse de récurrence (\mathcal P_n), nous avons u_{n+1}=u_0+nb+b=u_0+(n+1)b


Cette dernière égalité étant (\mathcal P_{n+1}), nous avons donc pour tout entier naturel n l'implication $$(\mathcal P_n)\Rightarrow (\mathcal P_{n+1})$. Autrement dit la suite de propriété $(\mathcal P_n)$ est héréditaire.


(3) Conclusion. Par initialisation et hérédité, la propriété est démontrée.


Propriété 2. Soit (u_n) une arithmétique de raison b.

Pour tout n\in\mathbb N, on a :

u_0+u_1+\ldots+u_{n-1}+u_n=\frac{(u_0+u_n)(n+1)}{2}


Démonstration. 

On va utiliser l'astuce attribuée au mathématicien Gauss agé de 5 ans. 


On note S=u_0+u_1+\ldots+u_{n-1}+u_n$.

On va calculer S+S en arrangeant les termes des deux sommes identiques comme ci-dessous : 

\begin{array}{cccccccc} S=&u_0&+u_1&+u_2&+\ldots\ldots&+u_{n-2}&+u_{n-1}&+u_n\\ S=&u_n&+u_{n-1}&+u_{n-2}&+\ldots\ldots&+u_{2}&+u_{1}&+u_0\\\hline 2S=&(u_0+u_n)&+(u_0+u_n)&+(u_0+u_n)&+\ldots\ldots&+(u_0+u_n)&+(u_0+u_n)&+(u_0+u_n)\end{array}


En effet, faisant les sommes par colonnnes, on obtient toujours u_0+u_n :

  • u_1+u_{n-1}=u_0+b+u_n-b=u_0+u_n
  • u_2+u_{n-2}=u_1+b+u_1-b=u_1+u_{n-1}
  • etc.


En fait pour tout entier k compris entre 0 et n, nous avons : u_k+u_{n-k}=u_0+u_n . Ce résultat est laissé au lecteur en exercice (les commentaires sont faits pour ça!).


Finalement, on a 

2S=\underbrace{(u_0+u_n)+\ldots+(u_0+u_n)}_{(n+1)\ \mathrm{ termes}}

Ainsi S=\frac{(n+1)(u_0+u_n)}{2}


Application.  1+2+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2}.


En effet, si on considère la suite (u_n) donnée pour tout entier naturel n par u_n=n, qui est de raison 1, et de terme initial u_0=0, nous avons 

1+2+\ldots+n=u_0+u_1+\ldots+u_n=\frac{(n+1)(u_0+u_n)}{2}=\frac{(n+1)n}{2} 

A voir :


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