Cet article fait suite à :
- [P1] Polynômes à coefficients réels et fonctions polynomiales
Les notions abordées sont le degré, les racines et la division d'un polynôme par un polynôme de degré 1.
Degré d'un polynôme
Dans \mathbb R[X], tout élément P possède un degré.
Si P n'est pas le polynôme nul, le degré de P=a_0+a_1X+\ldots+a_nX^n est n. On note alors \deg P=n.
Exemple 1. \deg 1=0
Exemple 2. \deg X^7-2X=7
Si P est le polynôme nul, par convention, son degré est -\infty.
On note \deg 0=-\infty.
En utilisant les définition de la somme et du produit dans \mathbb R[X] (voir [P1]), on obtient facilement les propriétés suivantes.
Propriété 1. (Degré d'une somme). \deg P+ \deg Q\leq \max(\deg P,\deg Q)
Remarque. Si \deg P \geq 1, alors pour tout réel c, on a \deg (P + c)=\deg P = \deg (P-c).
Propriété 2. (Degré d'un produit). \deg(PQ)=\deg(P)+\deg(Q)
Racine d'un polynôme. Division d'un polynôme par un polynôme de degré 1 : résultat explicite
Étant donnée la correspondance
\varphi:\mathbb R[X] \longrightarrow \mathcal P_{\mathbb R}
établie dans [P1], pour tout polynôme P\in\mathbb R [X], on note p=\varphi(P) la fonction polynomiale correspondante.
Ainsi si t\in\mathbb R, nous dirons qu'évaluer P en t, c'est donner le réel p(t), qu'on notera indifféremment P(t).
En d'autres termes, si
(1) \ \ \ \ \ P=a_0+a_1X+\ldots+a_nX^n
alors P(t)=a_0+a_1t+\ldots+a_nt^n
Définition 1. Soit P un polynôme non-nul. Un nombre \alpha tel que P(\alpha)=0 est appelé une racine de P.
Si P est un polynôme de degré inférieur ou égal à 0, alors P=a_0 avec a_0\in\mathbb R. Dans ce cas, si a_0\neq 0, P n'a aucune racine.
Propriété 1.
Si P est un polynôme non constant de la forme (1), alors pour tout a\in\mathbb R , on a P=(X-a)Q+c, où Q\in\mathbb R[X] est un polynôme de degré n-1 et où c\in\mathbb R.
Le polynôme Q et le réel c sont uniquement déterminés par P et a.
Démonstration. Si Q et c existent, il est nécessaire que \deg P = \deg (P-c) = \deg(X-\alpha)+\deg Q , on en déduit que \deg(Q)=\deg(P)-1. On cherche donc Q sous la forme
Q = b_0+b_1X+\ldots+b_{n-1}X^{n-1}
On doit aussi avoir P(a)=(a-a)Q(a)+c=c.
Ainsi
P=XQ-aQ+P(a)=b_0X+b_1X^2+\ldots+b_{n-1} X^{n}-ab_0-ab_1X-\ldots-ab_{n-1}X^{n-1}+P(a)
Autrement dit
P=P(a)-ab_0+(b_0-ab_1)P+\ldots+(b_{n-2}-ab_{n-1})X^{n-1}+b_{n-1}X^n
Cherchons b_0,\ldots,b_{n-1} tels que :
\left\{\begin{array}{ccc} b_{n-1}&=&a_n \\ b_{n-2}-ab_{n-1}&=&a_{n-1} \\ \vdots & & \\ b_{n-i}-ab_{n-i+1}&=&a_{n-i+1}\\ \vdots & & \\ b_0-ab_1&=&a_1 \\ P(a)-ab_0&=&a_0 \\ \end{array} \right.
Cela revient à
\left\{\begin{array}{ccc} b_{n-1}&=&a_n \\ b_{n-2}&=&a_{n-1}+ab_{n-1} \\ b_{n-3}&=&a_{n-2}+ab_{n-2} \\ \vdots & & \\ b_{n-i}&=&a_{n-i+1}+ab_{n-i+1}\\ \vdots & & \\ b_0&=&a_0+ab_1 \\ P(a)-ab_0&=&a_0 \\ \end{array} \right.
Puis (avec une récurrence) à
\left\{\begin{array}{ccc} b_{n-1}&=&a_n \\ b_{n-2}&=&a_{n-1}+aa_n \\ b_{n-3}&=&a_{n-2}+aa_{n-1}+a^2a_n \\ \vdots & & \\ b_{n-i}&=&a_{n-i+1}+aa_{n-i+2}+\ldots+a^{i-1}a_n\\ \vdots & & \\ b_0&=&a_1+ aa_2+\ldots + a^{n-1}a_n \\ P(a)-ab_0&=&a_0 \\ \end{array} \right.
La dernière ligne de ce système équivaut à P(a)=a_0+ab_0=a_0+aa_1+ a^2a_2+\ldots + a^{n}a_n, donc le système est cohérent et n'admet qu'une seule solution :
(2) \ \ \ \ \forall j=0,\ldots,n-1\ : \ b_{j}=a_{j+1}+a_{j+2}a+\ldots+a_na^{n-(j+1)}
En posant Q(x)=b_0+b_1X+\ldots+b_{n-1} X^{n-1}, où les valeurs de b_0,b_1,\ldots,b_n sont celles décrites dans la résolution du système précédent, on a bien l'égalité P=(X-a)Q+c, avec c=P(a).
Remarque 1. Si P est une constante, la propriété reste vraie avec Q=0 le polynôme nul.
La démonstration de la propriété précédente donne une méthode générale pour trouver Q=b_0+b_1X+\ldots+b_{n-1}X^{n-1} et c. Il n'est pas nécessaire d'utiliser la formule (2), on peut se contenter de développer le produit (X-a)(b_0+b_1X+\ldots+b_{n-1}X^{n-1}) puis d'identifier les coefficients du polynôme obtenu avec les coefficients de P.
C'est la méthode d'identification des coefficients que l'on verra sous une forme plus générale dans la partie sur la division polynomiale.
Exemple 3.
Notons P=2X^2-5 et D=X+3. Cherchons Q et c tels que P=DQ+c.
Q est de la forme Q=b_1X+b_0.
P=DQ+c\Longleftrightarrow 2X^2-5=(X+3)(b_1X+b_0)+c \Longleftrightarrow 2X^2-5=b_1X^2+(3b_1X+b_0X)+3b_0+c .
En identifiant les coefficients de P avec ceux du membre de droite, on obtient
\left\{\begin{array}{ccc} 2&=&b_1 \\ 0&=&3b_{1}+b_0 \\ -5&=&3b_0+c \end{array} \right. \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} b_1&=&2 \\ 0&=&6+b_0 \\ -5-3b_0&=&c \end{array} \right. \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} b_1&=&2 \\ b_0&=&-6 \\ 13&=&c \end{array} \right.
Ainsi Q=2X-6 et c=13. On a P=(X+3)(2X-6)+13.
Propriété 2. Si \alpha est une racine de P, polynôme non nul, alors il existe un polynôme Q P=(X-\alpha)Q, avec \deg Q=\deg (P) -1.
Démonstration. D'après la propriété 1, on a P=(x-\alpha)Q+c, pour un réel c et un polynôme Q de degré \deg P-1.
Comme 0=P(\alpha)=(\alpha-\alpha)Q(\alpha)+c, on en déduit que c=0 et que P=(X-\alpha)X.
Exemple 4. P=X^3-2X-4, avec \alpha=2.
On a bien P(2)=2^3-2\times 2-4=0. D'après la propriété 2, P=(X-2)Q avec Q=b_2X^2+b_1X+b_0
Il est nécessaire que (X-2)(b_2X^2+b_1X+b_0)=X^3-2X-4, c'est à dire que
b_2X^3+(b_1-2b_2)X^2+(b_0-2b_1)X-2b_0=X^3-2X-4.
On a on par identification des coefficients
\left\{\begin{array}{ccc} b_2&=&1 \\ b_1-2\times 1&=&0 \\ b_0-2b_1&=&-2 \\ -2b_0&=&-4 \end{array} \right. \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} b_2&=&1 \\ b_1&=&2 \\ b_0&=&2 \end{array} \right.
On en déduit que Q=X^2+2X+2 , ainsi P=(X-2)(X^2+2X+2).
Ensuite
Nous avons présenté ici la division polynomiale d'un polynôme P par un polynôme de degré 1. La division euclidienne polynomiale est toujours possible, nous verrons comment l'effectuer dans un prochain article.
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