Le plan $\mathbb R^2$ (2) : Produit scalaire. Droites parallèles et droites perpendiculaires.

Cet article fait suite à Le plan $\mathbb R^2$ (1) : Points, vecteurs et droites.

Dans cette série d'articles, on revoit la géométrie du plan de niveau collège/lycée en considérant les points comme des couples de rééls. Dans cet article, on définit le parallélisme grace à la colinéarité des vecteurs et l'orthogonalité grace au produit scalaire que l'on introduit également.

On note $\overrightarrow 0$ le vecteur $\binom 0 0$ appelé vecteur nul.

Droites parallèles

On dit que deux droites sont parallèles si elles ont des coefficients directeurs colinéaires. Cela revient à dire que tout vecteur directeur de l'une est aussi un vecteur directeur de l'autre. 

Si deux droites sont parallèles et distinctes (ou non confondues), on dira qu'elles sont strictement parallèles. 

Sur la figure ci-dessous, les droites (AB) et (CD) sont parallèles car leurs vecteurs directeurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.

Propriété A. 

Si $A$ est un point et $\mathcal D$ une droite, alors il existe une unique droite parallèle à $\mathcal D$ passant par $A$. 

Preuve. 

C'est la droite $\mathcal D(A,\overrightarrow u)$ où $\overrightarrow u$ est un vecteur directeur de $\mathcal D$. 

Propriété B. 

La relation de parallélisme est une relation transitive. Autrement dit, si $\mathcal D_1$ et $\mathcal D_2$ sont parallèles et si $\mathcal D_2$ est parallèle à $\mathcal D_3$, alors $\mathcal D_1$ et parallèle à $\mathcal D_3$.

Preuve. 

Cela découle de la transitivité de la relation de colinéarité des vecteurs, appliquée à des vecteurs directeurs des droites  $\mathcal D_1$, $\mathcal D_2$ et  $\mathcal D_3$.

 

Produit scalaire 

On définit sur l'ensemble vectoriel $\mathbb R^2$ le produit scalaire de la manière suivante. 

Si $\overrightarrow u$ et $\overrightarrow v$ sont deux vecteurs leur produit scalaire noté $\overrightarrow u . \overrightarrow v$ est 

$$x_{\overrightarrow u}x_{\overrightarrow v} +y_{\overrightarrow u}y_{\overrightarrow v} $$

On a les propriétés suivantes concernant le produit scalaire.

Propriété 0. 

Pour tout $\overrightarrow u$, 

$\overrightarrow u.\overrightarrow 0=\overrightarrow 0 .\overrightarrow u = 0$.

Preuve. C'est clair d'après la définition.

Propriété 1. (Commutativité). 

Si $\overrightarrow u$ et $\overrightarrow v$  sont des vecteurs, $\overrightarrow u . \overrightarrow v=\overrightarrow v . \overrightarrow u$.

Preuve. Cela provient directement de la commutativité de la multiplication dans $\mathbb R$.

Propriété 2 (Distributivité par rapport à l'addition des vecteurs). 

Si $\overrightarrow u$, $\overrightarrow v$ et $\overrightarrow w$ sont des vecteurs, 

$\overrightarrow u.(\overrightarrow v + \overrightarrow w)=\overrightarrow u.\overrightarrow v + \overrightarrow u .\overrightarrow w $.

Démonstration.

On a en effet $x_{\overrightarrow u}.(x_{\overrightarrow v}+x_{\overrightarrow w})+y_{\overrightarrow u}.(y_{\overrightarrow v}+y_{\overrightarrow w})=x_{\overrightarrow u}.x_{\overrightarrow v}+y_{\overrightarrow u}.y_{\overrightarrow v}+x_{\overrightarrow u}.x_{\overrightarrow w}+y_{\overrightarrow u}.y_{\overrightarrow w}$.

Propriété 3 (Commutativité avec la multiplication par les scalaires).

Si $\overrightarrow u$, $\overrightarrow v$ et $\overrightarrow w$ sont des vecteurs, et si $k\in \mathbb R$, on a

$$(k\overrightarrow{u}).\overrightarrow{v}=\overrightarrow u.(k \overrightarrow v)=k(\overrightarrow u . \overrightarrow v) $$

Ainsi sans ambiguïté, on peut noter ce produit $k\overrightarrow u . \overrightarrow v$.

Démonstration.

Les trois membres sont égaux à $kx_{\overrightarrow u}x_{\overrightarrow v} +ky_{\overrightarrow u}y_{\overrightarrow v}$.

Vecteurs orthogonaux et droites perpendiculaires

On dit que deux vecteurs $\overrightarrow u$ et $\overrightarrow v$ sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul, ie si $\overrightarrow u . \overrightarrow v=\overrightarrow v.\overrightarrow u=0$. 

On note alors  $\overrightarrow u\perp\overrightarrow v$ . 

Par exemple, sur la figure ci-dessus, on a   $\overrightarrow u . \overrightarrow v=6\times(-1)+2\times 3=0$. Les vecteurs  $\overrightarrow u$ et $\overrightarrow v$ sont orthogonaux.

Propriété 4. 

Si $\overrightarrow u$ et $\overrightarrow u'$ sont colinéaires, alors tout vecteur orthogonal à l'un est aussi orthogonal à l'autre. 

Preuve. 

En effet si $\overrightarrow u'=k\overrightarrow u$, alors tout vecteur $\overrightarrow w$ vérifiant $\overrightarrow u.\overrightarrow w=0$ donne $\overrightarrow u'.\overrightarrow w=k\overrightarrow u.\overrightarrow w=0$.

Si deux droites ont des vecteurs directeurs orthogonaux, alors elles sont dites perpendiculaires.

Sur la figure ci-dessus, les doites $(HG)$ et $(GI)$ sont perpendiculaires.

On dit qu'un vecteur $\overrightarrow n$ est normal à une droite $\mathcal D$ si $\overrightarrow n$ est orthogonal à un vecteur directeur de $\mathcal D$. Dans ce cas, par colinéarité, $\overrightarrow n$ est orthogonal à tout vecteur directeur de $\mathcal D$.

Propriété 5. 

Soit $\mathcal D$ une droite dont une équation cartésienne est $ax+by+c=0$. Alors le vecteur $\overrightarrow n$ de coordonnées $\binom a b$ est un vecteur normal à $\mathcal D$.

Preuve. 

On utilise la propriété $U$ : le vecteur $\overrightarrow u$ de coordonnées $\binom {-b} a$ est un vecteur directeur de $\mathcal D$. On a $\overrightarrow n.\overrightarrow u=0$ donc $\overrightarrow n$ est bien normal à $\mathcal D$. 

Et ensuite

Dans un prochain article, j'aimerai avec le point de vue adopté regarder les différents axiomes de la géométrie d'Euclide.