$\mathbb Q (0)$. Relation d'équivalence sur un ensemble. L'ensemble $\mathbb Q$

Relation d'équivalence sur un ensemble

Soit $E$ un ensemble. 

Etant donnée un sous-ensemble $\mathcal G$ de $E\times E$, on définit la relation $\sim_{\mathcal G}$ (que l'on notera simplement $\sim$) par : 

$$x \sim y \Longleftrightarrow (x,y)\in \mathcal G $$

Ainsi nous dirons que $x$ et $y$ sont en relation suivant $\sim$ lorsque le couple $(x,y)$ est un élément de l'ensemble $\mathcal G$.

Exemple 1. Soit $\sim$ la relation sur $\mathbb Z$ définie par 

$$x\sim y \Longleftrightarrow \exists k\in \mathbb Z, x-y=2k$$

Cela signifie que $x$ est en relation avec $y$ suivant $\sim$ si $x-y$ est pair. Autrement dit, en notant 

$$\mathcal G=\left\{(x,x+2k)\ |\ k\in\mathbb Z \right\} $$

on retrouve bien la définition donnée plus haut.

Exemple 2. Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=x^2$. Prenons pour $\mathcal G$, le graphe de $f$ : 

$$\mathcal G=\left\{(x,y)\in \mathbb R\times \mathbb R\ |\ y=f(x)=x^2  \right\}$$

Ainsi, nous avons par exemple, $2\sim 4$ car $f(2)=4$. Mais nous n'avons pas $4\sim 2$ car $4^2\neq 2$.

Définition. Nous dirons qu'une relation $\sim$ définie sur un ensemble $E$ est une relation d'équivalence si les points suivants sont vérifiés :

(1) Réflexivité : $\forall x\in E$, $x\sim x $

(2) Symétrie : $\forall x,y \in E$, $x\sim y \Longrightarrow y \sim x$

(3) Transitivité : $\forall x,y,z \in E$, 

$$\left. \begin{array}{c} x\sim y \\ \textrm{et}\\ y\sim z \end{array} \right\} \Longrightarrow x\sim z $$

Exemple 3. On vérifie sans difficulté que la relation d'égalité $=$ définie sur $\mathbb Z$ est une relation d'équivalence.

En revanche, la relation $\leq$ définie sur $\mathbb Z$ n'est pas une relation d'équivalence car $0\leq 4$, mais $4\leq 0$. Cependant, on a quand même ici la transitivité car $x\leq y$ et $y\leq z$ implique toujours $x\leq z$.

Exemple 1 (suite). En reprenant l'exemple 1, on a une relation d'équivalence sur $\mathbb Z$ : 

(1) Réflexivité. Clairement pour tout $x\in \mathbb Z$, $x\sim x$ ($k=0$)

(2) Symétrie. $x\sim y$ implique $x-y=2k$ avec $k\in \mathbb Z$, ainsi $y-x=-2k$ donc $y \sim x$. 

(3) Transitivité. $x\sim y$ et $y\sim z$ immpliquent $x=y+2k$ et $y=z+2k'$, avec $k,k'\in\mathbb Z$. On en déduit que $x=z+2(k+k')$ avec $k+k'\in\mathbb Z$. Autrement dit, $x\sim z$.

Exemple 2 (suite). On n'a pas de relation d'équivalence car il n'y a pas de symétrie (ni de réflexivité, ni de transitivité d'ailleurs).

Classes d'équivalence

Etant donnée un ensemble $E$ muni d'une relation d'équivalence $\sim$, nous appelons pour chaque $x$ dans $E$ la classe d'équivalence de $x$ l'ensemble des $y\in E$ tels que $x\sim y$. 

Nous noterons $[x]$ la classe d'équivalence de $x$. Autrement dit, 

$$[x]=\left\{y\in E\ | \ x\sim y  \right\} $$

Propriété 1. Les classes d'équivalence de $E$ sont disjointes et leur réunion est $E$. 

On dit dans ce cas que les classes d'équivalence de $E$ forment une partition de $E$. 

Autrement dit si $[x]$ et $[y]$ sont deux classes d'équivalences, elles sont confondues ou d'intersection vide.

Démonstration. 

(1) Supposons que $z\in [x]\cap [y]$. Il faut montrer que $[x]=[y]$. On utilise la transitivité de $\sim$ à plusieurs reprises. 

Soit $t\in[x]$, alors $t\sim x$ et comme $x\sim z$, $t\sim z$. Or $z\sim y$ donc $t\sim y$ et $t\in[y]$. Tout élément de $[x]$ est donc dans $[y]$. 

De la même manière tout élément de $[y]$ est dans $[x]$. 

On en déduit que $[x]=[y]$

(2) Clairement tout $x\in E$ est un élément de $[x]$ par réflexivité.

Exemple 1 (suite). L'ensemble des classes d'équivalence de l'ensemble $\mathbb Z$ pour la relaion $\sim$ définie par $x\sim y \Longleftrightarrow \exists k\in\mathbb Z, x-y=2k$ est l'ensemble  

$$\left\{[0],[1] \right\} $$

$[0]$ est l'ensemble des entiers pairs et $[1]$ est l'ensemble des entiers impairs.

L'ensemble $\mathbb Q$

Partons de la connaissance de l'ensemble des entiers relatifs $\mathbb Z$.

On note $\mathbb Z^\star$ l'ensemble des entiers relatifs non-nuls. 

On note $E=\mathbb Z \times \mathbb Z^\star$. 

L'ensemble $E$ est composé des couples d'éléments $(a,b)$ d'entiers relatifs avec $b\neq 0$.

Sur $E$, nous allons définir une relation $\sim$ par la règle suivante :

$$(a,b) \sim (a',b') \Longleftrightarrow ab'=a'b $$

Nous allons montrer que $\sim$ est une relation d'équivalence. L'ensemble $\mathbb Q $ sera ensuite défini comme l'ensemble des classes d'équivalence  de $E$ pour la relation $\sim$. 

Preuve. 

(1) Tout d'abord $(a,b)\sim (a,b)$ car $ab=ab$.

(2) Si $(a,b)\sim (a',b')$, alors $ab'=a'b$ et donc $a'b=ab'$ nous donnant $(a',b')\sim (a,b)$. 

(3) Supposons que $(a_1,b_1)\sim (a_2,b_2)$ et que $(a_2,b_2)\sim(a_3,b_3)$. 

Alors $a_1b_2=a_2b_1$ et $a_2b_3=a_3b_2 $. 

On a alors $a_1b_2b_3=a_2b_1b_3=a_3b_2b_1$. Comme $b_2\neq 0$, on en déduit que $a_1b_3=a_3b_1$ ce qui donne $(a_1,b_1)\sim(a_3,b_3)$. 

Notation. La classe d'équivalence d'un élément $(a,b)$ de $E$ pour la relation $\sim $ définie plus haut est notée 

$$\frac{a}{b}=\left\{(c,d)\in \mathbb Z \times \mathbb Z^\star\ | \ ad=cb \right\} $$

D'après la propriété 1, on a donc 

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d} \Longleftrightarrow ad=cb $$

On note $\mathbb Q$ l'ensemble des classes d'équivalence de $E$ pour $\sim$. C'est l'ensemble des nombres rationnels.

Opérations sur $\mathbb Q $, $\mathbb Z \subset Q$

Propriété 2. $\mathbb Z$ s'identifie à un sous-ensemble de $\mathbb Q$. Autremenent dit, il existe une fonction injective $\mathbb Z \longrightarrow \mathbb Q$.

Plus précisément, $\mathbb Z \longrightarrow \mathbb Q$ est donnée par $x\mapsto \frac x 1$.

Démonstration. $\frac x 1=\frac y 1 \Longrightarrow x\times 1= 1\times y \Longrightarrow x= y $. Donc la fonction définie plus haut est bien injective.

La fonction $j:x \longmapsto \frac x 1$ est appelée l'injection naturelle de $\mathbb Z $ dans $\mathbb Q$.

On identifie alors sans problème l'ensemble $\mathbb Z$ avec son image $j\left(\mathbb Z\right)$ par la notation $$x=\frac x 1 $$

Les élément de $\mathbb Q$ qui sont dans $\mathbb Z$ sont donc les éléments $\frac a b$ qui sont équivalent pour $\sim$ à un élement de la forme $\frac x 1$.

Définissons maintenant une addition et une multiplication sur $\mathbb Q $ par les règles suivantes : 

(1) Addition : 

$$\frac a b + \frac c d = \frac{ad+bc}{bd}$$

(2) Multiplication : 

$$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a\times b}{c\times d} $$

Propriété 3. On a pour tous $x,y\in \mathbb Z$, $j(x+y)=j(x)+j(y)$ et $j(x\times y)=j(x)\times j(y)$.

L'addition et la multiplication définies sur $\mathbb Q$ sont donc des extensions de l'addition et de la multiplication de $\mathbb Z$. 

Démonstration de la propriété 3.

(1) $j(x+y)=\frac{x+y}{1}=\frac{x\times 1 + y\times 1}{y}=\frac x 1 + \frac y 1 = j(x)+j(y)$

(2) $j(x\times y)=\frac{x\times y} 1 = \frac{x\times y}{1\times 1}=\frac x 1 \times \frac y 1 = j(x)\times j(y)$

Remarque. 

(1) On voit facilement que l'addition et la multiplication ainsi définies sur $\mathbb Q$ sont commutatives.

(2) Le nombre $0=\frac 0 1$ de $\mathbb Q$ est un élément neutre pour l'addition : $\forall \frac a b \in\mathbb Q,\ \frac a b + 0 = 0+\frac a b=\frac a b $.

(3) Le nombre $1=\frac 1 1$ de $\mathbb Q$ est un élément neutre pour la multiplication : $\forall \frac a b \in \mathbb Q,\ \frac a b \times 1 = 1 \times \frac a b =\frac a b$.

Propriété 4. 

(4.1) Tout élément de $\mathbb Q $ possède un inverse pour l'addition (un opposé) : 

$$\forall \frac a b \in \mathbb Q,\ \exists x\in \mathbb Q, \frac a b + x=0$$ 

En effet, $x=\frac{-a}{b}$ convient. 

(4.2) Tout élément non-nul de $\mathbb Q $ possède un inverse pour la multiplication  : 

$\forall \frac a b \in \mathbb Q^\star,\ \exists x\in \mathbb Q, \frac a b \times x=1$. 

En effet, $x=\frac{b}{a}$ convient. 

Propriété 5. 

Pour tout $\frac a b,\frac c d\in\mathbb Q$, on a $\frac a b + \frac c d = \frac c d + \frac a b$ et $\frac a b \times \frac c d = \frac c d \times \frac a b$. 

La démonstration est laissée au lecteur.

On dit que l'addition et la multiplication sont des opérations commutatives. 

Généralement, on omet le signe $\times$ pour les multiplications  : $\frac a b \frac c d =\frac a b \times \frac c d$.

Propriété 6. 

(6.1.a) Associativité de l'addition.  Pour tout $\frac a b,\frac {r}{s},\frac{p}{q}\in\mathbb Q$, on a

$$\left( \frac a b + \frac r s\right) + \frac p q = \frac a b + \left( \frac r s + \frac p q\right) $$

(6.1.b) Associativité de la multiplication.  Pour tout $\frac a b,\frac {r}{s},\frac{p}{q}\in\mathbb Q$, on a

$$\left( \frac a b  \frac r s\right)  \frac p q = \frac a b  \left( \frac r s  \frac p q\right) $$

(6.2) Distributivité de la multiplication par rapport à l'addition. Pour tout $\frac a b,\frac {r}{s},\frac{p}{q}\in\mathbb Q$, on a

$$\frac a b \left(\frac r s + \frac p q \right)=\frac a b \frac r s + \frac a b \frac p q $$

Ces propriétés se démontrent facilement en utilisant les définitions et les propriétés des nombres entiers relatifs. 

Remarques.

(1) On écrira  $\frac a b + \frac r s +\frac p q  $ pour désigner de manière indifférente $\left(\frac a b +\frac  pq\right) + \frac r s$ ou $\frac a b + \left( \frac p q + \frac r s\right) $

(2) On écrira  $\frac a b  \frac r s \frac p q  $ pour désigner de manière indifférente $\left(\frac a b \frac  pq\right)  \frac r s$ ou $\frac a b \left( \frac p q  \frac r s\right) $

Ensuite

Les propriétés précédentes pour l'addition font de l'ensemble $\mathbb Q$ un groupe pour l'addition. Voir l'article [Groupes (0)].

Les propriétés précédentes pour la multiplication font de l'ensemble $\mathbb Q^\star$ un groupe pour la multiplication. Voir l'article [Groupes (0)].

Muni de l'addition et de la multiplication, l'ensemble $\mathbb Q$ est un anneau et même un corps. J'en parlerai dans un prochain article.