$\mathbb N$ (3). La multiplication.

 Cet article fait suite à 

• [N1] $\mathbb N$ (1). Définition de l'ensemble des entiers naturels. Axiomes de Peano. Récurrence.
• [N2] $\mathbb N$ (2) Addition des nombres entiers naturels.

Soit $n$ et $m$ deux nombres entiers. Le but de cet article est de définir le produit $n\times m$, puis de montrer que ce produit est commutatif, c'est-à-dire que $n\times m=m\times n$.Pour établir cette propriété, nous montrerons que le produit est distributif sur l'addition, i.e. si $a,b,c$ sont trois éléments de $\mathbb N$, nous avons $a\times(b+c)=a\times b+a\times c$.

Enfin nous montrerons l'associativité de la multiplication, c'est-à-dire que pour tout $a,b,c$ entiers naturels : $(ab)c=a(bc)$.

Pour $m$ donné, définition de $n\times m$

Soit $m$ un entier naturel. 

• Si $n=0$, on pose $0\times m=0$

• Si $n>0$, on pose $n\times m=\left((n-1)\times m\right) + m$

Par récurrence sur $n$, pour tout entier naturel $n\times m$ est donc bien défini. 

Distributivité de la multiplication sur l'addition à gauche

Propriété 1 (g). Soit $a,b,c$ trois nombres entiers naturels. On a

$$a(b+c)=ab+ac$$

Preuve. Par récurrence sur $a$.

Pour $a=0$, c'est clair car $0(b+c)=0=0\times b + 0\times c$.

Supposons que pour un certain $a$, pour tout $b,c$ entiers naturels, on a 

$a(b+c)=ab+ac$. Alors on a $(a+1)(b+c)=a(b+c)+b+c=ab+ac+b+c=ab+b+ac+c$ par associativité de l'addition.

Or $ab+b=(a+1)b$ et $ac+c=(a+1)c$ par définition de la multiplication. 

Ainsi on a   $(a+1)(b+c)=(a+1)b+(a+1)c$.

On a donc montré la propriété par récurrence.

Commutativité

Propriété 2. 

Pour tout $m\in \mathbb N$, $1\times m=m\times 1=m$.

Preuve. $1\times 0=0$ et $0\times 1=0$

Si $1\times k=k \times 1$, alors $k=k \times 1$ donc $k+1=k \times 1 + 1=(k+1)\times 1$.

Par récurrence, nous avons montré que pour tout $m$, $1\times m=m\times 1$.

Propriété 3.

Pour tout $m\in\mathbb N$, pour tout $n\in\mathbb N$, $n\times m=m\times n$.

Preuve. Soit $m\in \mathbb N$. On fait une récurrence sur $n$.

Pour $n=0$, on a clairement $n\times m=m\times n$. Pour $n=1$ aussi.

Si $k\times m=m\times k$, alors d'après l'hypothèse de récurrence et la propriété 1 de ditributivité de la multiplication par rapport à l'addition, on a 

$$(k+1)\times m=k\times m + m=m\times k + m= m\times k + m\times 1=m(k+1)$$

La commutativité est donc prouvée. 

On en déduit la distributivité de la multiplication sur l'addition à droite : 

Propriété 1 (d). Soit $a,b,c$ trois nombres entiers naturels. On a

$$(a+b)c=ac+bc$$

Associativité de la multiplication

Propriété 4.

Pour tous $a,b,c\in\mathbb N$, on a $a(bc)=(ab)c$.

Preuve. 

Faisons une démonstration par récurrence sur $a$. Pour $a=0$, on a $a(bc)=0(bc)=0=0c=(ab)c$. 

Supposons pour un certain $a$ que pour tous $b,c$, on a $a(bc)=(ab)c$.

Alors $(a+1)(bc)=a(bc)+bc=(ab)c+bc=(ab+b)c=((a+1)b)c$.

La propriété est donc démontrée.

Et ensuite

L'ensemble $\mathbb N$ est donc muni de deux opérations/lois internes : l'addition et la multiplication. 

A partir de l'addition, nous pourrons définir la soustraction et construire l'ensemble $\mathbb Z$ constitué de $\mathbb N$ et de ses opposés. $\mathbb Z$ sera le modèle de base de la structure d'anneau.

Aussi, nous pourrons définir la division euclidienne dans $\mathbb N$ puis dans $\mathbb Z$. 

A lire dans de prochains articles.