Anneaux (0) : Définition et quelques exemples

 Cet article fait suite et se réfère à 

• [G0] Groupes (0) : Définitions et exemples

On y donne une définition de la structure d'anneau ainsi que quelques exemples dont l'anneau des entiers de Gauss (dont une étude sera faite dans d'autres articles de ce blog). Enfin, on y évoque la notion de corps.

Définition d'un anneau

Un anneau $A$ est un ensemble muni de deux opérations $+$ et $\times$ vérifiant les propriétés suivantes :

$(A,+)$ est un groupe commutatif dont on notera $0_A$ l'élément neutre.

$\times$ est une loi interne sur $A$ telle que pour tous $a,b,c$ de $A$ :

1. (Associativité). $\times$ est associative : $a\times(b\times c)=(a\times b)\times c$
2. (Distributivité de $\times$ sur $+$). $\times$ est distributive sur $+$ : $a\times(b+c)=a\times b+ a\times c$ et $(b+c)\times a=b\times a + b\times c$

Si de plus $A$ possède un élément $u$ tel que pour tout $a\in A$, $a\times u=u\times a=a$, alors on dit que $A$ est un anneau unitaire. $u$ est appelé l'unité de $A$, c'est l'élément neutre de $\times$.

On appelle $+$ l'addition dans $A$ et $\times$ la multiplication dans $A$. 

Sauf mention du contraire, dans ce blog, tout anneau sera considéré comme unitaire, et l'on notera $1_A$ son unité, l'élément neutre de la multiplication.

Enfin comme pour les nombres réels, on omettra le signe $\times$ pour la multiplication : $ab=a\times b$.

Si $\times$ est commutative, c'est-à-dire si pour tous $a,b\in A$, on a $ab=ba$, on dit que $A$ est un anneau commutatif.

Quelques exemples

Exemple 1. $\mathbb Z$ muni de $+$ et de $\times$ usuels est un anneau commutatif.

Exemple 2. $(\mathbb Q$,$+$,$\times$) et $(\mathbb R,+,\times)$ sont aussi des anneaux commutatifs. 

Exemple 3.

Tous les anneaux ne sont pas commutatifs : l'ensemble $\mathcal M_n(\mathbb R)$ des matrices carrées $n\times n$ munies de l'addition et de la multiplication usuels des matrices est un anneau non commutatif.  

Dans $\mathcal M_2(\mathbb R)$, si $A=\left(\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 0 & 0 \end{array} \right)$ et $B=\left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right)$, on a $AB=\left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} \right)$ et $BA=\left(\begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right)$

Sous-anneau 

Un sous-anneau $B$ d'un anneau $(A,+,\times)$ est un sous-ensemble de $A$ qui, muni des opérations $+$ et $\times$ de $A$ est un anneau.

Propriété 1. 

Soit $A$ un anneau. Si $B\subset A$ vérifie :

(1) $0_A\in B$, $1_A\in B$

(2) (stabilité des opérations). pour tout $a,b\in B$, 

(2.1) $a+b\in B$, 

(2.2) $-b\in B$ et 

(2.3) $a\times B\in B$

alors $B$ est un sous-anneau de $B$.

Démonstration. Laissée au lecteur.

Propriété 2. Si $B$ est un sous-anneau d'un anneau commutatif $A$, alors $B$ est un anneau commutatif.

Preuve. Pour tous $a,b\in B$, $a,b\in A$ donc $ab=ba$.

L'anneau des entiers de Gauss $\mathbb Z[i]$ 

Dans cette partie $i$ désigne le nombre complexe tel que $i^2=-1$.

Propriété G1. Le sous-ensemble de $\mathbb C$ des nombres de la forme $a+bi$, avec $a$ et $b$ entiers relatifs est un anneau pour les opérations $+$ et $\times$ de $\mathbb C$. C'est un sous-anneau de $\mathbb C$.

Preuve. $0=0+0i$ et $1=1+0i$ sont dans $\mathbb Z[i]$. Les règle d'addition et de multiplication de $\mathbb C$, et le fait que $\mathbb Z$ est un anneau font de $\mathbb Z[i]$ un anneau. Plus précisément :

(2.1) $a+ib+a'+ib'=(a+a')+(b+b')i\in\mathbb Z[i]$ car $a+a'\in\mathbb Z$ et $b+b'\in\mathbb Z$

(2.2) $-(a+ib)=-a-ib\in\mathbb Z[i]$ car $-a'$ et $-b'$ sont dans $\mathbb Z$

(2.3) $(a+ib)(a'+ib')=(aa'-bb')+(ab'+a'b)i$ est un élément de $\mathbb Z[i]$ car $aa'-bb'$ et  $ab'+a'b$ sont dans $\mathbb Z$.

Cet anneau est noté. $\mathbb Z[i]$. On l'appelle l'anneau des entiers de Gauss.

D'après la propriété 2 :

Propriété G2. $\mathbb Z[i]$ est un anneau commutatif.

Éléments inversibles pour la multiplication 

Soit $(A,+,\times)$ un anneau. On dit qu'un élément $a$ est inversible s'il existe un élément $b\in A$ tel que $(\ast) \ \ \ \ \ \ ab=ba=1_A$. On dit alors que $b$ est l'inverse de $a$ et on le note $b=a^{-1}$.

Lorsque la multiplication est commutative, la condition $(\ast)$ est réduite à $ab=1_A$. 

Exemple 4. 

Dans $\mathbb Z[i]$, il n'y a que 4 éléments inversibles : $1$, $-1$, $i$ et $-i$. Ce sera l'objet d'un prochain article.

Exemple 5. 

Dans l'ensemble des nombres rationnels $\mathbb Q$, tout élément non nul est inversible. En effet tout élément $\frac a b$ a pour inverse $\frac b a$.

Exemple 6. 

Dans $\mathbb Z$, il n'y a que deux éléments inversibles. 

En effet si $n\in\mathbb Z$ est un élément inversible pour la multiplication, on doit avoir $n^{-1}\in\mathbb Z$, avec $nn^{-1}=1$. 

Comme $\mathbb Z$ est un sous-anneau de $\mathbb Q$, $n^{-1}=\frac 1 n$. 

Pour que $\frac 1 n$ soit un entier, il faut que $n=\pm 1$. Il n'y a donc que deux éléments inversibles dans $\mathbb Z$ : $1$ et $-1$, avec $1^{-1}=1$ et $(-1)^{-1}=-1$.

Définition 2. On dit qu'un anneau $(K,+,\times)$ dans lequel tout élément non nul est inversible est un corps.

Si $\times$ est commutative, on dit que $K$ est un corps commutatif.

Exemple 7. 

$\mathbb Q$  est un corps.

Exemple 8. 

$\mathbb Z$ n'est pas un corps car par exemple $2$ n'est pas inversible dans $\mathbb Z$.

Exemple 9. 

L'ensemble des matrices carrées de taille $n\times n$, avec $n \geq 2$,  n'est pas un corps. 

Par exemple, lorsque $n=2$, $\mathcal M_2(\mathbb R)$ possède des éléments non-nuls non inversibles, comme la matrice $A=\left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\     1 & 1 \end{array}\right)$

Si $A$ était inversible, on aurait l'existence d'une matrice $B=\left( \begin{array}{cc} a & b \\     c & d \end{array}\right)$ telle que $AB=BA=I_2$, avec $I_2=\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\     0 & 1 \end{array}\right)$ l'élément neutre de la multiplication de matrices.

Comme $AB=\left( \begin{array}{cc} a+b & a+b \\     c+d & c+d \end{array}\right)$, cela impliquerait en particulier pour $a,b,c,d$ d'être solutions du système 

$$\left\{\begin{array}{ccc}  a+b & = & 1 \\  a+b & = & 0 \\  c+d & = & 0 \\  c+d & = & 1 \\ \end{array} \right.$$

qui n'a pas de solution car $0\neq 1$.

Exemple 10.

L'ensemble des fonctions de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ forme un anneau dont l'addition et la multiplication sont définis de la manière suivante :

• Addition : $f+g$ est la fonction qui à tout $x$ associe le réel $f(x)+g(x)$ noté $(f+g)(x)$.
• Multiplication : $f\times g$ est la fonction qui à tout $x$ associe le réel $f(x)\times g(x)$ noté $(f\times g)(x)$.
• La fonction nulle, c'est-à-dire la fonction $x\mapsto 0$ est l'élément neutre de l'addition.
• La fonction $\mathbb 1_{\mathbb R}$ définie par $x\mapsto 1$ est l'élément neutre de la multiplication.  

Notons $\mathcal F(\mathbb R)$ l'ensemble des fonctions de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$. Alors on vérifie facilement que $(F(\mathbb R),+,\times)$ est un anneau commutatif. 

Un sous-anneau de $\mathcal F(\mathbb R)$ est l'anneau des fonctions polynomiales $\mathcal P_{\mathbb R}$ qui sera abordé  dans un prochain article.

Et après 

Ensuite, on peut par exemple, s'intéresser à d'autres exemples d'anneaux, comme l'anneau des polynômes à coefficients réels $\mathbb R[X]$. Ce sera l'objet d'un autre article.