Polynôme à coefficients réels et fonctions polynomiales

 Dans cet article, nous définirons les polynômes à coefficients réels ainsi que les fonctions polynomiales. La somme et le produit de fonctions polynomiales sont aussi des fonctions polynomiales dont on peut calculer les coefficients avec des formules. Ces formules nous permettrons de définir l'addition et la soustraction pour les polynomes.

Nous verrons que l'ensemble des fonctions polynômiales noté $\mathcal P_{\mathbb R}  $ (ou fonctions polynômes) à coefficients réels forme un anneau.  Ainsi la façon dont a été construit l'ensemble des polynômes $\mathbb R[X]$ muni de l'addition et de la soustraction transportera la structure  d'anneau de $\mathcal P_{\mathbb R}  $ sur $(\mathbb R[X],+,\times) $.

   

Polynomes et fonctions polynomes 

Définition 1. Toute expression de la forme 

$$P=a_0+a_1X+\ldots+a_n X^n $$

avec $a_0,a_1,\ldots,a_n$ réels et $a_n\neq 0$ est appelé un polynôme à coefficients réel. 

Les nombres $a_0,a_1,\ldots,a_n$ sont appelés les coefficients de $P$.

Le nombre $n$ est appelé le degré de $P$.

Aux polynôme définis précédemment s'ajoute le polynôme nul $P=0$ dont le degré est par convention $-\infty$.

L'ensemble des polynômes à coefficients réels est noté $\mathbb R[X]$.

Définition 2. Soit $n$ un entier naturel.  Si $p$ est une fonction définie $\mathbb R$, et s'il existe  des réels $a_0,a_1,\ldots,a_n$, avec $a_n$ non-nul, tels pour tout $x\in\mathbb R$ 

$$(\ast)\ \ \ \ \ p(x)=a_0+a_1x+\ldots+a_n x^n $$

on dit que $p$ est une fonction polynomiale ou une fonction polynôme non-nulle. 

Les réels $a_0,a_1,\ldots,a_n$ sont appelés les coefficients de la fonction polynôme $p$.

A ces fonctions, on ajoute la fonction $O$ identiquement nulle que l'on considère aussi comme une fonction polynomiale.

Remarque. Un polynôme est une expression algébrique, alors qu'une fonction polynôme est une fonction. 

L'ensemble des fonctions polynômiales à coefficients réels sera noté $\mathcal P_{\mathbb R} $. C'est une sous-anneau de l'anneau des fonctions $\mathbb R \longrightarrow \mathbb R $ (voir [A0] exemple 10).

Nous allons établir une correspondance entre $\mathbb R[X]$ et $\mathcal P_{\mathbb R} $. Pour cela, nous avons besoin de définir des opérations sur $\mathbb R[X]$ pour lui donner une structure d'anneau : une addition et une multiplication. On va naturellement utiliser les résultats d'additions et de multiplications des nombres réels, et donc des fonctions polynômes. 

Commençons par quelques observations sur les opérations entre fonctions polynômes.  

Somme et produit de fonctions polynômes

Dans cette partie, $p$ et $q$ désigneront des fonctions polynomiales à coefficients réelles données par 

$$p(x)=a_0+a_1x+\ldots+a_n x^n$$

et 

$$q(x)=b_0+b_1x+\ldots+b_mx^m  $$

Somme

On a pour tout réel $x$, 

$$p(x)+q(x)=(a_0+a_1x+\ldots+a_n x^n)+(b_0+b_1x+\ldots+b_mx^m) $$

Sans perte de généralité, supposons que $m\leq n$. Les propriétés algébriques des nombres réels (associativité de l'addition et distributivité de la multiplication sur l'addition) nous permettent d'écrire pour tout réel $x$,

$$p(x)+q(x)=(a_0+b_0) +(a_1+b_1)x+\ldots+(a_m+b_m)x^m+(a_{m+1})x^{m+1}+\ldots+a_nx^n  $$

On a donc une fonction polynomiale $p+q$ dont les coefficients sont $a_0+b_0$, $a_1+b_1$, $\ldots$, $a_m+b_m$,$a_{m+1}$, $\ldots$, $a_n$. 

(1) La fonction nulle $0$ est donc telle que $p+0=0+p=p$, c'est l'élément neutre de la multiplication, de plus les règles suivantes (2), (3), (4) sont vérifiées : 

(2) Existence de l'opposé (inverse pour l'addition). L'inverse pour l'addition de $p$ (c'est-à-dire son opposé) est $-p$ (remarquons au passage que $-p$ est une fonction polynôme que l'on peut écrire avec les coefficients $-a_0,-a_1,\ldots,-a_n$.

(3) Associativité. Si $f,g,h$ sont des fonctions polynomiales, on a $f+(g+h)=(f+g)+h$, comme pour toutes les fonctions. 

(4) Communativité. Si $f,g$ sont des fonctions polynomiales, on a $f+g=g+f$, comme pour toutes les fonctions.

L'ensemble des fonctions réelles polynomiales muni de l'addition des fonctions forme donc un groupe commutatif (on pourra voir [G0]). C'est en fait un sous-groupe du groupe des fonctions définies sur $\mathbb R$ à valeurs dans $\mathbb R$.

La soustraction $p-q$ se définit par $p-q=p+(-q)$.

Produit

On a 

$$p(x)q(x)=(a_0+a_1x+\ldots+a_n x^n)(b_0+b_1x+\ldots+b_mx^m)=a_0b_0+(a_1b_0+a_0b_1)x+\ldots+a_nb_mx^{n+m} $$

Preuve. 

En effet, en effectuant le produit $p(x)q(x)$, nous obtenons donc la somme de $(n+1)\times(m+1)$ termes de la forme $a_ib_jx^ix^j=a_ib_jx^{i+j}$, avec $0\leq i \leq n$ et  $0\leq j \leq m$. La valeur maximale de $i+j$ est $n+m$. L'expression du membre de droite est donc de la forme 

$$c_0+c_1x+c_2x^2+\ldots+c_{n+m}x^{n+m} $$

Pour tout entier $k$ tel que $0\leq k \leq n+m$, $c_k$ est la somme des produits $a_ib_j$ tels que $i+j=k$.

Comme pour toutes les fonctions, on a de plus les propriétés suivantes concernant le produit :

(1) Existence d'un élément neutre. L'élément neutre de la multiplication est la fonction polynomiale identiquement égale à 1 : $\mathbb 1(x)=1$.

(2) Associativité. Si $f,g,h$ sont des fonctions polynomiales, on a $f\times(g\times h)=(f\times g)\times h$, comme pour toutes les fonctions. 

          (C) Commutativité de la multiplication. Si $f,g$ sont des fonctions polynomiales, on a            $f\times g=g\times f$.

(3) Distributivité de la multiplication par rapport à l'addition. Si $f,g,h$ sont des fonctions polynomiales, on a $f\times(g +h)=f\times g+ f\times h$, comme pour toutes les fonctions. 

 

Comme c'est déjà un groupe commutatif, l'ensemble des fonctions réelles polynomiales muni de l'addition des fonctions forme donc un anneau. C'est en fait un sous-anneau de l'anneau des fonctions définies sur $\mathbb R$ à valeurs dans $\mathbb R$.

Structure d'anneau de $\mathbb R[X]$

Pour faire correspondre les polynômes et les fonctions polynomiales, la structure de $\mathbb R[X]$ doit posséder toutes les propriétés faisant de l'ensemble des fonctions polynomiales un anneau.

Dans cette partie, on note pour $P,Q\in\mathbb R[X]$  

$$P=a_0+a_1X+\ldots+a_n X^n $$

et 

$$Q = b_0+b_1X+\ldots+b_mX^m $$

Sans perte de généralité, on suppose $m\leq n$.

Ainsi, on définit l'addition et la multiplication en copiant les formules trouvées avec les fonctions polynomiales. 

On commence pour cela par définir le polynôme nul par $a_0=0$ et le polynôme "1" par $a_0=1$.

L'addition

$$P+Q=(a_0+b_0) +(a_1+b_1)X+\ldots+(a_m+b_m)X^m+(a_{m+1})X^{m+1}+\ldots+a_nX^n $$

et la multiplication 

$$PQ= c_0+c_1x+c_2x^2+\ldots+c_{n+m}x^{n+m}$$

où pour tout entier $k$ tel que $0\leq k \leq n+m$, $c_k$ est la somme des produits $a_ib_j$ tels que $i+j=k$.

De cette façon, on retrouve pour $\mathbb R[X] $ muni de l'addition et la multiplication toutes les règles énoncées pour les fonctions polynomiales. C'est un anneau par construction. 

Exemple 1. 

Soit $P=-X^2+3X+1$ et $Q=2X^4-5X$. 

On a $P+Q=-X^2-2X+1$ et $PQ=(-X^2+3X+1)(2X^4-5X)=-2X^6+6X^5-2X^4+5X^3-15X^2-5X$

Remarque 1. Multiplier un polynôme $P$ par le polynôme $-1$ donne $-P$, l'opposé de $P$.

Définition. Le coefficient $a_n$ est appelé le coefficient dominant du polynôme $P$. On note $\ell(P) $ le coefficient dominant de $P$.

De la définition du produit, on a la propriété suivante. 

Propriété 1. 

Si $P$, $Q$ sont deux polynômes, alors $\ell(PQ)=\ell(P)\ell(Q)$.

Preuve. En effet, il s'agit ici de $a_nb_m$.

Exemple 1 (suite). En reprenant l'exemple 1, on a $\ell(PQ)=-1$ 

On remarque aussi qu'on a le fait suivant :

Propriété 2. Avec les notations données en haut pour $P$ et $Q$, si $n>m$, alors $\ell(P+Q)=\ell(P)$.

Correspondance entre polynômes et fonctions polynomiales

Notons $\mathcal P_{\mathbb R}$ l'ensemble des fonctions polynomiales à coefficients réels définies sur $\mathbb R$.

On définit une fonction 

$$\varphi:\mathbb R[X] \longrightarrow \mathcal P_{\mathbb R}$$

par 

$$\varphi(a_0+a_1X+\ldots+a_nX^n)=p $$

où $p$ est la fonction définie par $p(x)=a_0+a_1x+\ldots+a_nx^n$.

Cette fonction est un morphisme d'anneaux unitaires (des anneaux qui possèdent un élément neutre pour la multiplication). Autrement dit, elle vérifie les propriétés suivantes :

1. $\varphi(1)$ est la fonction identiquement égale à $1$ de $\mathcal P_{\mathbb R}$, elle transforme l'élément neutre de la multiplication de $R[X]$ en l'élément neutre de la multiplication de $\mathcal P_{\mathbb R}$.
2. $\varphi$ transporte l'addition : pour tous $P,Q\in\mathbb R [X] $, $\varphi(P+Q)=\varphi(P)+\varphi(Q)$ 
3. $\varphi$ transporte la multiplication : pour tous $P,Q\in\mathbb R [X] $, $\varphi(PQ)=\varphi(P)\varphi(Q)$ 

Remarque. $\varphi(0)$ est la fonction identiquement nulle de $\mathcal P_{\mathbb R}$, elle transforme l'élément neutre de l'addition de $R[X]$ en l'élément neutre pour l'addition de $\mathcal P_{\mathbb R}$. C'est aussi une conséquence du point 3.

Et après 

Question. 

Pour une fonction polynomiale $p$ donnée pouvant s'écrire comme $(\ast)$, il existe clairement un polynôme $P=a_0+a_1X+\ldots+a_nX^n$ tel que $\varphi(P)=p$. Ce polynôme $P$ est-il unique ? Autrement dit, peut-on avoir plusieurs expressions polynomiales distinctes pour une même fonction ? 

Dire que deux polynômes $P=a_0+a_1X+\ldots+a_nX^n$ et $Q$ ayant la même image par $\varphi$ c'est dire que $\varphi(P)=\varphi(Q)$ ou encore que $\varphi(P)+(-\varphi(Q))=0$.

Comme $-\varphi(Q)=-1\varphi(Q)=\varphi(-1Q)=\varphi(-Q)$, cela équivaut à dire que $0=\varphi(P+(-Q))=\varphi(P-Q)$. Si $P\neq Q$, $P-Q\neq 0$.

Ainsi l'existence de plusieurs expressions polynomiales distinctes pour une même fonction implique l'existence d'un polynôme $R$ non-nul tel que $\varphi(R)=0$. En algèbre, cela s'exprime par le fait que le noyau de $\varphi$ soit non réduit à l'ensemble $\left\{0 \right\}$. 

Nous montrerons qu'il n'existe pas de tel polynôme non-nul et donc qu'une fonction polynomiale ne peut avoir qu'une seule écriture polynomiale de la forme $(\ast)$.  

Dans un prochain article, nous verrons quelques propriétés de $\mathbb R[X]$. Nous utiliserons le degré d'un polynôme et nous donnerons la définition de racine de polynôme.