Dans cet article, on définit les suites géométriques, et on donne le terme général d'une telle suite. On pourra commencer par visionner la vidéo ci-dessous
Définition
Une suite (u_n) est dite géométrique s'il existe un réel a tel que pour tout n\in\mathbb N : u_{n+1}=au_n.
a est appelé la raison de la suite.
Terme général
En calculant de proche en proche les premiers termes, on a
- u_1=au_0
- u_2=au_1=aau_0=a^2u_0
- u_3=au_2=a^3u_0
- u_4=au_3=a^4u_0
En fait, nous avons la propriété suivante
Propriété 1. Soit (u_n) une géométrique de raison a.
Pour tout n\in\mathbb N, on a u_n=a^nu_0.
Démonstration. Nous allons montrer par récurrence que pour tout entier naturel n :
(\mathcal P_n)\ \ : \ \ u_n=a^nu_0
(1) Initialisation. u_0=1u_0=a^0u_0 donc (\mathcal P_0)
(2) Hérédité. Supposons (\mathcal P_n)\ \ : \ \ u_n=a^nu_0 pour un certain entier naturel n.
Nous avons u_{n+1}=au_n donc d'après l'hypothèse de récurrence (\mathcal P_n), nous avons u_{n+1}=a\left(a^nu_0\right)=aa^nu_0=a^{n+1}u_0
Cette dernière égalité étant (\mathcal P_{n+1}), nous avons donc pour tout entier naturel n l'implication (\mathcal P_n)\Rightarrow (\mathcal P_{n+1})
Autrement dit la suite de propriété (\mathcal P_n) est héréditaire.
(3) Conclusion. Par initialisation et hérédité, la propriété est démontrée.
Limite
La limite d'une suite géométrique si elle existe ne peut être que 0 lorsqu'elle converge. Si elle diverge, sa limite est +\infty ou -\infty. Nous voyons dans la propriété ci-dessous que cela dépend uniquement de la valeur a.
Propriété. Soit (u_n) une suite géométrique de raison a.
(a) Si a=0, la suite (u_n) est constante égale à zéro à partir du rang 1
(b) Si a=1, la suite (u_n) est constante égale à u_0
(c) Si a=-1, la suite (u_n) prend exactement deux valeurs :
(c.1) si n est paire : u_n=u_0
(c.2) si n est impaire : u_n=-u_0
(d) Si a>1 , \lim_{n} u_n = +\infty si u_0>0 et \lim_{n} u_n = -\infty si u_0<0
(e) Si -1<a<1, \lim_{n} u_n = 0
(f) Si a<-1, \lim_n u_n n'existe pas.
Démonstration.
Je ne rédigerai pas le cas (a) et le cas (b). J'invite le lecteur à rédiger lui-même ces parties de la démonstration s'il a besoin de se convaincre de ces résultats. Pour la partie (c), je donne une indication pour la rédaction.
(a) u_1=0\times u_0 . Par récurrence, pour tout n\geq 1, u_n=0.
(b) Par récurrence.
(c) Par récurrence encore.
Indication. Démontrer la propriété suivante pour tout enteir naturel n :
(\mathcal P_n)\ : \ u_n=\left\{\begin{array}{rcl} u_0&\textrm{si}& n\ \textrm{est pair}\\ -u_0&\textrm{si}& n\ \textrm{est impair} \end{array} \right.
Ne pas hésiter à laisser des commentaires.
Pour (d), (e) et (f), commençons par écrire que pour tout n, on a
\left|u_n \right|=\left|a^nu_0 \right|=\left|a^n\right| \left|u_0 \right|=\left|a\right|^n \left|u_0 \right|
(d) Si a>1, on peut écrire a=1+\alpha avec \alpha>0. On a d'après la formule du binome de Newton :
a^n=(\alpha+1)^n=\binom{n}{0}\alpha^n+\binom{n}{1}\alpha^{n-1}+\ldots+\binom{n}{n-1}\alpha+\binom{n}{n}=A+n\alpha + 1
où A=\binom{n}{0}\alpha^n+\binom{n}{1}\alpha^{n-1}+\ldots+\binom{n}{n-1}\alpha^2.
On en déduit que a^n>n\alpha. Or \lim_n \alpha n=+\infty car \lim_n n=+\infty (voir l'article sur les limites de suites). On en déduit que \lim_n a^n=+\infty.
(e) Supposons que -1<a<1 et a\neq 0.
Alors 0< \left|a \right|<1 et \frac 1 {\left| a \right|}>1.
Donc \lim_n\left(\frac 1 {\left| a \right|}\right)^n=+\infty .
On en déduit que \lim_n \frac 1 {\left| a \right|^n}=+\infty
Ainsi d'après l'article sur les limites infinies, puisque \frac 1 {\left| a^n \right|}=\frac 1 {\left| a \right|^n}=+\infty , on en déduit que \lim_n \left| a^n \right|=0 (voir article sur les limite vers +\infty ).
On peut donc en déduire que \lim_n a^n =0 (voir article sur les limites de suites, remarque 3 sous la définition de convergence).
(f) Supposons que a<-1. Alors la suite (v_n) définie par v_n=\left\|u_n \right\| entre dans le cas (d) car elle est géométrique de raison \left\| a\right\| .
On en déduit que (v_n) diverge vers +\infty . En particulier, (v_n) ne converge pas vers 0, et donc (u_n) non-plus. Par ailleurs, (u_n) ne converge pas vers un réel non-nul car si c'était le cas (v_n) convergerait vers la valeur absolue de cette limite.
Donc (u_n) diverge. Par définition d'une limite infinie, (u_n) ne peut pas diverger vers +\infty car sinon, on aurait l'exitence d'un réel N>0, tel que n\geq N impliquerait u_n>0. Mais comme a<0, si u_n>0 , alors u_{n+1}=au_n<0. On aurait donc une contradiction. On montre de la même façon que (u_n) ne peut pas diverger vers -\infty.
Par conséquent (u_n) diverge et n'a pas de limite (finie ou infinie).
A lire ensuite
- Somme des termes d'une suite géométrique et le nombre 9,9999........
- Suites arithmético-géométriques : article 1 pour commencer
- Suites géométriques de matrices (plus tard quand je l'aurai rédigé)
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