Polynômes à coefficients réels : Degré, Racines, division par $X-a$

Cet article fait suite à :

• [P1] Polynômes à coefficients réels et fonctions polynomiales

Les notions abordées sont le degré, les racines et la division d'un polynôme par un polynôme de degré 1.

Degré d'un polynôme

Dans $\mathbb R[X]$, tout élément $P$ possède un degré.

Si $P$ n'est pas le polynôme nul, le degré de $P=a_0+a_1X+\ldots+a_nX^n$ est $n$. On note alors $\deg P=n$. 

Exemple 1. $\deg 1=0$

Exemple 2. $\deg X^7-2X=7$

Si $P$ est le polynôme nul, par convention, son degré est $-\infty$. 

On note $\deg 0=-\infty$.

En utilisant les définition de la somme et du produit dans $\mathbb R[X] $ (voir [P1]), on obtient facilement les propriétés suivantes.

Propriété 1. (Degré d'une somme). $\deg P+ \deg Q\leq \max(\deg P,\deg Q)$

Remarque. Si $\deg P \geq 1$, alors pour tout réel $c$, on a $\deg (P + c)=\deg P = \deg (P-c)$.

Propriété 2. (Degré d'un produit). $\deg(PQ)=\deg(P)+\deg(Q)$

Racine d'un polynôme. Division d'un polynôme par un polynôme de degré 1 : résultat explicite

Étant donnée la correspondance 

$$\varphi:\mathbb R[X] \longrightarrow \mathcal P_{\mathbb R}$$

établie dans [P1], pour tout polynôme $P\in\mathbb R [X]$, on note $p=\varphi(P)$ la fonction polynomiale correspondante.

Ainsi si $t\in\mathbb R$, nous dirons qu'évaluer $P$ en $t$, c'est donner le réel $p(t)$, qu'on notera indifféremment $P(t)$.

En d'autres termes, si 

$$(1) \ \ \ \ \ P=a_0+a_1X+\ldots+a_nX^n$$ 

alors $P(t)=a_0+a_1t+\ldots+a_nt^n$

Définition 1. Soit $P$ un polynôme non-nul. Un nombre $\alpha$ tel que $P(\alpha)=0$ est appelé une racine de $P$.

Si $P$ est un polynôme de degré inférieur ou égal à 0, alors $P=a_0$ avec $a_0\in\mathbb R$. Dans ce cas, si $a_0\neq 0$, $P$ n'a aucune racine.  

Propriété 1. 

Si $P$ est un polynôme non constant de la forme $(1)$, alors pour tout $a\in\mathbb R $, on a $P=(X-a)Q+c$, où $Q\in\mathbb R[X]$ est un polynôme de degré $n-1$ et où $c\in\mathbb R$. 

Le polynôme $Q$ et le réel $c$ sont uniquement déterminés par $P$ et $a$.

Démonstration. Si $Q$ et $c$ existent, il est nécessaire que $\deg P = \deg (P-c) = \deg(X-\alpha)+\deg Q $, on en déduit que $\deg(Q)=\deg(P)-1$. On cherche donc $Q$ sous la forme

$$Q = b_0+b_1X+\ldots+b_{n-1}X^{n-1} $$

On doit aussi avoir $P(a)=(a-a)Q(a)+c=c$. 

Ainsi

$$P=XQ-aQ+P(a)=b_0X+b_1X^2+\ldots+b_{n-1} X^{n}-ab_0-ab_1X-\ldots-ab_{n-1}X^{n-1}+P(a) $$

Autrement dit 

$$P=P(a)-ab_0+(b_0-ab_1)P+\ldots+(b_{n-2}-ab_{n-1})X^{n-1}+b_{n-1}X^n $$

Cherchons $b_0,\ldots,b_{n-1}$ tels que : 

$$\left\{\begin{array}{ccc} b_{n-1}&=&a_n \\ b_{n-2}-ab_{n-1}&=&a_{n-1} \\ \vdots & & \\ b_{n-i}-ab_{n-i+1}&=&a_{n-i+1}\\ \vdots & &  \\ b_0-ab_1&=&a_1 \\ P(a)-ab_0&=&a_0 \\ \end{array} \right. $$

Cela revient à 

$$\left\{\begin{array}{ccc} b_{n-1}&=&a_n \\ b_{n-2}&=&a_{n-1}+ab_{n-1} \\ b_{n-3}&=&a_{n-2}+ab_{n-2} \\ \vdots & & \\ b_{n-i}&=&a_{n-i+1}+ab_{n-i+1}\\ \vdots & &  \\ b_0&=&a_0+ab_1 \\ P(a)-ab_0&=&a_0 \\ \end{array} \right. $$

Puis (avec une récurrence) à 

$$\left\{\begin{array}{ccc} b_{n-1}&=&a_n \\ b_{n-2}&=&a_{n-1}+aa_n \\ b_{n-3}&=&a_{n-2}+aa_{n-1}+a^2a_n \\ \vdots & & \\ b_{n-i}&=&a_{n-i+1}+aa_{n-i+2}+\ldots+a^{i-1}a_n\\ \vdots & &  \\ b_0&=&a_1+ aa_2+\ldots + a^{n-1}a_n  \\ P(a)-ab_0&=&a_0 \\ \end{array} \right. $$

La dernière ligne de ce système équivaut à $P(a)=a_0+ab_0=a_0+aa_1+ a^2a_2+\ldots + a^{n}a_n$, donc le système est cohérent et n'admet qu'une seule solution : 

$$(2) \ \ \ \ \forall j=0,\ldots,n-1\ : \ b_{j}=a_{j+1}+a_{j+2}a+\ldots+a_na^{n-(j+1)}$$

En posant $Q(x)=b_0+b_1X+\ldots+b_{n-1} X^{n-1}$, où les valeurs de $b_0,b_1,\ldots,b_n $ sont celles décrites dans la résolution du système précédent, on a bien l'égalité $P=(X-a)Q+c$, avec $c=P(a)$.

Remarque 1. Si $P$ est une constante, la propriété reste vraie avec $Q=0$ le polynôme nul.

La démonstration de la propriété précédente donne une méthode générale pour trouver $Q=b_0+b_1X+\ldots+b_{n-1}X^{n-1}$ et $c$. Il n'est pas nécessaire d'utiliser la formule $(2)$, on peut se contenter de développer le produit $(X-a)(b_0+b_1X+\ldots+b_{n-1}X^{n-1})$ puis d'identifier les coefficients du polynôme obtenu avec les coefficients de $P$.

C'est la méthode d'identification des coefficients que l'on verra sous une forme plus générale dans la partie sur la division polynomiale.

Exemple 3. 

Notons $P=2X^2-5$ et $D=X+3$. Cherchons $Q$ et $c$ tels que $P=DQ+c$.

$Q$ est de la forme $Q=b_1X+b_0$.

$P=DQ+c\Longleftrightarrow 2X^2-5=(X+3)(b_1X+b_0)+c \Longleftrightarrow 2X^2-5=b_1X^2+(3b_1X+b_0X)+3b_0+c $.

En identifiant les coefficients de $P$ avec ceux du membre de droite, on obtient 

$$\left\{\begin{array}{ccc} 2&=&b_1 \\ 0&=&3b_{1}+b_0 \\ -5&=&3b_0+c \end{array} \right. \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} b_1&=&2 \\ 0&=&6+b_0 \\ -5-3b_0&=&c \end{array} \right. \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} b_1&=&2 \\ b_0&=&-6 \\ 13&=&c \end{array} \right. $$

Ainsi $Q=2X-6$ et $c=13$. On a $P=(X+3)(2X-6)+13$.

Propriété 2. Si $\alpha$ est une racine de $P$, polynôme non nul, alors il existe un polynôme $Q$  $P=(X-\alpha)Q$, avec $\deg Q=\deg (P) -1$. 

Démonstration.  D'après la propriété 1, on a $P=(x-\alpha)Q+c$, pour un réel $c$ et un polynôme $Q$ de degré $\deg P-1$.

Comme $0=P(\alpha)=(\alpha-\alpha)Q(\alpha)+c$, on en déduit que $c=0$ et que $P=(X-\alpha)X$.

Exemple 4. $P=X^3-2X-4$, avec $\alpha=2$.

On a bien $P(2)=2^3-2\times 2-4=0$. D'après la propriété 2, $P=(X-2)Q$ avec $Q=b_2X^2+b_1X+b_0$

Il est nécessaire que $(X-2)(b_2X^2+b_1X+b_0)=X^3-2X-4$, c'est à dire que 

$b_2X^3+(b_1-2b_2)X^2+(b_0-2b_1)X-2b_0=X^3-2X-4$.

On a on par identification des coefficients

$$\left\{\begin{array}{ccc} b_2&=&1 \\ b_1-2\times 1&=&0 \\ b_0-2b_1&=&-2 \\ -2b_0&=&-4 \end{array} \right. \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} b_2&=&1 \\ b_1&=&2 \\ b_0&=&2 \end{array} \right.$$

On en déduit que $Q=X^2+2X+2 $, ainsi $P=(X-2)(X^2+2X+2)$. 

Ensuite

Nous avons présenté ici la division polynomiale d'un polynôme $P$ par un polynôme de degré 1. La division euclidienne polynomiale est toujours possible, nous verrons comment l'effectuer dans un prochain article.