Suites géométriques

Dans cet article, on définit les suites géométriques, et on donne le terme général d'une telle suite. On pourra commencer par visionner la vidéo ci-dessous

Définition

Une suite $(u_n)$ est dite géométrique s'il existe un réel $a$ tel que pour tout $n\in\mathbb N$ : $u_{n+1}=au_n$.

$a$ est appelé la raison de la suite.

Terme général

En calculant de proche en proche les premiers termes, on a

• $u_1=au_0 $
• $u_2=au_1=aau_0=a^2u_0 $
• $u_3=au_2=a^3u_0$
• $u_4=au_3=a^4u_0$

En fait, nous avons la propriété suivante

Propriété 1. Soit $(u_n)$ une géométrique de raison $a$.

Pour tout $n\in\mathbb N$, on a $u_n=a^nu_0$.

Démonstration. Nous allons montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ :

$$(\mathcal P_n)\ \ : \ \ u_n=a^nu_0 $$

(1) Initialisation. $u_0=1u_0=a^0u_0$ donc $(\mathcal P_0)$

(2) Hérédité. Supposons $(\mathcal P_n)\ \ : \ \ u_n=a^nu_0$ pour un certain entier naturel $n$.

Nous avons $u_{n+1}=au_n$ donc d'après l'hypothèse de récurrence $(\mathcal P_n)$, nous avons $$u_{n+1}=a\left(a^nu_0\right)=aa^nu_0=a^{n+1}u_0$$

Cette dernière égalité étant $(\mathcal P_{n+1})$, nous avons donc pour tout entier naturel $n$ l'implication $$(\mathcal P_n)\Rightarrow (\mathcal P_{n+1})$$ 

Autrement dit la suite de propriété $(\mathcal P_n)$ est héréditaire.

(3) Conclusion. Par initialisation et hérédité, la propriété est démontrée.

Limite

La limite d'une suite géométrique si elle existe ne peut être que $0$ lorsqu'elle converge. Si elle diverge, sa limite est $+\infty$ ou $-\infty$. Nous voyons dans la propriété ci-dessous que cela dépend uniquement de la valeur $a$. 

Propriété. Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $a$.

(a) Si $a=0$, la suite $(u_n)$ est constante égale à zéro à partir du rang 1

(b) Si $a=1$, la suite $(u_n)$ est constante égale à $u_0$

(c) Si $a=-1$, la suite $(u_n)$ prend exactement deux valeurs : 

   (c.1) si $n$ est paire : $u_n=u_0$

   (c.2) si $n$ est impaire : $u_n=-u_0$

(d) Si $a>1 $, $\lim_{n} u_n = +\infty$ si $u_0>0 $ et $\lim_{n} u_n = -\infty$ si $u_0<0 $   

(e) Si $-1<a<1$, $\lim_{n} u_n = 0$

(f) Si $a<-1$, $\lim_n u_n $ n'existe pas.

Démonstration. 

Je ne rédigerai pas le cas (a) et le cas (b). J'invite le lecteur à rédiger lui-même ces parties de la démonstration s'il a besoin de se convaincre de ces résultats. Pour la partie (c), je donne une indication pour la rédaction.

(a) $u_1=0\times u_0 $. Par récurrence, pour tout $n\geq 1$, $u_n=0$.

(b) Par récurrence.

(c) Par récurrence encore. 

Indication. Démontrer la propriété suivante pour tout enteir naturel $n$ : 

$$(\mathcal P_n)\ : \ u_n=\left\{\begin{array}{rcl} u_0&\textrm{si}& n\ \textrm{est pair}\\ -u_0&\textrm{si}& n\ \textrm{est impair} \end{array} \right. $$

Ne pas hésiter à laisser des commentaires.

Pour (d), (e) et (f), commençons par écrire que pour tout $n$, on a 

$$\left|u_n \right|=\left|a^nu_0 \right|=\left|a^n\right| \left|u_0 \right|=\left|a\right|^n \left|u_0 \right|$$

(d) Si $a>1$, on peut écrire $a=1+\alpha$ avec $\alpha>0$. On a d'après la formule du binome de Newton : 

$$a^n=(\alpha+1)^n=\binom{n}{0}\alpha^n+\binom{n}{1}\alpha^{n-1}+\ldots+\binom{n}{n-1}\alpha+\binom{n}{n}=A+n\alpha + 1$$

où $A=\binom{n}{0}\alpha^n+\binom{n}{1}\alpha^{n-1}+\ldots+\binom{n}{n-1}\alpha^2$.

On en déduit que $a^n>n\alpha$. Or $\lim_n \alpha n=+\infty$ car $\lim_n n=+\infty$ (voir l'article sur les limites de suites). On en déduit que $\lim_n a^n=+\infty$.

(e) Supposons que $-1<a<1$ et $a\neq 0$. 

Alors $0< \left|a \right|<1$ et $\frac 1 {\left| a \right|}>1$.

Donc $\lim_n\left(\frac 1 {\left| a \right|}\right)^n=+\infty $. 

On en déduit que $$\lim_n \frac 1 {\left| a \right|^n}=+\infty $$

Ainsi d'après l'article sur les limites infinies, puisque $\frac 1 {\left| a^n \right|}=\frac 1 {\left| a \right|^n}=+\infty $, on en déduit que $\lim_n \left| a^n \right|=0 $ (voir article sur les limite vers $+\infty $).

On peut donc en déduire que $\lim_n   a^n =0 $ (voir article sur les limites de suites, remarque 3 sous la définition de convergence).

(f) Supposons que $a<-1$. Alors la suite $(v_n)$ définie par $v_n=\left\|u_n \right\| $ entre dans le cas $(d)$ car elle est géométrique de raison $\left\| a\right\| $.

On en déduit que $(v_n)$ diverge vers $+\infty $. En particulier, $(v_n)$ ne converge pas vers 0, et donc $(u_n) $ non-plus. Par ailleurs, $(u_n)$ ne converge pas vers un réel non-nul car si c'était le cas $(v_n)$ convergerait vers la valeur absolue de cette limite. 

Donc $(u_n)$ diverge. Par définition d'une limite infinie, $(u_n)$ ne peut pas diverger vers $+\infty$ car sinon, on aurait l'exitence d'un réel $N>0$, tel que $n\geq N$ impliquerait $u_n>0$. Mais comme $a<0$, si $u_n>0 $, alors $u_{n+1}=au_n<0$. On aurait donc une contradiction. On montre de la même façon que $(u_n)$ ne peut pas diverger vers $-\infty$.

Par conséquent $(u_n)$ diverge et n'a pas de limite (finie ou infinie).

A lire ensuite

• Somme des termes d'une suite géométrique et le nombre 9,9999........
• Suites arithmético-géométriques : article 1 pour commencer
• Suites géométriques de matrices (plus tard quand je l'aurai rédigé)