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jeudi 19 octobre 2023

Suites géométriques

Dans cet article, on définit les suites géométriques, et on donne le terme général d'une telle suite. On pourra commencer par visionner la vidéo ci-dessous


Définition

Une suite (u_n) est dite géométrique s'il existe un réel a tel que pour tout n\in\mathbb N : u_{n+1}=au_n.

a est appelé la raison de la suite.

Terme général

En calculant de proche en proche les premiers termes, on a

  • u_1=au_0
  • u_2=au_1=aau_0=a^2u_0
  • u_3=au_2=a^3u_0
  • u_4=au_3=a^4u_0

En fait, nous avons la propriété suivante

Propriété 1. Soit (u_n) une géométrique de raison a.

Pour tout n\in\mathbb N, on a u_n=a^nu_0.


Démonstration. Nous allons montrer par récurrence que pour tout entier naturel n :

(\mathcal P_n)\ \ : \ \ u_n=a^nu_0

(1) Initialisation. u_0=1u_0=a^0u_0 donc (\mathcal P_0)

(2) Hérédité. Supposons (\mathcal P_n)\ \ : \ \ u_n=a^nu_0 pour un certain entier naturel n.

Nous avons u_{n+1}=au_n donc d'après l'hypothèse de récurrence (\mathcal P_n), nous avons u_{n+1}=a\left(a^nu_0\right)=aa^nu_0=a^{n+1}u_0

Cette dernière égalité étant (\mathcal P_{n+1}), nous avons donc pour tout entier naturel n l'implication (\mathcal P_n)\Rightarrow (\mathcal P_{n+1}) 

Autrement dit la suite de propriété (\mathcal P_n) est héréditaire.

(3) Conclusion. Par initialisation et hérédité, la propriété est démontrée.

Limite

La limite d'une suite géométrique si elle existe ne peut être que 0 lorsqu'elle converge. Si elle diverge, sa limite est +\infty ou -\infty. Nous voyons dans la propriété ci-dessous que cela dépend uniquement de la valeur a


Propriété. Soit (u_n) une suite géométrique de raison a.

(a) Si a=0, la suite (u_n) est constante égale à zéro à partir du rang 1

(b) Si a=1, la suite (u_n) est constante égale à u_0

(c) Si a=-1, la suite (u_n) prend exactement deux valeurs : 

   (c.1) si n est paire : u_n=u_0

   (c.2) si n est impaire : u_n=-u_0

(d) Si a>1 , \lim_{n} u_n = +\infty si u_0>0 et \lim_{n} u_n = -\infty si u_0<0    

(e) Si -1<a<1, \lim_{n} u_n = 0

(f) Si a<-1, \lim_n u_n n'existe pas.


Démonstration. 

Je ne rédigerai pas le cas (a) et le cas (b). J'invite le lecteur à rédiger lui-même ces parties de la démonstration s'il a besoin de se convaincre de ces résultats. Pour la partie (c), je donne une indication pour la rédaction.

(a) u_1=0\times u_0 . Par récurrence, pour tout n\geq 1, u_n=0.

(b) Par récurrence.

(c) Par récurrence encore. 

Indication. Démontrer la propriété suivante pour tout enteir naturel n

(\mathcal P_n)\ : \ u_n=\left\{\begin{array}{rcl} u_0&\textrm{si}& n\ \textrm{est pair}\\ -u_0&\textrm{si}& n\ \textrm{est impair} \end{array} \right.

Ne pas hésiter à laisser des commentaires.

Pour (d), (e) et (f), commençons par écrire que pour tout n, on a 

\left|u_n \right|=\left|a^nu_0 \right|=\left|a^n\right| \left|u_0 \right|=\left|a\right|^n \left|u_0 \right|

(d) Si a>1, on peut écrire a=1+\alpha avec \alpha>0. On a d'après la formule du binome de Newton : 

a^n=(\alpha+1)^n=\binom{n}{0}\alpha^n+\binom{n}{1}\alpha^{n-1}+\ldots+\binom{n}{n-1}\alpha+\binom{n}{n}=A+n\alpha + 1

A=\binom{n}{0}\alpha^n+\binom{n}{1}\alpha^{n-1}+\ldots+\binom{n}{n-1}\alpha^2.

On en déduit que a^n>n\alpha. Or \lim_n \alpha n=+\infty car \lim_n n=+\infty (voir l'article sur les limites de suites). On en déduit que \lim_n a^n=+\infty.

(e) Supposons que -1<a<1 et a\neq 0

Alors 0< \left|a \right|<1 et \frac 1 {\left| a \right|}>1.

Donc \lim_n\left(\frac 1 {\left| a \right|}\right)^n=+\infty

On en déduit que \lim_n \frac 1 {\left| a \right|^n}=+\infty

Ainsi d'après l'article sur les limites infinies, puisque \frac 1 {\left| a^n \right|}=\frac 1 {\left| a \right|^n}=+\infty , on en déduit que \lim_n \left| a^n \right|=0 (voir article sur les limite vers +\infty ).


On peut donc en déduire que \lim_n   a^n =0 (voir article sur les limites de suites, remarque 3 sous la définition de convergence).

(f) Supposons que a<-1. Alors la suite (v_n) définie par v_n=\left\|u_n \right\| entre dans le cas (d) car elle est géométrique de raison \left\| a\right\| .

On en déduit que (v_n) diverge vers +\infty . En particulier, (v_n) ne converge pas vers 0, et donc (u_n) non-plus. Par ailleurs, (u_n) ne converge pas vers un réel non-nul car si c'était le cas (v_n) convergerait vers la valeur absolue de cette limite. 

Donc (u_n) diverge. Par définition d'une limite infinie, (u_n) ne peut pas diverger vers +\infty car sinon, on aurait l'exitence d'un réel N>0, tel que n\geq N impliquerait u_n>0. Mais comme a<0, si u_n>0 , alors u_{n+1}=au_n<0. On aurait donc une contradiction. On montre de la même façon que (u_n) ne peut pas diverger vers -\infty.


Par conséquent (u_n) diverge et n'a pas de limite (finie ou infinie).


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