Suites du type $u_{n+1}=au_n+b(n)$ (3) : cas où $b(n)=\mu \beta^n$

 Cet article fait suite à : 

• Suites du type $u_{n+1}=au_n+b(n)$ (1) - un exemple 
• Suites du type $u_{n+1}=au_n+b(n)$ (2) - cas où $b$ est polynomiale 

Nous étudions un autre cas simple d'équation aux différences finies d'ordre 1 non-homogène : 

$$(E)\ \ \forall n \in \mathbb N\ : \ u_{n+1}=\alpha u_n+\mu\beta^n$$

avec $b(n)=\mu \beta^n$. 

On supposera que $\alpha, \beta, \mu$ sont des réels non-nuls.

Nous déterminerons comme dans les articles précédents le terme générale des suites solutions  de $(E)$. Pour cela, on commence comme d'habitude par trouver une solution particulière. On obtient les solutions en y ajoutant les solutions de l'équation homogène.

$$(E_h)\ \ \forall n \in \mathbb N\ : \ u_{n+1}=\alpha u_n$$

Solution particulière de $(E)$

Cherchons une suite $s$ solution particulière de $(E)$. Une telle solution vérifie nécessairement

$$\forall n \in \mathbb N\ : \ s_{n+1}=\alpha s_n+\mu\beta^n$$

On cherche une solution particulière $(s_n)$ sous la forme 

                    $$s_{n}=\lambda_n \beta^n$$

où $(\lambda_n)$ est une suite à déterminer.                    

On a donc pour tout entier naturel $n$,

$$s_{n+1}=\lambda_{n+1} \beta^{n+1}$$

Une telle solution $s$ vérifie $\lambda_{n+1} \beta^{n+1}=\alpha\lambda_n \beta^n +\mu \beta^n = (\alpha\lambda_n+\mu)\beta^n$, ce qui équivaut à $\beta^n(\beta\lambda_{n+1}-(\alpha\lambda_n+\mu))=0$

Donc comme $\beta\neq 0$, cela revient pour tout entier naturel $n$, à

$$\lambda_{n+1}=\frac \alpha \beta\lambda_n+\frac \mu \beta$$

Cas 1 : $\frac \alpha \beta \neq 1$ 

$(\lambda_n)$ est donc une suite arithmético-géométrique, avec $a=\frac \alpha \beta$ et $b=\frac \mu \beta$. Cela équivaut, si $\frac{\alpha}{\beta}\neq 1$, pour tout $n$, à

$$\lambda_n=ca^n+\frac{b}{1-a}=c\left(\frac \alpha \beta\right)^n+\frac{\frac \mu \beta}{1-\frac \alpha \beta }=c\left(\frac \alpha \beta\right)^n+\frac{\mu}{\beta- \alpha }$$

où $c$ est un réel.

Pour $c=0$, on obtient la solution particulière : 

$$(1) \ \ \ \ \ \ s_n=\lambda_n \beta^n=\left( \frac{\mu}{\beta- \alpha }\right) \beta^n=\frac{\mu\beta^n}{\beta-\alpha}$$

Cas 2 : $\frac \alpha \beta =1$

Si $\frac{\alpha}{\beta}=1$, c'est-à-dire si $\alpha=\beta$, 

$$\lambda_{n+1}=\lambda_n+\frac \mu \beta$$

$(\lambda_n)$ est donc une suite arithmétique de raison $\frac \mu \beta$, et son terme général est 

$$(2) \ \ \ \ \ \lambda_n=k+\frac {n\mu} \beta$$ pour un certain réel $k$.

Pour $k=0$, on a $\lambda_n=\frac {n\mu}\beta$, donc $s_n=\frac {n\mu}\beta \beta^n=\beta^{n-1}\mu n$

Analyse puis synthèse

Nous avons trouvé une condition nécessaire pour qu'une solution particulière de la forme souhaitée existe. Autrement dit, s'il existe une solution particulière $s$ de $(E)$ de la forme $s_{n}=\lambda_n \beta^n$, elle vérifie $(1)$ dans le cas où $\alpha\neq \beta$ et $(2)$ dans le cas où $\alpha=\beta$.

Il faut encore vérifier que ce sont effectivement des solutions particulières pour les cas correspondants.

Cas 1 ($\alpha\neq \beta$)

Dans le cas où $\alpha\neq \beta$, ie $\frac \alpha \beta\neq 1$, on pose $s_n=\frac{\mu \beta^n}{\beta-\alpha}$.

Je vérifie que $s_{n+1}-\alpha s_n = \mu \beta^n$, d'où $s_{n+1}=\alpha s_n+\mu \beta^n$.

Le calcul revient à 

$$s_{n+1}-s_n=\frac{\mu \beta^{n+1}}{\beta-\alpha} - \alpha \frac{\mu \beta^{n}}{\beta-\alpha}=\frac{\mu\beta^n\left(\beta-\alpha \right)}{\beta-\alpha}=\mu\beta^n$$

Donc $s$ est bien une solution particulière.

Cas 2 ($\alpha=\beta$)

Dans le cas où $\alpha=\beta$, ie $\frac \alpha \beta= 1$, on pose $s_n=\mu \beta^{n-1}n$.

On a $s_{n+1}=\mu \beta^{n}(n+1)=\mu\beta^n n+\mu\beta^n$

Donc  $$s(n+1)-\alpha s(n)=\mu\beta^n n+\mu\beta^n-\alpha \beta^{n-1}\mu n=\mu \beta^{n}n+\mu \beta^n-\beta{n}\mu n=\mu\beta^n$$

Solution générale

L'équation homogène a pour solution $w_n=t \alpha^n$ pour un réel $t$, donc les solutions de $(E)$ sont les suites de la forme 

$$u_n=\left\{\begin{array}{rcl} t \alpha^n+\frac{\mu\beta^n}{\beta-\alpha} &\textrm{si} & \alpha\neq \beta \\ t \alpha^n+\mu\beta^{n-1}n &\textrm{si} & \alpha= \beta\\ \end{array} \right.$$

pour $t$ réel.

Exemple

On veut trouver l'ensemble des suites $(u_n)$ telles que pour tout $n\in\mathbb N$, $u_{n+1}=\frac 1 2 u_n +3^n$.

Alors les solutions sont les suites $(u_n)$ de la forme :

$$u_n=t\times \left(\frac 1 2\right)^n+\frac{3^n}{3-\frac 1 2}=\frac t {2^n}+\frac {2\times 3^n} 5$$

avec $t\in\mathbb R$

What's next ? 

On peut construire des exercices niveau lycée faisant intervenir la récurrence et les suites récurrentes en utilisant les outils vus dans l'article [cas où $b(n)$ est polynomiale] et dans cet article. 

Dans un prochain article, nous nous intéresserons encore à un cas particulier d'équation aux différences finies qui nous permettra de concevoir d'autres exemples d'exercices sur les suites au lycée.