$\mathbb Q $ (1). Structure de corps de $\mathbb Q $. Ordre sur $\mathbb Q$

 Cet article fait suite à : Construction de $\mathbb Q$.

Dans cet article, nous montrons que $\mathbb Q$ est un anneau commutatif dont chaque élément non-nul possède un inverse pour la multiplication. Autrement dit, $\mathbb Q$ est un corps. Ces notions seront expliquées au cours de ce billet.

On rappelle que $\mathbb Z$ s'identifie à un sous-ensemble de $\mathbb Q$ via $a\longleftrightarrow \frac a 1$. Autrement dit tout entier relatif $a$ peut être considéré comme un nombre rationnel $\frac a 1$ que l'on notera $a$.

Ainsi on notera sans risque de confusion : $0=\frac 0 1$ et $1=\frac 1 1$.

Pour commencer remarquons que l'addition définie sur $\mathbb Q$ est commutative. En effet comme l'addition et la multiplication de $\mathbb Z$ sont commutatives, on a 

$$ \frac{a}{b}+ \frac p q=\frac{aq+pb}{pq}=\frac{pb+aq}{qp}=\frac p q + \frac{a}{b}$$

De même le lecteur vérifiera sans difficulté que le produit défini sur $\mathbb Q$ est commutatif.

Strucure d'anneau de $\mathbb Q$

Propriété 1. 

Si $b$ est un entier relatif non nul, alors $\frac 0 b= \frac 0 1=0$.

De plus pour tout $x\in \mathbb Q$, $x+0=x=0+x$.

Preuve.

On a $0\times 1=0=b\times 0$ donc $\frac 0 b= \frac 0 1$.

Ensuite si $x=\frac a b$, alors $x+0=\frac a b+\frac 0 1= \frac{b\times 1+a\times0}{b\times 1}=\frac{a}{b}=x$.

Par commutativité de l'addition, $0+x=x$.

$0$ est donc un élément neutre de l'addition des rationnels. Il n'y en a pas d'autres : si $e$ est aussi un élément neutre alors, on a $e=e+0=0+e=0$.

Propriété 2. 

$(\mathbb Q,+)$ est un groupe commutatif.

Preuve. 

De ce qui précède, il reste à montré que chaque élément de $\mathbb Q$ possède un opposé (un inverse pour l'addition) et que l'addition est associative.

(1) Soit $x=\frac a b\mathbb Q$. Notons $y=\frac{-a}{b}$. 

On a $x+y=\frac{ab-ab}{b^2}=0$. Ainsi $y$ est un opposé de $x$.

(2) Soient $x=\frac a b$, $y=\frac m n$, et $z=\frac{s}{t}$ trois nombres rationnels.

On a d'après les propriétés d'anneaux de $\mathbb Z$ (voir article De $\mathbb N  $ à $\mathbb Z $) 

$$(x+y)+z=\frac{an+mb}{bn}+\frac{s}{t}=\frac{(an+mb)t+s(bn)}{(bn)t}$$

Donc 

$$(x+y)+z=\frac{a(nt)+b(mt+sn)}{b(nt)}=x+(y+z)$$

Ainsi $+$ est associative sur $\mathbb Q$.

$(Q,+)$ est donc ce que l'on appelle un groupe commutatif (ou abélien) . 

Remarques. 

• (a) Par commutativité de $+$, dans un groupe commutative, un inverse à droite et un inverse à gauche sont la même notion : $x+y=0\Longleftrightarrow y+x=0$.
• (b) Dans un groupe, chaque élément ne possède qu'un unique inverse pour l'addition. 
  En effet, supposons que $x$ a pour inverses  $y$ et $z$. Alors, $z+(x+y)=(z+x)+y$, c'est-à-dire $z+0=0+y$, ce qui se traduit pas $z=y$.

Propriété 3. 

On a pour tout entier relatif $k$ non-nul, et pour tout rationnel $\frac a b$,

$$\frac{ka}{kb}=\frac{a}{b}$$

Preuve. 

$(ka)b=(kb)a$

Propriété 4. 

$(\mathbb Q,+,\times)$ est un anneau commutatif unitaire.

Preuve.  

On sait déjà que $(\mathbb Q,+)$ est un groupe commutatif et que le produit sur $\mathbb Q$ est commutatif.

(1) Tout d'abord, le nombre $1=\frac 1 1$ est un élément neutre pour le produit.  

Remarquons pour des raisons similaires au fait que $0$ est l'unique élément neutre pour $+$, qu'il n'y a qu'un seul élément neutre pour $\times$. En effet si $e,e'$ sont neutres pour $\times$, on a $e'=ee'=e$.

Vérifions la neutralité de $1$. Soit $\frac a b\in \mathbb Q$. On a

$$ \frac 1 1\frac{a}{b}=\frac{1\times a}{1\times b}=\frac a b$$.

C'était évident car $1$ est neutre dans $\mathbb Z$.

(2) La multiplication est associative dans $\mathbb Q$ grâce à l'associativité de la multiplication dans $\mathbb Z$

$$\left( \frac a b \times \frac m n\times\right)\times \frac s t =\frac{am}{bn}\times\frac{s}{t}=\frac{(am)s}{(bn)t}=\frac{a(ms)}{b(nt)}=\frac{a}{b}\times\left(\frac{m}{n}\times \frac{s}{t}\right)$$

(3) La multiplication est distributive par rapport à l'addition. En effet, si $\frac a b,\frac m n, \frac s t$ sont des rationnels, on a 

$$\frac a b\times \left(\frac m n + \frac s t\right)=\frac a b\times \frac{mt+ns}{nt}=\frac{amt+ans}{bnt}$$

D'un autre côté, on a 

$$\frac a b\times \frac m n +\frac a b\times \frac s t= \frac{am} {bn} +\frac{as} {bt}=\frac{ambt+asbn}{b^2nt}=\frac{amt+asn} {bsn}$$

On a donc bien $\frac a b\times \left(\frac m n + \frac s t\right)=\frac{amt+asn} {bsn}$.

$(\mathbb Q,+,\times)$ est donc ce que l'on appelle un anneau.

L'opposé d'un élément $x$ est noté $-x$. 

On a $-(-x)=x$ car $x+(-x)=0$ comme dans tout groupe.

Soustraire un nombre $y$ à un nombre $x$, c'est ajouter l'opposé de $y$

à $x$. On note $$x-y=x+(-y)$$

Propriété 6.

Si $x,y$ sont deux rationnels, alors $-(x+y)=-x+(-y)=-x-y$.

Preuve.

On a $$(x+y)+(-x+(-y))=x+(y+(-x+(-y))=x+(y+(-y+(-x))$$

Or $$y+(-y+(-x)=(y+(-y))+(-x)=-x$$ d'où

$$(x+y)+(-x+(-y))=x+(-x)=0$$

Notations. 

(1) Comme dans $\mathbb Z$, on omet souvent le symbole $\times$ pour les produits, écrivant $xy$ plutôt que $x\times y$.

(2) Puisque l'addition et la multiplication y sont associatives, on note pour $x,y,z$ dans $\mathbb Q$, $x+y+z$ pour désigner indifféremment $(x+y)+z$ ou $x+(y+z)$; respectivement on note $xyz$ pour désigner indistinctement $(xy)z$ ou $x(yz)$.

Quotient et fraction

Propriété 7. 

Si $k$ est un entier relatif, et si $\frac a b$ est un rationnel, on a $k\times\frac a b=\frac{ka}{b}$.

Preuve.

On a $\frac k1\times\frac{a}{b}\frac{ak}{b}$.

 

Propriété 8. 

Tout rationnel non-nul $\frac a b $ admet pour unique inverse $\frac b a$.

$0$ n'admet pas d'inverse.

Preuve. 

• On a $$\frac{a}{b}\times\frac{b}{a}=\frac{ab}{ab}=1$$

• Si $x$ admet pour inverses multiplicatifs $y$ et $y'$, alors $y'=y'(xy)=(y'x)y=y$ d'où l'on conclut à l'unicité de l'inverse.

• Supposons que $\frac{a}{b}\times \frac{0}{1}=\frac{1}{1}$.

Alors $\frac 0{b}=\frac{1}{1}$ d'où $1b=0\times 1$ dans $\mathbb Z$ ce qui est faux.

$\mathbb Q$ est donc ce que l'on appelle un corps (commutatif), c'est-à-dire un anneau (commutatif) dont les éléments non-nuls sont inversibles pour la multiplication.

Si $a$ et $b$ sont des entiers relatifs, le quotient rationnel de $a$ par $b$ est le rationnel $\frac a b$.

Ainsi dans le cas où $b$ divise $a$ (voir article sur la division euclidienne dans $\mathbb Z$), il existe un entier relatif $k$ tel que $a=kb$. On a bien dans ce cas $\frac a b =\frac{kb}{b}=\frac{k}{1}=k$.

Si $s$ est un nombre rationnel, on peut noter $s^{-1}$ son inverse (pour la multiplication).

Quotients de fractions

Soit $r=\frac{a}{b}$ et $s=\frac c d$ deux rationnels.

Alors on définit $$\frac{r}{s}=r\times s^{-1}$$

où $s^{-1}$ est l'inverse de $s$ pour $\times$ 

Ainsi $$\frac{r}{s}=r\times s^{-1}=\frac{a}{b}\times  \frac  d c$$

On a donc $$ \frac{\frac{r}{s}}{\frac c d}=\frac{a}{b}\times  \frac{d}{c}$$

En particulier $$\frac{1}{\frac{a}{b}}=\frac{b}{a}$$

Ordre sur $\mathbb Q$

Propriété 9.

• Si $\frac a b = \frac m n\neq 0$, alors : 

$a$ et $b$ ont le même signe dans $\mathbb Z$ si et seulement si $m$ et $n$ sont de même signe dans $\mathbb Z$

• Si $\frac{a}{b}=0$, alors $a=0$ et $b$ est de n'importe quel signe.

Preuve. 

L'égalité des fractions donne $an=mb$.

D'après la règle des signes pour les produits dans $\mathbb Z$ :

si $a$ et $b$ ont le même signe, comme $an$ et $mb$ ont le même signe, on a nécessairement $m$ et $n$ de même signe. Dans le cas contraire, $n$ et $m$ doivent aussi être de signes opposés car sinon $an$ et $mb$ n'auraient pas le même signe. 

Le fait que le numérateur et le dénominateur aient ou n'aient pas le même signe ne dépend pas du représentant $\frac a b $ choisi.

$\frac{a}{b}=\frac 0 1$ implique $1a=0b$ d'où $a=0$.

On dit que $\frac a b$ est positif si $a$ et $b$ sont de même signe dans $\mathbb Z$, s'ils sont de signes opposés, on dit que $\frac a b$ est négatif.

Si $\frac a b$ est positif non nul, on dit que $\frac a b$ est strictement positif.

Si $\frac a b$ est négatif non nul, on dit que $\frac a b$ est strictement négatif.

On note $\mathbb Q_+$ et $\mathbb Q_-$ l'ensemble des rationnels respectivement positifs et l'ensemble des rationnels négatifs.

Un nombre rationnel est donc dans l'un des deux sous-ensembles $\mathbb Q_-$ ou $\mathbb Q_+$. 

Remarques.

(1) Le seul nombre entier relatif positif et négatif est $0$. 

(2) D'après la propriété 7, si $x$ est positif, alors $-x=(-1)\times x$ est négatif, et si $x$ est négatif, alors $-x$ est positif. En effet multiplier par $-1$ change uniquement le signe du numérateur (ou bien du dénominateur...).

On notera $x\leq y$ si $x-y\in\mathbb Q_-$ ou de manière équivalente si $y-x\in\mathbb Q_+$. 

On dira alors que $x$ est inférieur (ou égal) à $y$. On ne mentionne pas nécessairement "ou égal". 

Si $x\leq y$ avec $x\neq y$, c'est-à-dire $x-y\neq 0$, alors on dira que $x$ est strictement inférieur à $y$ et on notera $x<y$.

On note $y\geq x$ si $x\leq y$ et on dit dans ce cas que $y$ est supérieur (ou égal) à $x$. 

On note $y> x$ si $x< y$ et on dit dans ce cas que $y$ est strictement  supérieur à $x$.

Propriété 10. 

Si $x,y\in \mathbb Q_+$, alors $x+y\in \mathbb Q_+$.

Preuve. 

Quitte à multiplier le numérateur et le dénominateur de $x$ par $-1$, on peut écrire $x=\frac ab$ avec $a,b$ positifs. De même on peut écrire $y=\frac m n$, avec $m,n$ positifs.

Ainsi $x+y=\frac{an+mb}{bn}$ a un numérateur $an+mb$

 positif et un dénominateur positif (d'après la définition du produit dans $\mathbb Z$).

$\leq$ est une relation d'ordre totale sur $\mathbb Q$

Propriété 11.

La relation $\leq $ possède les qualités suivantes :

(1) Réflexivité : pour tout rationnel $x$, on a $x\leq x$.

(2) Transitivité : si $x\leq y$ et $y\leq z$, alors $x\leq z$

(3) Antisymétrie : si $x\leq y$ et $y\leq x$, alors $x=y$

(4) Totalité : pour tout couple de rationnels $(x,y)$, on a $x\leq y$ ou $y\leq x$.

Preuve.

(1) $x-x=0$ est positif.

(2) $x-z=(x-y)+(y-z)$ en utilisant les propriétés d'associativité de l'addition. Comme $x-y$ et $y-z$ sont positifs, la propriété 10 nous permet de conclure.

(3) Si $y-x$ est positif, son opposé $-(y-x)=x-y$ est positif. Le seul nombre rationnel à la fois positif et négatif étant $0$, on en déduit que $y-x=0$ puis que $y=x$.

(4) $x-y$ est un élément de $\mathbb Q_-$ ou de $\mathbb Q_+$.

Propriété 12. 

Dans $\mathbb Q$, on a : 

(1) $x\leq y \Longrightarrow x+z \leq y+z$

(2.a) si $t\geq 0$, alors  $x\leq y \Longrightarrow tx \leq ty$

(2.b) si $t\leq 0$, alors  $x\leq y \Longrightarrow tx \geq ty$

Preuve.

(1) En utilisant l'associativité et la commutativité de l'addition, on a $y+z-(x+z)=y-x\geq 0$ d'où $x+z\leq y+z$.

(2.a) On note $t=\frac u v$, $x=\frac a b$ et $y=\frac m n$. Supposons $x\leq y$, c'est-à-dire $\frac{an-bm}{bn}\geq 0$. On a $tx-ty=\frac{u(an-bm)}{v(bn)}$. Comme $u$ et $v$ sont de même signe, le signe de cette dernière fraction est le même que celui de $\frac{an-bm}{bn}$, c'est-à-dire positif.

(2.b) Avec des notations identiques, ici comme $u$ et $v$ sont de signes opposés, le signe de $\frac{an-bm}{bn}$ devient négatif.

Propriété 13. ($\mathbb Q$ est archimédien)

Pour tous rationnels $x,y$ tels que $0<x<y$, il existe $k\in \mathbb Z$ tel que $kx>y$.

Démonstration.

On note $x=\frac a b$, et $y=\frac m n$ avec $a,b,m,n$ entiers relatifs non nuls. Quitte à multiplier ces entiers par $(-1)$, on peut supposer qu'ils sont tous strictement positifs.

On a $x=\frac{an}{bn}$ et $y=\frac{bm}{bn}$. Soit $k$ un entiers strictement positif. 

On a $kx>y$ si $\frac{kan-bm}{bn}>0$. Comme $bn>0$, il suffit pour cela que $kan>bm$. 

Notons $q$ le quotient de la division euclidienne de $bm$ par $an$, et $r$ son reste. On a $bm=qan+r$ avec $0\leq r<an$. 

Prenons maintenant $k=q+1$. Alors $kan=(q+1)an=qan+an>qan+r=bm$.

On dit que $(\mathbb Q,+,\times,\leq)$$ est un corps archimédien.

Propriété 14. 

Pour tous $x$ et $y$ dans $\mathbb Q$, tels que $x<y$, il existe $z\in Q$ tel que $x<z<y$.

Preuve. 

Tout d'abord $x<y$ implique $\frac 1 2 x < \frac 1 2 y$ car $\frac 1 2>0$.

Prenons $z=\frac 1 2 (x+y)=\frac 1 2 x + \frac 1 2y$. 

On a 

$$x=\frac{x}{2}+\frac x 2<\frac{x}{2}+\frac y 2<\frac y 2 + \frac y 2 =y$$

Et ensuite

Dans les articles suivants j'aimerais, à partir de $\mathbb Q$ construire l'ensemble $\mathbb R$ des nombres réels. 

Sous-ensembles de $\mathbb N$. Dénombrabilité de $\mathbb Q$.

 Cet article fait suite à :

• Ensemble fini.
• Ensemble dénombrable. Produit fini d'ensembles dénombrables. $\mathbb Z $ et $\mathbb N\times \mathbb N$ sont dénombrables.

Pour la contruction de $\mathbb Q$, on pourra se reporter à cet article.

Nous verrons plus bas quelques propriétés : 

• l'image de $\mathbb N$ par une injection est un ensemble dénombrable
• les sous-ensembles de $\mathbb N$ sont soit finis soit dénombrables

Image de $\mathbb N$ par une injection

Propriété A. S'il existe une injection $\mathbb N \longrightarrow E$, alors $E$ n'est pas un ensemble fini. 

Démonstration. Supposons qu'il existe un $n$ entier tel qu'il existe une bijection $\varphi:E_n \longrightarrow E$. Notons $\alpha:\mathbb N \longrightarrow E$ une injection. 

Alors $\varphi^{-1}\circ \alpha : \mathbb N \longrightarrow N_n$ est une injection. Par injectivité de $\beta=\varphi^{-1}\circ \alpha$,  $\beta(1),\ldots,\beta(n),\beta(n+1)$ sont des éléments de $\mathbb N_n$. D'après le principe des tiroirs, au moins deux de ses éléments sont égaux contredisant l'injectivité de $\beta$.

Il est donc impossible que $E$ soit un ensemble fini.

Propriété B. Soit $f:E\longrightarrow F$ une fonction injective. Alors la fonction $\tilde f:E \longrightarrow f(E)$ définie pour tout $x\in E$ par $\tilde{f}(x)=f(x)$, est une bijection.

Démonstration. Clairement $\tilde f$ est injective. 

Pour la surjectivité, soit $y\in f(E)$. Il existe par définition de $f(E)$ un élément $x\in E$ tel que $f(x)=y$. 

Lemme C1. Si $F$ n'est pas de cardinal fini, et si $x_1,\ldots,x_r$ sont $r$ éléments de $F$, alors l'ensemble 

$$F'=F\setminus\left\{x_1,\ldots,x_r \right\}$$

n'est pas vide et n'est pas de cardinal fini.

Démonstration. On fait une récurrence sur $r$. 

Initialisation. Si $r=1$, $F'=F\setminus\left\{x_1\right\}$. $F'$ n'est pas vide car sinon $F$ serait de cardinal 1. Si $F'$ était de cardinal fini, on aurait $F'=\left\{a_1,\ldots,a_t \right\}$ et $F=\left\{a_1,\ldots,a_t \right\}\cup \left\{x_1\right\}$ contiendrait exactement $t+1$ éléments contredisant le fait que $F$ est fini.

Hérédité. Supposons que si $x_1,\ldots,x_k$ sont $k$ éléments de $F$, alors l'ensemble 

$$F'=F\setminus\left\{x_1,\ldots,x_k \right\}$$

n'est pas vide et n'est pas de cardinal fini.

Soit $x_{k+1}$ un autre élément de $F$. Comme $F'$ est infini, d'après le cas $r=1$, on en déduit que $F''=F'\setminus\left\{x_{k+1} \right\}=F\setminus\left\{x_1,\ldots,x_k,x_{k+1} \right\}$ n'est pas de cardinal fini.

Conclusion. Le lemme est démontré.

Lemme C2. Si une suite d'entier naturel $(n_k)$ est strictement croissante, alors, elle n'est pas majorée.

Preuve. Soit $A$ un nombre réel. Soit $N_A$, le premier entier supérieur ou égal à $A$. 

On montre à l'aide d'une récurrence que $n_{N_A}\geq n_0+N_A\geq N_A \geq A$. Ainsi, $(n_k)$ n'est pas majorée.

Propriété C. Soit $F\subset \mathbb N$ un sous-ensemble qui n'est pas de cardinal fini. 

Alors $F$ est dénombrable.

Autrement dit, un sous-ensemble de $\mathbb N$ est soit fini soit dénombrable. On dit qu'il est au plus dénombrable.

Démonstration. On va construire une fonction bijective $\varphi:F\longrightarrow \mathbb N$.

On note $F_0=F$ et $n_0=\min F_0$ le plus petit élément de $F_0$. 

On pose et $F_1=F\setminus\left\{n_0 \right\}$ et $n_1=\min F_1$. Il n'y a pas de problème car d'après le lemme, $F_1$ n'est pas vide. On a $n_0<n_1$. De plus il n'y a aucun élément de $F$ entre $n_0$ et $n_1$, par minimalité de $n_1$. 

Supposons qu'à l'étape $k$ on a $n_0<n_1<\ldots<n_k$, $k+1$ éléments tels qu'il n'existe aucun élément de $F$ entre deux $n_i$ consécutifs. D'après le lemme $F_{k+1}=F\setminus\left\{n_0,n_1,\ldots,n_k,n_{k+1} \right\}$ est non-vide ; il possède donc un plus petit élément $n_{k+1}$. Par minimalité de $n_k$, $n_k<n_{k+1}$ et par minimalité de $n_{k+1}$, il n'existe pas non-plus d'élément de $F$ entre $n_k$ et $n_{k+1}$.

Par récurrence, on construit donc une suite d'éléments $(n_i)$ de $F$, tels que :

$$n_0<n_1<\ldots<n_k <n_{k+1}<\ldots $$

pour laquelle pour tout entier $k$ il n'y a jamais d'élément de $F$ entre deux $n_k$ et $n_{k+1}$. 

Pour tout $k$, on pose $\varphi(k)=n_k$.

La fonction $\varphi$ est injective car la suite $(n_k)$ est strictement croissante. 

La fonction $\varphi$ est surjective. Soit en effet, $y\in F \mathbb N$. La suite $(n_k)$ n'est pas majorée. En effet, elle répond aux conditions du lemme C2. Donc il existe $n_s$ tel que $n_s\geq y$. Soit $n_r$ le plus petit élément de $(n_k)$ supérieur ou égal à $y$. Par construction de la suite $(n_k)$, $y$ n'est pas compris entre $n_r$ et $n_{r+1}$, donc $y=n_r$. Ainsi $y=\varphi(r)$.   

Propriété D. S'il existe une injection $E \longrightarrow \mathbb N$ est que $E$ n'est pas fini, alors $E$ est dénombrable.

Si $F'\subset F$ avec $F'$ de cardinal non-fini et $F$ dénombrable, alors $F'$ est dénombrable.

Démonstration. Soit $j:E\longrightarrow \mathbb N $ une injection. Alors d'après la propriété B, $\tilde j : E \longrightarrow j(E)$ définit une bijection. $E$ n'étant pas fini, $j(E)$ n'est pas fini. D'après la propriété C, $j(E)$ est donc dénombrable. 

Soit $\psi:\mathbb N \longrightarrow j(E)$ une bijection. Alors $j^{-1}\circ \psi$ établit une bijection entre $\mathbb N$ et $E$. $E$ est donc dénombrable. 

Soit $j:F'\longrightarrow F$ l'inclusion naturelle donnée par $j(x)=x$. C'est une fonction injective. Soit $\varphi:\mathbb N\longrightarrow F$ une bijection. Alors $\varphi^{-1}\circ j : F' \longrightarrow \mathbb N$ est injective comme composée de deux fonctions bijective. On en déduit que $F'$ est dénombrable.

Dénombrabilité de $\mathbb Q$

Propriété. $\mathbb Q$ est dénombrable.

Remarque. Pour la construction de $\mathbb Q$, on pourra se reporter à cet article.

Démonstration. 

On pourra se référer à l'article $\mathbb Z$, produit cartésien d'ensembles dénombrables.

Puisque $\mathbb Z^{\star}\subset \mathbb Z$ et que $\mathbb Z$ est dénombrable, $\mathbb Z^\star$ est dénombrable. (Ainsi $\mathbb Z \times \mathbb Z^\star$ est dénombrable.) 

Soit $E \subset \mathbb Z \times \mathbb Z^\star$ l'ensemble des couples $(a,b)$ tels que $b$ est strictement positif et $a\neq 0$ et $b$ sont premiers entre eux. 

Soit $\varphi : E \longrightarrow Q^\star $ définie par $\varphi(a,b)=\frac a b$. Alors $\varphi$ est surjective car tout rationnel non-nul peut s'écrire sous la forme $\frac a b$ avec $a,b$

premiers entre eux et $b$ strictement positif : c'est la forme irréductible.  $\varphi$ est injective car la forme irréductible avec le dénominateur strictement positif est unique. 

Donc $E$ est en bijection avec $\mathbb Q^\star$. Si on ajoute $(0,0)$ à $E$, et qu'on définit $\varphi(0,0)=0$, on obtient une bijection entre $E'=E\cup\left\{(0,0)\right\}$ et $\mathbb Q$. $\mathbb Q$ contient $\mathbb Z$ donc $\mathbb Q$ n'est pas de cardinal fini, a fortiori $E'$ n'est pas de cardinal fini. Puisque $E'\subset \mathbb Z \times \mathbb Z$, $j:E'\longrightarrow \mathbb Z \times \mathbb Z$ définie par $j(x)=x$ est injective. On en déduit que $E'$ est dénombrable. Ainsi $\mathbb Q$ est dénombrable.

A suivre

Dans de prochains articles, on pourra s'intéresser :

• A la réunion d'ensembles dénombrables
• A des exembles d'ensembles non-dénombrables

$\mathbb Q (0)$. Relation d'équivalence sur un ensemble. L'ensemble $\mathbb Q$

Relation d'équivalence sur un ensemble

Soit $E$ un ensemble. 

Etant donnée un sous-ensemble $\mathcal G$ de $E\times E$, on définit la relation $\sim_{\mathcal G}$ (que l'on notera simplement $\sim$) par : 

$$x \sim y \Longleftrightarrow (x,y)\in \mathcal G $$

Ainsi nous dirons que $x$ et $y$ sont en relation suivant $\sim$ lorsque le couple $(x,y)$ est un élément de l'ensemble $\mathcal G$.

Exemple 1. Soit $\sim$ la relation sur $\mathbb Z$ définie par 

$$x\sim y \Longleftrightarrow \exists k\in \mathbb Z, x-y=2k$$

Cela signifie que $x$ est en relation avec $y$ suivant $\sim$ si $x-y$ est pair. Autrement dit, en notant 

$$\mathcal G=\left\{(x,x+2k)\ |\ k\in\mathbb Z \right\} $$

on retrouve bien la définition donnée plus haut.

Exemple 2. Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=x^2$. Prenons pour $\mathcal G$, le graphe de $f$ : 

$$\mathcal G=\left\{(x,y)\in \mathbb R\times \mathbb R\ |\ y=f(x)=x^2  \right\}$$

Ainsi, nous avons par exemple, $2\sim 4$ car $f(2)=4$. Mais nous n'avons pas $4\sim 2$ car $4^2\neq 2$.

Définition. Nous dirons qu'une relation $\sim$ définie sur un ensemble $E$ est une relation d'équivalence si les points suivants sont vérifiés :

(1) Réflexivité : $\forall x\in E$, $x\sim x $

(2) Symétrie : $\forall x,y \in E$, $x\sim y \Longrightarrow y \sim x$

(3) Transitivité : $\forall x,y,z \in E$, 

$$\left. \begin{array}{c} x\sim y \\ \textrm{et}\\ y\sim z \end{array} \right\} \Longrightarrow x\sim z $$

Exemple 3. On vérifie sans difficulté que la relation d'égalité $=$ définie sur $\mathbb Z$ est une relation d'équivalence.

En revanche, la relation $\leq$ définie sur $\mathbb Z$ n'est pas une relation d'équivalence car $0\leq 4$, mais $4\leq 0$. Cependant, on a quand même ici la transitivité car $x\leq y$ et $y\leq z$ implique toujours $x\leq z$.

Exemple 1 (suite). En reprenant l'exemple 1, on a une relation d'équivalence sur $\mathbb Z$ : 

(1) Réflexivité. Clairement pour tout $x\in \mathbb Z$, $x\sim x$ ($k=0$)

(2) Symétrie. $x\sim y$ implique $x-y=2k$ avec $k\in \mathbb Z$, ainsi $y-x=-2k$ donc $y \sim x$. 

(3) Transitivité. $x\sim y$ et $y\sim z$ immpliquent $x=y+2k$ et $y=z+2k'$, avec $k,k'\in\mathbb Z$. On en déduit que $x=z+2(k+k')$ avec $k+k'\in\mathbb Z$. Autrement dit, $x\sim z$.

Exemple 2 (suite). On n'a pas de relation d'équivalence car il n'y a pas de symétrie (ni de réflexivité, ni de transitivité d'ailleurs).

Classes d'équivalence

Etant donnée un ensemble $E$ muni d'une relation d'équivalence $\sim$, nous appelons pour chaque $x$ dans $E$ la classe d'équivalence de $x$ l'ensemble des $y\in E$ tels que $x\sim y$. 

Nous noterons $[x]$ la classe d'équivalence de $x$. Autrement dit, 

$$[x]=\left\{y\in E\ | \ x\sim y  \right\} $$

Propriété 1. Les classes d'équivalence de $E$ sont disjointes et leur réunion est $E$. 

On dit dans ce cas que les classes d'équivalence de $E$ forment une partition de $E$. 

Autrement dit si $[x]$ et $[y]$ sont deux classes d'équivalences, elles sont confondues ou d'intersection vide.

Démonstration. 

(1) Supposons que $z\in [x]\cap [y]$. Il faut montrer que $[x]=[y]$. On utilise la transitivité de $\sim$ à plusieurs reprises. 

Soit $t\in[x]$, alors $t\sim x$ et comme $x\sim z$, $t\sim z$. Or $z\sim y$ donc $t\sim y$ et $t\in[y]$. Tout élément de $[x]$ est donc dans $[y]$. 

De la même manière tout élément de $[y]$ est dans $[x]$. 

On en déduit que $[x]=[y]$

(2) Clairement tout $x\in E$ est un élément de $[x]$ par réflexivité.

Exemple 1 (suite). L'ensemble des classes d'équivalence de l'ensemble $\mathbb Z$ pour la relaion $\sim$ définie par $x\sim y \Longleftrightarrow \exists k\in\mathbb Z, x-y=2k$ est l'ensemble  

$$\left\{[0],[1] \right\} $$

$[0]$ est l'ensemble des entiers pairs et $[1]$ est l'ensemble des entiers impairs.

L'ensemble $\mathbb Q$

Partons de la connaissance de l'ensemble des entiers relatifs $\mathbb Z$.

On note $\mathbb Z^\star$ l'ensemble des entiers relatifs non-nuls. 

On note $E=\mathbb Z \times \mathbb Z^\star$. 

L'ensemble $E$ est composé des couples d'éléments $(a,b)$ d'entiers relatifs avec $b\neq 0$.

Sur $E$, nous allons définir une relation $\sim$ par la règle suivante :

$$(a,b) \sim (a',b') \Longleftrightarrow ab'=a'b $$

Nous allons montrer que $\sim$ est une relation d'équivalence. L'ensemble $\mathbb Q $ sera ensuite défini comme l'ensemble des classes d'équivalence  de $E$ pour la relation $\sim$. 

Preuve. 

(1) Tout d'abord $(a,b)\sim (a,b)$ car $ab=ab$.

(2) Si $(a,b)\sim (a',b')$, alors $ab'=a'b$ et donc $a'b=ab'$ nous donnant $(a',b')\sim (a,b)$. 

(3) Supposons que $(a_1,b_1)\sim (a_2,b_2)$ et que $(a_2,b_2)\sim(a_3,b_3)$. 

Alors $a_1b_2=a_2b_1$ et $a_2b_3=a_3b_2 $. 

On a alors $a_1b_2b_3=a_2b_1b_3=a_3b_2b_1$. Comme $b_2\neq 0$, on en déduit que $a_1b_3=a_3b_1$ ce qui donne $(a_1,b_1)\sim(a_3,b_3)$. 

Notation. La classe d'équivalence d'un élément $(a,b)$ de $E$ pour la relation $\sim $ définie plus haut est notée 

$$\frac{a}{b}=\left\{(c,d)\in \mathbb Z \times \mathbb Z^\star\ | \ ad=cb \right\} $$

D'après la propriété 1, on a donc 

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d} \Longleftrightarrow ad=cb $$

On note $\mathbb Q$ l'ensemble des classes d'équivalence de $E$ pour $\sim$. C'est l'ensemble des nombres rationnels.

Opérations sur $\mathbb Q $, $\mathbb Z \subset Q$

Propriété 2. $\mathbb Z$ s'identifie à un sous-ensemble de $\mathbb Q$. Autremenent dit, il existe une fonction injective $\mathbb Z \longrightarrow \mathbb Q$.

Plus précisément, $\mathbb Z \longrightarrow \mathbb Q$ est donnée par $x\mapsto \frac x 1$.

Démonstration. $\frac x 1=\frac y 1 \Longrightarrow x\times 1= 1\times y \Longrightarrow x= y $. Donc la fonction définie plus haut est bien injective.

La fonction $j:x \longmapsto \frac x 1$ est appelée l'injection naturelle de $\mathbb Z $ dans $\mathbb Q$.

On identifie alors sans problème l'ensemble $\mathbb Z$ avec son image $j\left(\mathbb Z\right)$ par la notation $$x=\frac x 1 $$

Les élément de $\mathbb Q$ qui sont dans $\mathbb Z$ sont donc les éléments $\frac a b$ qui sont équivalent pour $\sim$ à un élement de la forme $\frac x 1$.

Définissons maintenant une addition et une multiplication sur $\mathbb Q $ par les règles suivantes : 

(1) Addition : 

$$\frac a b + \frac c d = \frac{ad+bc}{bd}$$

(2) Multiplication : 

$$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a\times b}{c\times d} $$

Propriété 3. On a pour tous $x,y\in \mathbb Z$, $j(x+y)=j(x)+j(y)$ et $j(x\times y)=j(x)\times j(y)$.

L'addition et la multiplication définies sur $\mathbb Q$ sont donc des extensions de l'addition et de la multiplication de $\mathbb Z$. 

Démonstration de la propriété 3.

(1) $j(x+y)=\frac{x+y}{1}=\frac{x\times 1 + y\times 1}{y}=\frac x 1 + \frac y 1 = j(x)+j(y)$

(2) $j(x\times y)=\frac{x\times y} 1 = \frac{x\times y}{1\times 1}=\frac x 1 \times \frac y 1 = j(x)\times j(y)$

Remarque. 

(1) On voit facilement que l'addition et la multiplication ainsi définies sur $\mathbb Q$ sont commutatives.

(2) Le nombre $0=\frac 0 1$ de $\mathbb Q$ est un élément neutre pour l'addition : $\forall \frac a b \in\mathbb Q,\ \frac a b + 0 = 0+\frac a b=\frac a b $.

(3) Le nombre $1=\frac 1 1$ de $\mathbb Q$ est un élément neutre pour la multiplication : $\forall \frac a b \in \mathbb Q,\ \frac a b \times 1 = 1 \times \frac a b =\frac a b$.

Propriété 4. 

(4.1) Tout élément de $\mathbb Q $ possède un inverse pour l'addition (un opposé) : 

$$\forall \frac a b \in \mathbb Q,\ \exists x\in \mathbb Q, \frac a b + x=0$$ 

En effet, $x=\frac{-a}{b}$ convient. 

(4.2) Tout élément non-nul de $\mathbb Q $ possède un inverse pour la multiplication  : 

$\forall \frac a b \in \mathbb Q^\star,\ \exists x\in \mathbb Q, \frac a b \times x=1$. 

En effet, $x=\frac{b}{a}$ convient. 

Propriété 5. 

Pour tout $\frac a b,\frac c d\in\mathbb Q$, on a $\frac a b + \frac c d = \frac c d + \frac a b$ et $\frac a b \times \frac c d = \frac c d \times \frac a b$. 

La démonstration est laissée au lecteur.

On dit que l'addition et la multiplication sont des opérations commutatives. 

Généralement, on omet le signe $\times$ pour les multiplications  : $\frac a b \frac c d =\frac a b \times \frac c d$.

Propriété 6. 

(6.1.a) Associativité de l'addition.  Pour tout $\frac a b,\frac {r}{s},\frac{p}{q}\in\mathbb Q$, on a

$$\left( \frac a b + \frac r s\right) + \frac p q = \frac a b + \left( \frac r s + \frac p q\right) $$

(6.1.b) Associativité de la multiplication.  Pour tout $\frac a b,\frac {r}{s},\frac{p}{q}\in\mathbb Q$, on a

$$\left( \frac a b  \frac r s\right)  \frac p q = \frac a b  \left( \frac r s  \frac p q\right) $$

(6.2) Distributivité de la multiplication par rapport à l'addition. Pour tout $\frac a b,\frac {r}{s},\frac{p}{q}\in\mathbb Q$, on a

$$\frac a b \left(\frac r s + \frac p q \right)=\frac a b \frac r s + \frac a b \frac p q $$

Ces propriétés se démontrent facilement en utilisant les définitions et les propriétés des nombres entiers relatifs. 

Remarques.

(1) On écrira  $\frac a b + \frac r s +\frac p q  $ pour désigner de manière indifférente $\left(\frac a b +\frac  pq\right) + \frac r s$ ou $\frac a b + \left( \frac p q + \frac r s\right) $

(2) On écrira  $\frac a b  \frac r s \frac p q  $ pour désigner de manière indifférente $\left(\frac a b \frac  pq\right)  \frac r s$ ou $\frac a b \left( \frac p q  \frac r s\right) $

Ensuite

Les propriétés précédentes pour l'addition font de l'ensemble $\mathbb Q$ un groupe pour l'addition. Voir l'article [Groupes (0)].

Les propriétés précédentes pour la multiplication font de l'ensemble $\mathbb Q^\star$ un groupe pour la multiplication. Voir l'article [Groupes (0)].

Muni de l'addition et de la multiplication, l'ensemble $\mathbb Q$ est un anneau et même un corps. J'en parlerai dans un prochain article.