Polynômes à coefficients réels : Degré, Racines, division par $X-a$

Cet article fait suite à :

• [P1] Polynômes à coefficients réels et fonctions polynomiales

Les notions abordées sont le degré, les racines et la division d'un polynôme par un polynôme de degré 1.

Degré d'un polynôme

Dans $\mathbb R[X]$, tout élément $P$ possède un degré.

Si $P$ n'est pas le polynôme nul, le degré de $P=a_0+a_1X+\ldots+a_nX^n$ est $n$. On note alors $\deg P=n$. 

Exemple 1. $\deg 1=0$

Exemple 2. $\deg X^7-2X=7$

Si $P$ est le polynôme nul, par convention, son degré est $-\infty$. 

On note $\deg 0=-\infty$.

En utilisant les définition de la somme et du produit dans $\mathbb R[X] $ (voir [P1]), on obtient facilement les propriétés suivantes.

Propriété 1. (Degré d'une somme). $\deg P+ \deg Q\leq \max(\deg P,\deg Q)$

Remarque. Si $\deg P \geq 1$, alors pour tout réel $c$, on a $\deg (P + c)=\deg P = \deg (P-c)$.

Propriété 2. (Degré d'un produit). $\deg(PQ)=\deg(P)+\deg(Q)$

Racine d'un polynôme. Division d'un polynôme par un polynôme de degré 1 : résultat explicite

Étant donnée la correspondance 

$$\varphi:\mathbb R[X] \longrightarrow \mathcal P_{\mathbb R}$$

établie dans [P1], pour tout polynôme $P\in\mathbb R [X]$, on note $p=\varphi(P)$ la fonction polynomiale correspondante.

Ainsi si $t\in\mathbb R$, nous dirons qu'évaluer $P$ en $t$, c'est donner le réel $p(t)$, qu'on notera indifféremment $P(t)$.

En d'autres termes, si 

$$(1) \ \ \ \ \ P=a_0+a_1X+\ldots+a_nX^n$$ 

alors $P(t)=a_0+a_1t+\ldots+a_nt^n$

Définition 1. Soit $P$ un polynôme non-nul. Un nombre $\alpha$ tel que $P(\alpha)=0$ est appelé une racine de $P$.

Si $P$ est un polynôme de degré inférieur ou égal à 0, alors $P=a_0$ avec $a_0\in\mathbb R$. Dans ce cas, si $a_0\neq 0$, $P$ n'a aucune racine.  

Propriété 1. 

Si $P$ est un polynôme non constant de la forme $(1)$, alors pour tout $a\in\mathbb R $, on a $P=(X-a)Q+c$, où $Q\in\mathbb R[X]$ est un polynôme de degré $n-1$ et où $c\in\mathbb R$. 

Le polynôme $Q$ et le réel $c$ sont uniquement déterminés par $P$ et $a$.

Démonstration. Si $Q$ et $c$ existent, il est nécessaire que $\deg P = \deg (P-c) = \deg(X-\alpha)+\deg Q $, on en déduit que $\deg(Q)=\deg(P)-1$. On cherche donc $Q$ sous la forme

$$Q = b_0+b_1X+\ldots+b_{n-1}X^{n-1} $$

On doit aussi avoir $P(a)=(a-a)Q(a)+c=c$. 

Ainsi

$$P=XQ-aQ+P(a)=b_0X+b_1X^2+\ldots+b_{n-1} X^{n}-ab_0-ab_1X-\ldots-ab_{n-1}X^{n-1}+P(a) $$

Autrement dit 

$$P=P(a)-ab_0+(b_0-ab_1)P+\ldots+(b_{n-2}-ab_{n-1})X^{n-1}+b_{n-1}X^n $$

Cherchons $b_0,\ldots,b_{n-1}$ tels que : 

$$\left\{\begin{array}{ccc} b_{n-1}&=&a_n \\ b_{n-2}-ab_{n-1}&=&a_{n-1} \\ \vdots & & \\ b_{n-i}-ab_{n-i+1}&=&a_{n-i+1}\\ \vdots & &  \\ b_0-ab_1&=&a_1 \\ P(a)-ab_0&=&a_0 \\ \end{array} \right. $$

Cela revient à 

$$\left\{\begin{array}{ccc} b_{n-1}&=&a_n \\ b_{n-2}&=&a_{n-1}+ab_{n-1} \\ b_{n-3}&=&a_{n-2}+ab_{n-2} \\ \vdots & & \\ b_{n-i}&=&a_{n-i+1}+ab_{n-i+1}\\ \vdots & &  \\ b_0&=&a_0+ab_1 \\ P(a)-ab_0&=&a_0 \\ \end{array} \right. $$

Puis (avec une récurrence) à 

$$\left\{\begin{array}{ccc} b_{n-1}&=&a_n \\ b_{n-2}&=&a_{n-1}+aa_n \\ b_{n-3}&=&a_{n-2}+aa_{n-1}+a^2a_n \\ \vdots & & \\ b_{n-i}&=&a_{n-i+1}+aa_{n-i+2}+\ldots+a^{i-1}a_n\\ \vdots & &  \\ b_0&=&a_1+ aa_2+\ldots + a^{n-1}a_n  \\ P(a)-ab_0&=&a_0 \\ \end{array} \right. $$

La dernière ligne de ce système équivaut à $P(a)=a_0+ab_0=a_0+aa_1+ a^2a_2+\ldots + a^{n}a_n$, donc le système est cohérent et n'admet qu'une seule solution : 

$$(2) \ \ \ \ \forall j=0,\ldots,n-1\ : \ b_{j}=a_{j+1}+a_{j+2}a+\ldots+a_na^{n-(j+1)}$$

En posant $Q(x)=b_0+b_1X+\ldots+b_{n-1} X^{n-1}$, où les valeurs de $b_0,b_1,\ldots,b_n $ sont celles décrites dans la résolution du système précédent, on a bien l'égalité $P=(X-a)Q+c$, avec $c=P(a)$.

Remarque 1. Si $P$ est une constante, la propriété reste vraie avec $Q=0$ le polynôme nul.

La démonstration de la propriété précédente donne une méthode générale pour trouver $Q=b_0+b_1X+\ldots+b_{n-1}X^{n-1}$ et $c$. Il n'est pas nécessaire d'utiliser la formule $(2)$, on peut se contenter de développer le produit $(X-a)(b_0+b_1X+\ldots+b_{n-1}X^{n-1})$ puis d'identifier les coefficients du polynôme obtenu avec les coefficients de $P$.

C'est la méthode d'identification des coefficients que l'on verra sous une forme plus générale dans la partie sur la division polynomiale.

Exemple 3. 

Notons $P=2X^2-5$ et $D=X+3$. Cherchons $Q$ et $c$ tels que $P=DQ+c$.

$Q$ est de la forme $Q=b_1X+b_0$.

$P=DQ+c\Longleftrightarrow 2X^2-5=(X+3)(b_1X+b_0)+c \Longleftrightarrow 2X^2-5=b_1X^2+(3b_1X+b_0X)+3b_0+c $.

En identifiant les coefficients de $P$ avec ceux du membre de droite, on obtient 

$$\left\{\begin{array}{ccc} 2&=&b_1 \\ 0&=&3b_{1}+b_0 \\ -5&=&3b_0+c \end{array} \right. \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} b_1&=&2 \\ 0&=&6+b_0 \\ -5-3b_0&=&c \end{array} \right. \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} b_1&=&2 \\ b_0&=&-6 \\ 13&=&c \end{array} \right. $$

Ainsi $Q=2X-6$ et $c=13$. On a $P=(X+3)(2X-6)+13$.

Propriété 2. Si $\alpha$ est une racine de $P$, polynôme non nul, alors il existe un polynôme $Q$  $P=(X-\alpha)Q$, avec $\deg Q=\deg (P) -1$. 

Démonstration.  D'après la propriété 1, on a $P=(x-\alpha)Q+c$, pour un réel $c$ et un polynôme $Q$ de degré $\deg P-1$.

Comme $0=P(\alpha)=(\alpha-\alpha)Q(\alpha)+c$, on en déduit que $c=0$ et que $P=(X-\alpha)X$.

Exemple 4. $P=X^3-2X-4$, avec $\alpha=2$.

On a bien $P(2)=2^3-2\times 2-4=0$. D'après la propriété 2, $P=(X-2)Q$ avec $Q=b_2X^2+b_1X+b_0$

Il est nécessaire que $(X-2)(b_2X^2+b_1X+b_0)=X^3-2X-4$, c'est à dire que 

$b_2X^3+(b_1-2b_2)X^2+(b_0-2b_1)X-2b_0=X^3-2X-4$.

On a on par identification des coefficients

$$\left\{\begin{array}{ccc} b_2&=&1 \\ b_1-2\times 1&=&0 \\ b_0-2b_1&=&-2 \\ -2b_0&=&-4 \end{array} \right. \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} b_2&=&1 \\ b_1&=&2 \\ b_0&=&2 \end{array} \right.$$

On en déduit que $Q=X^2+2X+2 $, ainsi $P=(X-2)(X^2+2X+2)$. 

Ensuite

Nous avons présenté ici la division polynomiale d'un polynôme $P$ par un polynôme de degré 1. La division euclidienne polynomiale est toujours possible, nous verrons comment l'effectuer dans un prochain article. 

Polynôme à coefficients réels et fonctions polynomiales

 Dans cet article, nous définirons les polynômes à coefficients réels ainsi que les fonctions polynomiales. La somme et le produit de fonctions polynomiales sont aussi des fonctions polynomiales dont on peut calculer les coefficients avec des formules. Ces formules nous permettrons de définir l'addition et la soustraction pour les polynomes.

Nous verrons que l'ensemble des fonctions polynômiales noté $\mathcal P_{\mathbb R}  $ (ou fonctions polynômes) à coefficients réels forme un anneau.  Ainsi la façon dont a été construit l'ensemble des polynômes $\mathbb R[X]$ muni de l'addition et de la soustraction transportera la structure  d'anneau de $\mathcal P_{\mathbb R}  $ sur $(\mathbb R[X],+,\times) $.

   

Polynomes et fonctions polynomes 

Définition 1. Toute expression de la forme 

$$P=a_0+a_1X+\ldots+a_n X^n $$

avec $a_0,a_1,\ldots,a_n$ réels et $a_n\neq 0$ est appelé un polynôme à coefficients réel. 

Les nombres $a_0,a_1,\ldots,a_n$ sont appelés les coefficients de $P$.

Le nombre $n$ est appelé le degré de $P$.

Aux polynôme définis précédemment s'ajoute le polynôme nul $P=0$ dont le degré est par convention $-\infty$.

L'ensemble des polynômes à coefficients réels est noté $\mathbb R[X]$.

Définition 2. Soit $n$ un entier naturel.  Si $p$ est une fonction définie $\mathbb R$, et s'il existe  des réels $a_0,a_1,\ldots,a_n$, avec $a_n$ non-nul, tels pour tout $x\in\mathbb R$ 

$$(\ast)\ \ \ \ \ p(x)=a_0+a_1x+\ldots+a_n x^n $$

on dit que $p$ est une fonction polynomiale ou une fonction polynôme non-nulle. 

Les réels $a_0,a_1,\ldots,a_n$ sont appelés les coefficients de la fonction polynôme $p$.

A ces fonctions, on ajoute la fonction $O$ identiquement nulle que l'on considère aussi comme une fonction polynomiale.

Remarque. Un polynôme est une expression algébrique, alors qu'une fonction polynôme est une fonction. 

L'ensemble des fonctions polynômiales à coefficients réels sera noté $\mathcal P_{\mathbb R} $. C'est une sous-anneau de l'anneau des fonctions $\mathbb R \longrightarrow \mathbb R $ (voir [A0] exemple 10).

Nous allons établir une correspondance entre $\mathbb R[X]$ et $\mathcal P_{\mathbb R} $. Pour cela, nous avons besoin de définir des opérations sur $\mathbb R[X]$ pour lui donner une structure d'anneau : une addition et une multiplication. On va naturellement utiliser les résultats d'additions et de multiplications des nombres réels, et donc des fonctions polynômes. 

Commençons par quelques observations sur les opérations entre fonctions polynômes.  

Somme et produit de fonctions polynômes

Dans cette partie, $p$ et $q$ désigneront des fonctions polynomiales à coefficients réelles données par 

$$p(x)=a_0+a_1x+\ldots+a_n x^n$$

et 

$$q(x)=b_0+b_1x+\ldots+b_mx^m  $$

Somme

On a pour tout réel $x$, 

$$p(x)+q(x)=(a_0+a_1x+\ldots+a_n x^n)+(b_0+b_1x+\ldots+b_mx^m) $$

Sans perte de généralité, supposons que $m\leq n$. Les propriétés algébriques des nombres réels (associativité de l'addition et distributivité de la multiplication sur l'addition) nous permettent d'écrire pour tout réel $x$,

$$p(x)+q(x)=(a_0+b_0) +(a_1+b_1)x+\ldots+(a_m+b_m)x^m+(a_{m+1})x^{m+1}+\ldots+a_nx^n  $$

On a donc une fonction polynomiale $p+q$ dont les coefficients sont $a_0+b_0$, $a_1+b_1$, $\ldots$, $a_m+b_m$,$a_{m+1}$, $\ldots$, $a_n$. 

(1) La fonction nulle $0$ est donc telle que $p+0=0+p=p$, c'est l'élément neutre de la multiplication, de plus les règles suivantes (2), (3), (4) sont vérifiées : 

(2) Existence de l'opposé (inverse pour l'addition). L'inverse pour l'addition de $p$ (c'est-à-dire son opposé) est $-p$ (remarquons au passage que $-p$ est une fonction polynôme que l'on peut écrire avec les coefficients $-a_0,-a_1,\ldots,-a_n$.

(3) Associativité. Si $f,g,h$ sont des fonctions polynomiales, on a $f+(g+h)=(f+g)+h$, comme pour toutes les fonctions. 

(4) Communativité. Si $f,g$ sont des fonctions polynomiales, on a $f+g=g+f$, comme pour toutes les fonctions.

L'ensemble des fonctions réelles polynomiales muni de l'addition des fonctions forme donc un groupe commutatif (on pourra voir [G0]). C'est en fait un sous-groupe du groupe des fonctions définies sur $\mathbb R$ à valeurs dans $\mathbb R$.

La soustraction $p-q$ se définit par $p-q=p+(-q)$.

Produit

On a 

$$p(x)q(x)=(a_0+a_1x+\ldots+a_n x^n)(b_0+b_1x+\ldots+b_mx^m)=a_0b_0+(a_1b_0+a_0b_1)x+\ldots+a_nb_mx^{n+m} $$

Preuve. 

En effet, en effectuant le produit $p(x)q(x)$, nous obtenons donc la somme de $(n+1)\times(m+1)$ termes de la forme $a_ib_jx^ix^j=a_ib_jx^{i+j}$, avec $0\leq i \leq n$ et  $0\leq j \leq m$. La valeur maximale de $i+j$ est $n+m$. L'expression du membre de droite est donc de la forme 

$$c_0+c_1x+c_2x^2+\ldots+c_{n+m}x^{n+m} $$

Pour tout entier $k$ tel que $0\leq k \leq n+m$, $c_k$ est la somme des produits $a_ib_j$ tels que $i+j=k$.

Comme pour toutes les fonctions, on a de plus les propriétés suivantes concernant le produit :

(1) Existence d'un élément neutre. L'élément neutre de la multiplication est la fonction polynomiale identiquement égale à 1 : $\mathbb 1(x)=1$.

(2) Associativité. Si $f,g,h$ sont des fonctions polynomiales, on a $f\times(g\times h)=(f\times g)\times h$, comme pour toutes les fonctions. 

          (C) Commutativité de la multiplication. Si $f,g$ sont des fonctions polynomiales, on a            $f\times g=g\times f$.

(3) Distributivité de la multiplication par rapport à l'addition. Si $f,g,h$ sont des fonctions polynomiales, on a $f\times(g +h)=f\times g+ f\times h$, comme pour toutes les fonctions. 

 

Comme c'est déjà un groupe commutatif, l'ensemble des fonctions réelles polynomiales muni de l'addition des fonctions forme donc un anneau. C'est en fait un sous-anneau de l'anneau des fonctions définies sur $\mathbb R$ à valeurs dans $\mathbb R$.

Structure d'anneau de $\mathbb R[X]$

Pour faire correspondre les polynômes et les fonctions polynomiales, la structure de $\mathbb R[X]$ doit posséder toutes les propriétés faisant de l'ensemble des fonctions polynomiales un anneau.

Dans cette partie, on note pour $P,Q\in\mathbb R[X]$  

$$P=a_0+a_1X+\ldots+a_n X^n $$

et 

$$Q = b_0+b_1X+\ldots+b_mX^m $$

Sans perte de généralité, on suppose $m\leq n$.

Ainsi, on définit l'addition et la multiplication en copiant les formules trouvées avec les fonctions polynomiales. 

On commence pour cela par définir le polynôme nul par $a_0=0$ et le polynôme "1" par $a_0=1$.

L'addition

$$P+Q=(a_0+b_0) +(a_1+b_1)X+\ldots+(a_m+b_m)X^m+(a_{m+1})X^{m+1}+\ldots+a_nX^n $$

et la multiplication 

$$PQ= c_0+c_1x+c_2x^2+\ldots+c_{n+m}x^{n+m}$$

où pour tout entier $k$ tel que $0\leq k \leq n+m$, $c_k$ est la somme des produits $a_ib_j$ tels que $i+j=k$.

De cette façon, on retrouve pour $\mathbb R[X] $ muni de l'addition et la multiplication toutes les règles énoncées pour les fonctions polynomiales. C'est un anneau par construction. 

Exemple 1. 

Soit $P=-X^2+3X+1$ et $Q=2X^4-5X$. 

On a $P+Q=-X^2-2X+1$ et $PQ=(-X^2+3X+1)(2X^4-5X)=-2X^6+6X^5-2X^4+5X^3-15X^2-5X$

Remarque 1. Multiplier un polynôme $P$ par le polynôme $-1$ donne $-P$, l'opposé de $P$.

Définition. Le coefficient $a_n$ est appelé le coefficient dominant du polynôme $P$. On note $\ell(P) $ le coefficient dominant de $P$.

De la définition du produit, on a la propriété suivante. 

Propriété 1. 

Si $P$, $Q$ sont deux polynômes, alors $\ell(PQ)=\ell(P)\ell(Q)$.

Preuve. En effet, il s'agit ici de $a_nb_m$.

Exemple 1 (suite). En reprenant l'exemple 1, on a $\ell(PQ)=-1$ 

On remarque aussi qu'on a le fait suivant :

Propriété 2. Avec les notations données en haut pour $P$ et $Q$, si $n>m$, alors $\ell(P+Q)=\ell(P)$.

Correspondance entre polynômes et fonctions polynomiales

Notons $\mathcal P_{\mathbb R}$ l'ensemble des fonctions polynomiales à coefficients réels définies sur $\mathbb R$.

On définit une fonction 

$$\varphi:\mathbb R[X] \longrightarrow \mathcal P_{\mathbb R}$$

par 

$$\varphi(a_0+a_1X+\ldots+a_nX^n)=p $$

où $p$ est la fonction définie par $p(x)=a_0+a_1x+\ldots+a_nx^n$.

Cette fonction est un morphisme d'anneaux unitaires (des anneaux qui possèdent un élément neutre pour la multiplication). Autrement dit, elle vérifie les propriétés suivantes :

1. $\varphi(1)$ est la fonction identiquement égale à $1$ de $\mathcal P_{\mathbb R}$, elle transforme l'élément neutre de la multiplication de $R[X]$ en l'élément neutre de la multiplication de $\mathcal P_{\mathbb R}$.
2. $\varphi$ transporte l'addition : pour tous $P,Q\in\mathbb R [X] $, $\varphi(P+Q)=\varphi(P)+\varphi(Q)$ 
3. $\varphi$ transporte la multiplication : pour tous $P,Q\in\mathbb R [X] $, $\varphi(PQ)=\varphi(P)\varphi(Q)$ 

Remarque. $\varphi(0)$ est la fonction identiquement nulle de $\mathcal P_{\mathbb R}$, elle transforme l'élément neutre de l'addition de $R[X]$ en l'élément neutre pour l'addition de $\mathcal P_{\mathbb R}$. C'est aussi une conséquence du point 3.

Et après 

Question. 

Pour une fonction polynomiale $p$ donnée pouvant s'écrire comme $(\ast)$, il existe clairement un polynôme $P=a_0+a_1X+\ldots+a_nX^n$ tel que $\varphi(P)=p$. Ce polynôme $P$ est-il unique ? Autrement dit, peut-on avoir plusieurs expressions polynomiales distinctes pour une même fonction ? 

Dire que deux polynômes $P=a_0+a_1X+\ldots+a_nX^n$ et $Q$ ayant la même image par $\varphi$ c'est dire que $\varphi(P)=\varphi(Q)$ ou encore que $\varphi(P)+(-\varphi(Q))=0$.

Comme $-\varphi(Q)=-1\varphi(Q)=\varphi(-1Q)=\varphi(-Q)$, cela équivaut à dire que $0=\varphi(P+(-Q))=\varphi(P-Q)$. Si $P\neq Q$, $P-Q\neq 0$.

Ainsi l'existence de plusieurs expressions polynomiales distinctes pour une même fonction implique l'existence d'un polynôme $R$ non-nul tel que $\varphi(R)=0$. En algèbre, cela s'exprime par le fait que le noyau de $\varphi$ soit non réduit à l'ensemble $\left\{0 \right\}$. 

Nous montrerons qu'il n'existe pas de tel polynôme non-nul et donc qu'une fonction polynomiale ne peut avoir qu'une seule écriture polynomiale de la forme $(\ast)$.  

Dans un prochain article, nous verrons quelques propriétés de $\mathbb R[X]$. Nous utiliserons le degré d'un polynôme et nous donnerons la définition de racine de polynôme.

Suites du type $u_{n+1}=au_n+b(n) $ (2) - cas où $b$ est polynomiale

Nous avons vu dans [Suites du type $u_{n+1}=au_n+b(n) $ (1)], un exemple de résolution d'une équations aux différences du type 

Nous avons donc

$$(E)\ \ \forall n \in \mathbb N\ : \ u_{n+1}-au_n=b(n) $$

dans le cas où $b(n)$ est une suite polynomiale.

Pour cela, nous avons exhiber une solution particulière de $(E)$, puis nous lui avons ajouter les solutions de  l'équation homogène

$$(E_h)\ \ \forall n \in \mathbb N\ : \ u_{n+1}-au_n=0 $$

Cela nous a permis de trouver toutes les solutions de l'équation non-homogène $(E)$. 

Nous avons vu qu''il s'agit en fait d'une méthode générale : les solutions de l'équation homogène s'ontiennent en ajoutant à une solution particulière de cette équation toutes les solutions de l'équation homogène.

Dans cet article, nous verrons que dans le cas où $b(n)$ est une suite polynomiale et lorsque $a\neq 1$, il existe une unique solution polynômiale dont le degré de dépasse pas celui de $b$. 

Nous verrons aussi une méthode systématique de trouver une telle solution particulière, du moins à l'aide d'un logiciel de calcul formel pour avoir une solution explicite.

Etude du cas général

On notera $(E)$ l'équation : 

$$\forall n\in\mathbb N \  \ : \ \ u_{n+1}=au_n+b(n)  $$

où $b(n)$ est un polynôme de degré $k$ pour un certain entier naturel $k$.

Nous avons donc

$$(E)\ \ \forall n \in \mathbb N\ : \ u_{n+1}=au_n+a_0+a_1n+\ldots+a_kn^k $$

Cherchons une solution particulière $s$ sous la forme d'un polynôme de degré $k$. 

Nous avons donc

$$s_{n+1}=as_n+a_0+a_1n+\ldots+a_kn^k $$

Si $s$ est une telle solution, on a nécessairement, pour tout $n\in\mathbb N$, 

$$s_{n+1}=as_n+a_0+a_1n+\ldots+a_kn^k $$

Notons 

$$s_n=b_0+b_1 n + \ldots + b_k n^k$$

On a $$s_{n+1}=b_0+b_1(n+1)+\ldots+b_{k}(n+1)^{k}$$ 

d'où pour tout $n\in\mathbb N$, 

$$b_0+b_1(n+1)+\ldots+b_{k}(n+1)^{k}=a\left(b_0+b_1 n + \ldots + b_k n^k \right)+a_0+a_1n+\ldots+a_kn^k $$

Ainsi 

$$b_0+b_1(n+1)+\ldots+b_k(n+1)^k=(ab_0+a_0)+(ab_1+a_1)n+\ldots+(ab_k+a_k)n^k $$

Si l'on exprime le membre de gauche et le membre de droite comme des polynômes, on aura l'égalité en identifiant les coefficients.

Dans le membre de gauche, pour tout $j$, avec $1\leq j \leq k$, on a 

$$(n+1)^j=\binom{j}{0} +\binom{j}{1}n + \ldots +\binom{j}{j}n^j=\sum_{0 \leq m \leq j} \binom{j}{m} n^m =\sum_{0 \leq m \leq j} \binom{j}{m} n^m $$

Donc 

$$b_j(n+1)^j=b_j\left(\binom{j}{0} +\binom{j}{1}n + \ldots +\binom{j}{j}n^j\right) =b_j\sum_{0 \leq m \leq j} \binom{j}{m} n^m $$

En réordonnant les termes selon les puissances de $n$, on obtient

$$b_0+b_1(n+1)+\ldots+b_k(n+1)^k =(b_0+\ldots+b_k)+\left(b_1\binom{1}{1}+\ldots+b_k\binom{k}{1}\right)n + \ldots +\left(b_k\binom k k \right)n^k $$

Donc si on note $c_t$ le coefficient de $n^t$, on a 

$$b_0+b_1(n+1)+\ldots+b_k(n+1)^k =c_0+c_1n+\ldots c_tn^k=\sum_{t_0}^k c_t n^t $$

avec pour tout $t$, tel que $1\leq t \leq k$, 

$$c_t=\sum_{i=t}^{k} b_i \binom{i}{t}$$

Par identification des coefficients, pour tout $t$, tel que $0\leq t \leq k$,

$$\sum_{i=t}^{k} b_i \binom{i}{t} = ab_t+a_t  $$

ou encore 

$$\sum_{i=t}^{k} b_i \binom{i}{t} - ab_t=a_t  $$

Sous forme matricielle, cela donne 

$$MB-DB=A $$

où 

$$M=\left( \begin{array}{ccccc} \dbinom{0}{0} &  \dbinom{1}{0} & \ldots & \dbinom{k-1}{0} &  \dbinom{k}{0} \\ 0 &  \dbinom{1}{1} & \ldots & \dbinom{k-1}{1} &  \dbinom{k}{1} \\  &    &   \ddots     &   & \vdots \\ 0 & 0&  \ldots & \dbinom{k-1}{k-1} &  \dbinom{k-1}{k} \\  0 & 0&  \ldots & 0 &  \dbinom{k}{k} \\ \end{array}\right)$$ 

  

$$D=\left( \begin{array}{ccccc} a & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & a & \ldots & 0 & 0\\  &    &   \ddots     &   & \\ 0 & 0& \ldots & a & 0 \\ 0 & 0 & \ldots & 0 & a \\ \end{array}\right)=a\textrm{Id}$$ 

 $$A=\left(\begin{array}{c} a_0 \\ a_1 \\ \vdots \\ a_{k-1} \\ a_k \\ \end{array} \right)$$ 

 $$B=\left(\begin{array}{c} b_0 \\ b_1 \\ \vdots \\ b_{k-1} \\ b_k \\ \end{array} \right)$$

Si on note $L=M-D$, l'équation devient 

$$LB=A$$

avec 

$$L=\left( \begin{array}{ccccc} \dbinom{0}{0}-a &  \dbinom{1}{0} & \ldots & \dbinom{k-1}{0} &  \dbinom{k}{0} \\ 0 &  \dbinom{1}{1}-a & \ldots & \dbinom{k-1}{1} &  \dbinom{k}{1} \\  &    &   \ddots     &   & \vdots \\ 0 & 0&  \ldots & \dbinom{k-1}{k-1}-a &  \dbinom{k-1}{k} \\  0 & 0&  \ldots & 0 &  \dbinom{k}{k}-a \\ \end{array}\right) $$

Cette équation possède une unique solution si $\det L\neq 0$ c'est-à-dire si 

$$\left(\dbinom 0 0 - a \right)\left(\dbinom 1 1 - a \right)\ldots \left(\binom {k-1}{k-1} - a \right)\left(\dbinom {k}{k} - a \right)\neq 0 $$

Or commme pour tout $p$, $\binom p p=1$, on en déduit qu'il existe une unique suite polynômiale $s$ si et seulement si $a\neq 1$. 

Supposons $a\neq 1$. Dans ce cas, $L$ est inversible et 

$$B=L^{-1}A  $$

Nous avons donc la propriété suivante

Propriété. Si $a\neq 1$.

Il existe une unique solution particulière de $(E)$ sous la forme $s_n=b_0+b_1n+\ldots+b_k n^k$.

La matrice $$L=\left( \begin{array}{ccccc} \dbinom{0}{0}-a &  \dbinom{1}{0} & \ldots & \dbinom{k-1}{0} &  \dbinom{k}{0} \\ 0 &  \dbinom{1}{1}-a & \ldots & \dbinom{k-1}{1} &  \dbinom{k}{1} \\  &    &   \ddots     &   & \vdots \\ 0 & 0&  \ldots & \dbinom{k-1}{k-1}-a &  \dbinom{k-1}{k} \\  0 & 0&  \ldots & 0 &  \dbinom{k}{k}-a \\ \end{array}\right)$$

est inversible et 

$$\left(\begin{array}{c} b_0 \\ b_1 \\ \vdots \\ b_{k-1} \\ b_k \\ \end{array}\right)=L^{-1}\left(\begin{array}{c} a_0 \\ a_1 \\ \vdots \\ a_{k-1} \\ a_k \\ \end{array} \right)$$

Un exemple

Résolvons l'équation aux différences 

$$(1) \ \ \ \ \ \forall n\in\mathbb N\ : \ u_{n+1}=2u_n+n^3-2n+1  $$

On a 

$$L=\left( \begin{array}{cccc} \dbinom{0}{0}-2 &  \dbinom{1}{0} &  \dbinom{2}{0} &  \dbinom{3}{0} \\ 0 &  \dbinom{1}{1}-2  & \dbinom{2}{1} &  \dbinom{3}{1}  \\ 0 & 0 & \dbinom{2}{2}-2 &  \dbinom{3}{2} \\  0 & 0 & 0 &  \dbinom{3}{3}-2 \\ \end{array}\right) =\left( \begin{array}{cccc} -1 &  1 &  1 & 1 \\ 0 &  -1  & 2 &  3  \\ 0 & 0 & -1 &  3 \\  0 & 0 & 0 &  -1 \\ \end{array}\right) $$

D'où en utilisant par exemple Xcas pour inverser la matrice $L$, 

$$L^{-1}=\left( \begin{array}{cccc} -1 &  -1 & -3 & -13 \\ 0 &  -1  & -2 &  -9  \\ 0 & 0 & -1 &  -3 \\  0 & 0 & 0 &  -1 \\ \end{array}\right)  $$

On a $B=\left( \begin{array}{cccc} -1 &  -1 & -4 & -23 \\ 0 &  -1  & -3 &  -18  \\ 0 & 0 & -1 &  -4 \\  0 & 0 & 0 &  -1 \\ \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \\ \end{array} \right)=\left(\begin{array}{c} -12 \\ -7 \\ -3  \\ -1 \\ \end{array} \right)$

Ainsi on a une solution particulière $s$ donnée par $s_n=-n^3-3n^2-7n-12$.

Maintenant l'équation homogène : 

$$u_{n+1}=2u_n $$

a pour solutions les suites $(w_n)$ géométrique de raison 2. On a donc $w_n=2^n\times c $ où $w_0=c$.

L'ensemble des solutions de $(1)$ est donc l'ensemble des suites $(u_n)$ telles que pour tout entier naturel $n$, 

$$u_n=2^n\times c-n^3-4n^2-16n-22  $$

où $c\in\mathbb R$ est un réel quelconque.

Et ensuite

Par la suite, j'aimerai m'intéresser à d'autres type d'équations aux différences non homogènes : cas où $b(n)$ n'est pas une suite polynomiale.