Une suite (u_n) est dite arithmétique s'il existe un nombre b tel que pour tout n\in\mathbb N : u_{n+1}=u_n+b .
b est appelé la raison de la suite.
En calculant de proche en proche les premiers termes, on a
- u_1=u_0+b
- u_2=u_1+b=u_0+b+b=u_0+2b
- u_3=u_2+b=u_0+3b
- u_4=u_3+b=u_0+4b
- et ainsi de suite
En fait, nous avons la propriété suivante
Propriété 1.
Soit (u_n) une arithmétique de raison b.
Pour tout n\in\mathbb N, on a u_n=u_0+bn.
Démonstration. Nous allons montrer par récurrence que pour tout entier naturel n :
(\mathcal P_n)\ \ : \ \ u_n=u_0+nb
(1) Initialisation. u_0=u_0+0b donc (\mathcal P_0)
(2) Hérédité. Supposons (\mathcal P_n)\ \ : \ \ u_n=u_0+nb pour un certain entier naturel n.
Nous avons u_{n+1}=u_n+b donc d'après l'hypothèse de récurrence (\mathcal P_n), nous avons u_{n+1}=u_0+nb+b=u_0+(n+1)b
Cette dernière égalité étant (\mathcal P_{n+1}), nous avons donc pour tout entier naturel n l'implication $$(\mathcal P_n)\Rightarrow (\mathcal P_{n+1})$. Autrement dit la suite de propriété $(\mathcal P_n)$ est héréditaire.
(3) Conclusion. Par initialisation et hérédité, la propriété est démontrée.
Propriété 2. Soit (u_n) une arithmétique de raison b.
Pour tout n\in\mathbb N, on a :
u_0+u_1+\ldots+u_{n-1}+u_n=\frac{(u_0+u_n)(n+1)}{2}
Démonstration.
On va utiliser l'astuce attribuée au mathématicien Gauss agé de 5 ans.
On note S=u_0+u_1+\ldots+u_{n-1}+u_n$.
On va calculer S+S en arrangeant les termes des deux sommes identiques comme ci-dessous :
\begin{array}{cccccccc} S=&u_0&+u_1&+u_2&+\ldots\ldots&+u_{n-2}&+u_{n-1}&+u_n\\ S=&u_n&+u_{n-1}&+u_{n-2}&+\ldots\ldots&+u_{2}&+u_{1}&+u_0\\\hline 2S=&(u_0+u_n)&+(u_0+u_n)&+(u_0+u_n)&+\ldots\ldots&+(u_0+u_n)&+(u_0+u_n)&+(u_0+u_n)\end{array}
En effet, faisant les sommes par colonnnes, on obtient toujours u_0+u_n :
- u_1+u_{n-1}=u_0+b+u_n-b=u_0+u_n
- u_2+u_{n-2}=u_1+b+u_1-b=u_1+u_{n-1}
- etc.
En fait pour tout entier k compris entre 0 et n, nous avons : u_k+u_{n-k}=u_0+u_n . Ce résultat est laissé au lecteur en exercice (les commentaires sont faits pour ça!).
Finalement, on a
2S=\underbrace{(u_0+u_n)+\ldots+(u_0+u_n)}_{(n+1)\ \mathrm{ termes}}
Ainsi S=\frac{(n+1)(u_0+u_n)}{2}
Application. 1+2+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2}.
En effet, si on considère la suite (u_n) donnée pour tout entier naturel n par u_n=n, qui est de raison 1, et de terme initial u_0=0, nous avons
1+2+\ldots+n=u_0+u_1+\ldots+u_n=\frac{(n+1)(u_0+u_n)}{2}=\frac{(n+1)n}{2}
A voir :
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