Suites du type $u_{n+1}=au_n+b(n)$ (2) - cas où $b$ est polynomiale

Nous avons vu dans [Suites du type $u_{n+1}=au_n+b(n)$ (1)], un exemple de résolution d'une équations aux différences du type 

Nous avons donc

$$(E)\ \ \forall n \in \mathbb N\ : \ u_{n+1}-au_n=b(n)$$

dans le cas où $b(n)$ est une suite polynomiale.

Pour cela, nous avons exhiber une solution particulière de $(E)$, puis nous lui avons ajouter les solutions de  l'équation homogène

$$(E_h)\ \ \forall n \in \mathbb N\ : \ u_{n+1}-au_n=0$$

Cela nous a permis de trouver toutes les solutions de l'équation non-homogène $(E)$. 

Nous avons vu qu''il s'agit en fait d'une méthode générale : les solutions de l'équation homogène s'ontiennent en ajoutant à une solution particulière de cette équation toutes les solutions de l'équation homogène.

Dans cet article, nous verrons que dans le cas où $b(n)$ est une suite polynomiale et lorsque $a\neq 1$, il existe une unique solution polynômiale dont le degré de dépasse pas celui de $b$. 

Nous verrons aussi une méthode systématique de trouver une telle solution particulière, du moins à l'aide d'un logiciel de calcul formel pour avoir une solution explicite.

Etude du cas général

On notera $(E)$ l'équation : 

$$\forall n\in\mathbb N \  \ : \ \ u_{n+1}=au_n+b(n)$$

où $b(n)$ est un polynôme de degré $k$ pour un certain entier naturel $k$.

Nous avons donc

$$(E)\ \ \forall n \in \mathbb N\ : \ u_{n+1}=au_n+a_0+a_1n+\ldots+a_kn^k$$

Cherchons une solution particulière $s$ sous la forme d'un polynôme de degré $k$. 

Nous avons donc

$$s_{n+1}=as_n+a_0+a_1n+\ldots+a_kn^k$$

Si $s$ est une telle solution, on a nécessairement, pour tout $n\in\mathbb N$, 

$$s_{n+1}=as_n+a_0+a_1n+\ldots+a_kn^k$$

Notons 

$$s_n=b_0+b_1 n + \ldots + b_k n^k$$

On a $$s_{n+1}=b_0+b_1(n+1)+\ldots+b_{k}(n+1)^{k}$$  

d'où pour tout $n\in\mathbb N$, 

$$b_0+b_1(n+1)+\ldots+b_{k}(n+1)^{k}=a\left(b_0+b_1 n + \ldots + b_k n^k \right)+a_0+a_1n+\ldots+a_kn^k$$

Ainsi 

$$b_0+b_1(n+1)+\ldots+b_k(n+1)^k=(ab_0+a_0)+(ab_1+a_1)n+\ldots+(ab_k+a_k)n^k$$

Si l'on exprime le membre de gauche et le membre de droite comme des polynômes, on aura l'égalité en identifiant les coefficients.

Dans le membre de gauche, pour tout $j$, avec $1\leq j \leq k$, on a 

$$(n+1)^j=\binom{j}{0} +\binom{j}{1}n + \ldots +\binom{j}{j}n^j=\sum_{0 \leq m \leq j} \binom{j}{m} n^m =\sum_{0 \leq m \leq j} \binom{j}{m} n^m$$

Donc 

$$b_j(n+1)^j=b_j\left(\binom{j}{0} +\binom{j}{1}n + \ldots +\binom{j}{j}n^j\right) =b_j\sum_{0 \leq m \leq j} \binom{j}{m} n^m$$

En réordonnant les termes selon les puissances de $n$, on obtient

$$b_0+b_1(n+1)+\ldots+b_k(n+1)^k =(b_0+\ldots+b_k)+\left(b_1\binom{1}{1}+\ldots+b_k\binom{k}{1}\right)n + \ldots +\left(b_k\binom k k \right)n^k$$

Donc si on note $c_t$ le coefficient de $n^t$, on a 

$$b_0+b_1(n+1)+\ldots+b_k(n+1)^k =c_0+c_1n+\ldots c_tn^k=\sum_{t_0}^k c_t n^t$$

avec pour tout $t$, tel que $1\leq t \leq k$, 

$$c_t=\sum_{i=t}^{k} b_i \binom{i}{t}$$

Par identification des coefficients, pour tout $t$, tel que $0\leq t \leq k$,

$$\sum_{i=t}^{k} b_i \binom{i}{t} = ab_t+a_t$$

ou encore 

$$\sum_{i=t}^{k} b_i \binom{i}{t} - ab_t=a_t$$

Sous forme matricielle, cela donne 

$$MB-DB=A$$

où 

$$M=\left( \begin{array}{ccccc} \dbinom{0}{0} &  \dbinom{1}{0} & \ldots & \dbinom{k-1}{0} &  \dbinom{k}{0} \\ 0 &  \dbinom{1}{1} & \ldots & \dbinom{k-1}{1} &  \dbinom{k}{1} \\  &    &   \ddots     &   & \vdots \\ 0 & 0&  \ldots & \dbinom{k-1}{k-1} &  \dbinom{k-1}{k} \\  0 & 0&  \ldots & 0 &  \dbinom{k}{k} \\ \end{array}\right)$$  

  

$$D=\left( \begin{array}{ccccc} a & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & a & \ldots & 0 & 0\\  &    &   \ddots     &   & \\ 0 & 0& \ldots & a & 0 \\ 0 & 0 & \ldots & 0 & a \\ \end{array}\right)=a\textrm{Id}$$  

  $$A=\left(\begin{array}{c} a_0 \\ a_1 \\ \vdots \\ a_{k-1} \\ a_k \\ \end{array} \right)$$  

  $$B=\left(\begin{array}{c} b_0 \\ b_1 \\ \vdots \\ b_{k-1} \\ b_k \\ \end{array} \right)$$

Si on note $L=M-D$, l'équation devient 

$$LB=A$$

avec 

$$L=\left( \begin{array}{ccccc} \dbinom{0}{0}-a &  \dbinom{1}{0} & \ldots & \dbinom{k-1}{0} &  \dbinom{k}{0} \\ 0 &  \dbinom{1}{1}-a & \ldots & \dbinom{k-1}{1} &  \dbinom{k}{1} \\  &    &   \ddots     &   & \vdots \\ 0 & 0&  \ldots & \dbinom{k-1}{k-1}-a &  \dbinom{k-1}{k} \\  0 & 0&  \ldots & 0 &  \dbinom{k}{k}-a \\ \end{array}\right)$$

Cette équation possède une unique solution si $\det L\neq 0$ c'est-à-dire si 

$$\left(\dbinom 0 0 - a \right)\left(\dbinom 1 1 - a \right)\ldots \left(\binom {k-1}{k-1} - a \right)\left(\dbinom {k}{k} - a \right)\neq 0$$

Or commme pour tout $p$, $\binom p p=1$, on en déduit qu'il existe une unique suite polynômiale $s$ si et seulement si $a\neq 1$. 

Supposons $a\neq 1$. Dans ce cas, $L$ est inversible et 

$$B=L^{-1}A$$

Nous avons donc la propriété suivante

Propriété. Si $a\neq 1$.

Il existe une unique solution particulière de $(E)$ sous la forme $s_n=b_0+b_1n+\ldots+b_k n^k$.

La matrice $$L=\left( \begin{array}{ccccc} \dbinom{0}{0}-a &  \dbinom{1}{0} & \ldots & \dbinom{k-1}{0} &  \dbinom{k}{0} \\ 0 &  \dbinom{1}{1}-a & \ldots & \dbinom{k-1}{1} &  \dbinom{k}{1} \\  &    &   \ddots     &   & \vdots \\ 0 & 0&  \ldots & \dbinom{k-1}{k-1}-a &  \dbinom{k-1}{k} \\  0 & 0&  \ldots & 0 &  \dbinom{k}{k}-a \\ \end{array}\right)$$

est inversible et 

$$\left(\begin{array}{c} b_0 \\ b_1 \\ \vdots \\ b_{k-1} \\ b_k \\ \end{array}\right)=L^{-1}\left(\begin{array}{c} a_0 \\ a_1 \\ \vdots \\ a_{k-1} \\ a_k \\ \end{array} \right)$$

Un exemple

Résolvons l'équation aux différences 

$$(1) \ \ \ \ \ \forall n\in\mathbb N\ : \ u_{n+1}=2u_n+n^3-2n+1$$

On a 

$$L=\left( \begin{array}{cccc} \dbinom{0}{0}-2 &  \dbinom{1}{0} &  \dbinom{2}{0} &  \dbinom{3}{0} \\ 0 &  \dbinom{1}{1}-2  & \dbinom{2}{1} &  \dbinom{3}{1}  \\ 0 & 0 & \dbinom{2}{2}-2 &  \dbinom{3}{2} \\  0 & 0 & 0 &  \dbinom{3}{3}-2 \\ \end{array}\right) =\left( \begin{array}{cccc} -1 &  1 &  1 & 1 \\ 0 &  -1  & 2 &  3  \\ 0 & 0 & -1 &  3 \\  0 & 0 & 0 &  -1 \\ \end{array}\right)$$

D'où en utilisant par exemple Xcas pour inverser la matrice $L$, 

$$L^{-1}=\left( \begin{array}{cccc} -1 &  -1 & -3 & -13 \\ 0 &  -1  & -2 &  -9  \\ 0 & 0 & -1 &  -3 \\  0 & 0 & 0 &  -1 \\ \end{array}\right)$$

On a $B=\left( \begin{array}{cccc} -1 &  -1 & -4 & -23 \\ 0 &  -1  & -3 &  -18  \\ 0 & 0 & -1 &  -4 \\  0 & 0 & 0 &  -1 \\ \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \\ \end{array} \right)=\left(\begin{array}{c} -12 \\ -7 \\ -3  \\ -1 \\ \end{array} \right)$

Ainsi on a une solution particulière $s$ donnée par $s_n=-n^3-3n^2-7n-12$.

Maintenant l'équation homogène : 

$$u_{n+1}=2u_n$$

a pour solutions les suites $(w_n)$ géométrique de raison 2. On a donc $w_n=2^n\times c$ où $w_0=c$.

L'ensemble des solutions de $(1)$ est donc l'ensemble des suites $(u_n)$ telles que pour tout entier naturel $n$, 

$$u_n=2^n\times c-n^3-4n^2-16n-22$$

où $c\in\mathbb R$ est un réel quelconque.

Et ensuite

Par la suite, j'aimerai m'intéresser à d'autres type d'équations aux différences non homogènes : cas où $b(n)$ n'est pas une suite polynomiale.